《离散型随机变量的均值与方差》同步练习 名师获奖

《离散型随机变量的均值与方差》同步练习一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·西安模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()． A.eq\r(\f(6,5)) \f(6,5)\r(2) D．2解析由题意，知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.s2＝eq\f(－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－12,5)＝2.答案D2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()．A．5 B．C． D．解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由数学期望的定义可求得E(X)＝.答案B3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2) 则E(ξ)的最大值为()．A．1 \f(3,2)\f(2,3) D．2解析由p≥0，eq\f(1,2)－p≥0，则0≤p≤eq\f(1,2)，E(ξ)＝p＋1≤eq\f(3,2).答案B4．(2022·广州一模)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，，则E(η)，D(η)分别是()．A．6和 B．2和C．2和 D．6和解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10××＝.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Pxy 已知ξ的期望E(ξ)＝，则y的值为________．解析x＋＋＋y＝1，即x＋y＝.①又7x＋＋＋10y＝，化简得7x＋10y＝.②由①②联立解得x＝，y＝.答案eq\a\vs4\al(6.,,,)(2022·温州调研)已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,a＋c＋\f(1,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))答案eq\f(5,12)eq\f(1,4)三、解答题(共25分)7．(12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是eq\f(1,3).(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解(1)P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为eq\f(4,27)；(2)∴P＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝20×eq\f(1,27)×eq\f(8,27)＝eq\f(160,729).所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为eq\f(160,729)；(3)由于ξ服从二项分布，即ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴E(ξ)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).所以在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2，方差为eq\f(4,3).8．(13分)(2022·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5) ∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝.D(X)＝(0－2×eq\f(1,2)＋(1－2×eq\f(1,20)＋(2－2×eq\f(1,10)＋(3－2×eq\f(3,20)＋(4－2×eq\f(1,5)＝.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))即为所求．分层B级创新能力提升1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为()．\f(32,3) \f(28,3)\f(14,3) \f(16,3)解析由已知得，3a＋2b＋0×c即3a＋2b＝2，其中0<a<eq\f(2,3)，0<b<1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)时，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为eq\f(16,3)，故选D.答案D2．已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6) 则在下列式子中：①E(X)＝－eq\f(1,3)；②D(X)＝eq\f(23,27)；③P(X＝0)＝eq\f(1,3).正确的个数是()．A．0 B．1C．2 D．3解析E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正确．D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正确．由分布列知③正确．答案C3．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc 其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)的值是________．解析根据已知条件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,2b＝a＋c，,－a＋c＝\f(1,3)，))解得：a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴D(ξ)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)4．(2022·滨州一模)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\f(\r(5),2)，0，eq\f(\r(5),2)，eq\r(3)，2eq\r(2)，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.解析当l的斜率k为±2eq\r(2)时，直线l的方程为±2eq\r(2)x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离d＝eq\f(1,3)；当k为±eq\r(3)时，d＝eq\f(1,2)；当k为±eq\f(\r(5),2)时，d＝eq\f(2,3)；当k为0时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：ξeq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(2,3)1Peq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7) 所以E(ξ)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,7)＋1×eq\f(1,7)＝eq\f(4,7).答案eq\f(4,7)5．(2022·大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为eq\f(1,2)，a，a(0<a<1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1)求ξ的分布列及数学期望；(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a的取值范围．解(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))(1－a)2＝eq\f(1,2)(1－a)2，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)(1－a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))a(1－a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))(1－a)a＝eq\f(1,2)(1－a2)，P(ξ＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))a2＋eq\f(1,2)(1－a)a＋eq\f(1,2)a(1－a)＝eq\f(1,2)(2a－a2)，P(ξ＝3)＝eq\f(a2,2).所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,2)(1－a)2eq\f(1,2)(1－a2)eq\f(1,2)(2a－a2)eq\f(a2,2) ξ的数学期望为E(ξ)＝0×eq\f(1,2)(1－a)2＋1×eq\f(1,2)(1－a)2＋2×eq\f(1,2)(2a－a2)＋3×eq\f(a2,2)＝eq\f(4a＋1,2).(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)，P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝eq\f(1,2)[(1－a2)－(2a－a2)]＝eq\f(1－2a,2)，P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)[(1－a2)－a2]＝eq\f(1－2a2,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1－a≥0，,\f(1－2a,2)≥0，,\f(1－2a2,2)≥0))及0<a<1，得0<a≤eq\f(1,2)，即a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).6．(2022·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产