速率分布函数

气体动理论第七章麦克斯韦速率分布律（Maxwellslawofdistributionofspeeds）

§4.5麦克斯韦速率分布律1、速率分布函数要深入研究气体的性质，一步弄清分子按速率和按能量等的分布情况。不能光是研究一些平均值，还应该进整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。麦克斯韦（Maxwellslawofdistributionofspeeds）设总分子数为NN——表示速率在v

~v+v

区间内的分子数。N

与v

、v

有关。——表示速率处在v

~

v

+v

区间内的分子数占总分子数的百分率。也与v

、v

有关。——分子速率在v

附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。90以下6.290-----140140----190190----240240----290290----340340----390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.0注意：以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确定的规律。1）实验数据的图示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%090140190240290340390从图中可以看出:1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数占总分子数的百分比N/N2)所有小面积的和恒等于一。3）当速率区间，小矩形面积的端点连成一函数曲线----分子速率分布函数。2）分布函数的意义要搞清函数的意义，先要弄清纵坐标的意义。在区间作一小矩形，小矩形的面积：按函数的定义故或：当占总分子数的比例。”率v附近单位速率区间的概率。由定义式可看出f(v)的意义是：

因为

所以这称为速率分布函数的归一化条件。

即对于一个分子来说，f(v)就是分子处于速“在速率v附近，单位速率区间内的分子数（functionofdistributionofspeeds）称速率分布函数思考：1、若表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义（1）（2）（3）

（4）

（5）2、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）是分子的质量，玻耳兹曼常数速率分布曲线

以

v为横坐标，为纵坐标，画出的曲线称为速率分布曲线。由上式可得到一个分子在v~

v

+dv

区间的概率为f(v)vv2v1分布曲线的物理意义①小矩形的面积表示速率处在v~

v

+dv

区间内的分子数占总分子数的百分率。②曲边梯形的面积

表示速率处在

v1

—v2

区间内的分子数占总分子数的百分率。③曲线下的总面积归一化条件3、三种统计速率最可几速率

(最概然速率)vpf(v)vvpvp把整个速率区间分成许多相等的小区间,则速率大小与相近的气体分子数占总分子数的比率为最大。可由求极值条件求得

分布曲线极大值对应的速率叫最可几速率。物理意义:讨论两种情况：（1）m0

一定,曲线高峰右移,同时高度下降。（2）T

一定，f(v)vvp1vp2f(v)v2.平均速率大量分子速率的算术平均值叫平均速率。若用dN表示速率在v－v+dv

区间内的分子数，v连续分布时，上式过渡到积分。分立：连续：viv，对麦氏速率分布经计算得：NidNv=Nf(v)dv，平均速率（averagespeed）平均速率

任意函数(v)对全体分子按速率分布的平均值：3.方均根速率速率平方的平均值方均根速率f(v)v三种速率中，最大，次之，最小附录:

三种统计速率的计算速率分布函数中令则速率平方的平均值讨论思考题：试说明下列各式的物理意义①②③④⑤速率在的所有分子速率的总和被总分子数除速率在区间内的分子数速率在区间内的分子数占总分子数的比率并非之间的分子的平均速率⑦⑧⑥速率在的所有分子速率总和分子平动动能的平均值速率在内的分子的平均速率f(v)vT1T2例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？解：(1)T1<

T2(2)绿：氧

白：氢例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子(“电子气”模型)。设导体中自由电子数为N,电子速率最大值为费米速率

，且已知电子速率在v—v+dv

区间的概率为：A

为常数（1）画出电子气的速率分布曲线（2）由定出常数A（3）求Ovf(v

)解：（1）（2）由归一化条件确定常数A（3）例3、求速率在v1—v2

区间内的分子的平均速率。解：讨论：1、用分子数N，气体分子速率v和速率分布函数表示下列各量（1）速率大于的分子数；（2）速率大于的那些分子的平均速率；（4）分子速率倒数的平均值。（5）分子平均平动动能。2、设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在v1→v2区间的分子的平均速率为：（3）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于的概率。（A）2000m/s，1000m/s（B）1000m/s，2000m/s（C）1000m/s，1000m/s（D）1000m/s，1000m/s3、若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分的面积相等，则图中表示（D

）4、图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速率分别为（）（A）最概然速率（B）平均速率（C）方均根速率（D）速率大于和小于的分子各占一半5、

下列说法中正确的是（

）（A）N个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用理想气体的压强公式；当N很大时就可以使用它；（B）表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运动的平均动能；（C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下它们的速率满足；（D）气体分子的速率等于最概然速率的概率最大。6、某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示，表示最概然速率，表示速率分布在之间的分子数占总分子数的百分率，当温度减低时，则（A

）（A）减小，也减小（B）增大，也增大（C）减小，增大（D）增大，减小7、

设为N个（N很大）分子组成的系统的速率分布函数。（1）分别写出题图（a）、(b)中阴影面积对应的数学表达式并回答其物理意义；（2）设分子质量为m，试用表示以下各量：①分子动量大小的平均值；②分子平动动能的平均值。§4.6玻耳兹曼分布律(了解)1、麦克斯韦速度分布律（1859年导出）分子动能上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即

上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以表示分子的速度，分别表示速度沿x,y,z的分量，则理论表明，平衡态下，在速度分量区间内的分子数dN与总分子数N的比率为全“速度空间”捕捉粒子的概率为1

“速率区间v

~v

+v

”对应“速度空间”中半径为v

、厚度为dv

的“球壳”，所以粒子在速率区间内的概率为2、玻耳兹曼分布律

当系统在保守力场中处于平衡态时，坐标介于内，同时速度介于的分子数为①式改写一下式中n0为势能时单位体积内具有的各种速度的分子总数，上式称为玻耳兹曼分布律(又称玻耳兹曼分子按能量分布律)。①②式对所有速度积分得体积元内的总分子数

式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件②③令，