数学模型与数学建模

数学模型数学模型《数学模型》姜启源主编1精选ppt课程名称学时36数学模型与数学建模MathematicalModeling学分3课程类别专业选修课先修课程微积分、线性代数、概率论与数理统计课程简介本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本书介绍数学建模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合，网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归分析及其试验设计。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。教材及参考书目《数学模型》，姜启源主编，高等教育出版社

课程简介数学模型《数学模型》姜启源主编2精选ppt数学模型《数学模型》姜启源主编第一章建立数学模型第二章初等模型第三章

简单的优化模型第四章数学规划模型第五章微分方程模型第六章稳定性模型第七章差分方程模型第八章离散模型第九章概率模型第十章统计回归模型附录:数学建模实验3精选ppt周次节次教学内容课时作业执行情况1五5－61.1-1.5数学模型的介绍1.6数学模型的基本方法步骤、特点和分类22五5－62.1公平的席位分配(讨论课)2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃的功效23五5－62.7实物交换3.2生猪的出售时机24五5－63.3森林救火(讨论课)3.4最优价格25五5－63.6消费者的选择4.3汽车生产与原油采购26五5－64.5饮料厂的生产与检修5.1传染病模型(讨论课)27五5－65.2经济增长模型5.6人口的预测和控制

28五5－66.1捕鱼业的持续收获6.2军备竞赛(讨论课)2

教学进度数学模型《数学模型》姜启源主编4精选ppt9五5－66.4种群的相互依存7.1市场经济中的蛛网模型2

10五5－67.2减肥计划-节食与运动8.3层次分析模型212五5－68.4效益的合理分配9.2报童的诀窍(讨论课)213五5－69.5随机人口模型9.6航空公司的预定票策略214五5－610.1牙膏的销售量2评估周15五5－6Mtlab,Mathematcia数学软件学习(上机)216五5－6数学建模实验(上机)217五5－6数学建模实验(上机)218考试数学模型《数学模型》姜启源主编5精选ppt数学模型《数学模型》姜启源主编第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模6精选ppt玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.1从现实对象到数学模型我们常见的模型第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编7精选ppt你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编8精选ppt航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20千米/小时）。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编9精选ppt数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编10精选ppt1.2数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展；

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编11精选ppt数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编12精选ppt1.3数学建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编13精选ppt模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编14精选ppt用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编15精选ppt模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编16精选ppt背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.3如何预报人口的增长第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编17精选ppt指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编18精选ppt指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编19精选ppt阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编20精选pptdx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编21精选ppt参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编22精选ppt模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编23精选ppt数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4数学建模的方法和步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编24精选ppt数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编25精选ppt模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编26精选ppt模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编27精选ppt数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编28精选ppt1.5数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性

数学模型的特点第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编29精选ppt数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编30精选ppt1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际题目第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编31精选ppt

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃窗的功效2.7实物交换数学模型《数学模型》姜启源主编32精选ppt2.1公平的席位分配系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021第二章初等模型《数学模型》姜启源主编33精选ppt“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1

n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2

时，分配公平

p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若p1/n1>p2/n2，对不公平A

p1/n1–p2/n2=5第二章初等模型《数学模型》姜启源主编34精选ppt公平分配方案应使rA

,rB

尽量小设A,B已分别有n1,n2席，若增加1席，问应分给A,还是B不妨设分配开始时p1/n1>p2/n2，即对A不公平~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定义第二章初等模型《数学模型》姜启源主编35精选ppt1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几种情况初始p1/n1>p2/n2

问：p1/n1<p2/(n2+1)

是否会出现？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),则这席应给B第二章初等模型《数学模型》姜启源主编36精选ppt当rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),该席给ArA,rB的定义该席给A否则,该席给B定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位该席给Q值最大的一方Q

值方法计算，第二章初等模型《数学模型》姜启源主编37精选ppt三系用Q值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系第二章初等模型《数学模型》姜启源主编38精选ppt进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则已知:m方人数分别为p1,p2,…,pm,记总人数为P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N。设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,…,nm(自然应有n1+n2+…+nm=N)，记qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni应是N和p1,…,pm

的函数，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均为整数，显然应ni=qi第二章初等模型《数学模型》姜启源主编39精选ppt

qi=Npi/P不全为整数时，ni

应满足的准则：记[qi]–=floor(qi)~向qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即当总席位增加时，ni不应减少“比例加惯例”方法满足1），但不满足2）Q值方法满足2）,但不满足1）。令人遗憾！第二章初等模型《数学模型》姜启源主编40精选ppt问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？2.2

录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。第二章初等模型《数学模型》姜启源主编41精选ppt录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观察计数器读数增长越来越慢！第二章初等模型《数学模型》姜启源主编42精选ppt模型假设

录像带的运动速度是常数

v

；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录像带厚度（加两圈间空隙）为常数

w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）第二章初等模型《数学模型》姜启源主编43精选ppt模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第

i圈的半径为r+wi,

m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以第二章初等模型《数学模型》姜启源主编44精选ppt2.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有模型建立第二章初等模型《数学模型》姜启源主编45精选ppt思考3种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思考第二章初等模型《数学模型》姜启源主编46精选ppt参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计a,b理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得第二章初等模型《数学模型》姜启源主编47精选ppt模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下的录像带能录184-116.4=67.6分钟的节目。揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b即可。第二章初等模型《数学模型》姜启源主编48精选ppt2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.3双层玻璃窗的功效第二章初等模型《数学模型》姜启源主编49精选pptdd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数建模第二章初等模型《数学模型》姜启源主编50精选ppt记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16建模第二章初等模型《数学模型》姜启源主编51精选ppthQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁……损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大第二章初等模型《数学模型》姜启源主编52精选ppt问题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo••2.7实物交换第二章初等模型《数学模型》姜启源主编53精选pptxyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1,p2对甲是无差别的，MN将所有与p1,p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN,线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。第二章初等模型《数学模型》姜启源主编54精选pptp1.p2.c1y0xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：

单调减(x增加,y减小)

下凸(凸向原点)

互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的y换取较少的x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的y。甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度（f~等满意度曲线）第二章初等模型《数学模型》姜启源主编55精选pptxyOg(x,y)=c2c2乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）双方的交换路径xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的无差别曲线族g=c2

(坐标系x’O’y’,且反向）甲的无差别曲线族f=c1ABp

P’

双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上因为在AB外的任一点p’,(双方)满意度低于AB上的点p两族曲线切点连线记作AB第二章初等模型《数学模型》姜启源主编56精选pptABp交换方案的进一步确定交换方案~交换后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形内任一点交换路径AB双方的无差别曲线族等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线CDAB与CD的交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x第二章初等模型《数学模型》姜启源主编57精选ppt第三章简单的优化模型3.2生猪的出售时机3.3森林救火3.4最优价格3.6消费者均衡数学模型《数学模型》姜启源主编58精选ppt

现实世界中普遍存在着优化问题

静态优化问题指最优解是数(不是函数)

建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数

求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编59精选ppt3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编60精选ppt求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编61精选ppt敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。rt第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编62精选ppt敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g变化时对模型结果的影响设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。gt第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编63精选ppt强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）每天利润的增值每天投入的资金第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编64精选ppt3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).

损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.

救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编65精选ppt

关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编66精选ppt模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x

(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编67精选ppt模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编68精选ppt模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编69精选ppt模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,

c2x

c1,t1,

x

c3,x

结果解释c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?

,可设置一系列数值由模型决定队员数量x第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编70精选ppt3.4最优价格问题根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大假设1）产量等于销量，记作x2）收入与销量x成正比，系数p即价格3）支出与产量x成正比，系数q即成本4）销量x依赖于价格p,x(p)是减函数建模与求解收入支出利润进一步设求p使U(p)最大第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编71精选ppt使利润U(p)最大的最优价格p*满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到建模与求解边际收入边际支出第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编72精选ppt结果解释

q/2~成本的一半

b~价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）

a~绝对需求(

p很小时的需求)b

p*

ap*思考：如何得到参数a,b?第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编73精选pptq2U(q1,q2)=cq103.6消费者均衡问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为q1,q2,消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函数已知甲乙价格p1,p2,有钱s，试分配s,购买甲乙数量q1,q2,使U(q1,q2)最大.第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编74精选ppts/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型及求解已知价格p1,p2,钱s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大几何解释直线MN:最优解Q:MN与l2切点斜率·MQN··第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编75精选ppt结果解释——边际效用消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。效用函数U(q1,q2)应满足的条件A.U(q1,q2)=c

所确定的函数q2=q2(q1)单调减、下凸解释B的实际意义第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编76精选ppt效用函数U(q1,q2)几种常用的形式消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。

U(q1,q2)中参数,分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编77精选ppt购买两种商品费用之比与二者价格无关。

U(q1,q2)中参数,

分别表示对甲乙的偏爱程度。思考：如何推广到m(>2)种商品的情况效用函数U(q1,q2)几种常用的形式第三章简单的优化模型《数学模型》姜启源主编78精选ppt第四章数学规划模型

4.3

汽车生产与原油采购4.5饮料厂的生产与检修数学模型《数学模型》姜启源主编79精选ppt数学规划模型

实际问题中的优化模型x~决策变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件多元函数条件极值决策变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域的边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编80精选ppt如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应作何改变？例1汽车厂生产计划汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。小型中型大型现有量钢材（吨）1.535600劳动时间（小时）28025040060000利润（万元）234制订月生产计划，使工厂的利润最大。4.3

汽车生产与原油采购第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编81精选ppt设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3汽车厂生产计划模型建立

小型中型大型现有量钢材1.535600时间28025040060000利润234线性规划模型(LP)第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编82精选ppt模型求解

3）模型中增加条件：x1,x2,x3

均为整数，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226结果为小数，怎么办？1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编83精选pptIP可用LINDO直接求解整数规划(IntegerProgramming,简记IP)“gin3”表示“前3个变量为整数”，等价于：ginx1ginx2ginx3IP的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP结果输出第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编84精选ppt其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：方法1：分解为8个LP子模型汽车厂生产计划若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最优值z=610第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编85精选pptLINDO中对0-1变量的限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1变量，化为整数规划

M为大的正数，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最优解同前

第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编86精选pptNLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。方法3：化为非线性规划

非线性规划（Non-LinearProgramming，简记NLP）

实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。

若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编87精选ppt应如何安排原油的采购和加工

？

例2原油采购与加工市场上可买到不超过1500吨的原油A：

购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。售价4800元/吨售价5600元/吨库存500吨库存1000吨汽油甲(A50%)原油A原油B汽油乙(A60%)第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编88精选ppt决策变量

目标函数问题分析利润：销售汽油的收入-购买原油A的支出难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂甲(A50%)AB乙(A60%)购买xx11x12x21x224.8千元/吨5.6千元/吨原油A的购买量,原油A,B生产汽油甲,乙的数量c(x)~购买原油A的支出利润(千元)c(x)如何表述？第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编89精选ppt原油供应

约束条件

x

500吨单价为10千元/吨；

500吨x1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨x1500吨，超过1000吨的6千元/吨。目标函数购买xABx11x12x21x22库存500吨库存1000吨第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编90精选ppt目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；想办法将模型化简，用现成的软件求解。

汽油含原油A的比例限制约束条件甲(A50%)AB乙(A60%)x11x12x21x22第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编91精选pptx1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数目标函数

只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2方法1

非线性规划模型，可以用LINGO求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

500吨

x1000吨，超过500吨的8千元/吨增加约束x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编92精选ppt方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12<x+500;x21+x22<1000;x11-x21>0;2*x12-3*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1<500;x2<500;x3<500;x>0;x11>0;x12>0;x21>0;x22>0;x1>0;x2>0;x3>0;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？

用库存的500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4,800千元。

第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编93精选ppty1,y2,y3=1~以价格10,8,6(千元/吨)采购A增加约束方法2

0-1线性规划模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元。x1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数y=0x=0x>0y=1优于方法1的结果第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编94精选pptb1b2

b3

b4方法3

b1

xb2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z20,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2

xb3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3

0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3

xb4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4

0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接处理处理分段线性函数c(x)第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编95精选pptIP模型，LINDO求解，得到的结果与方法2相同.处理分段线性函数，方法3更具一般性bkxbk+1yk=1,否则,yk=0方法3

bkxbk+1,x=zkbk+zk+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+10,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2

b3

b4对于k=1,2,3第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编96精选ppt4.5饮料厂的生产与检修单阶段生产计划多阶段生产计划生产批量问题企业生产计划考虑与产量无关的固定费用给优化模型求解带来新的困难外部需求和内部资源随时间变化第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编97精选ppt安排生产计划,满足每周的需求,使4周总费用最小。存贮费:每周每千箱饮料0.2千元。例1饮料厂的生产与检修计划在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?

周次需求量(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计100135

某种饮料4周的需求量、生产能力和成本第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编98精选ppt问题分析除第4周外每周的生产能力超过每周的需求；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。周次需求能力11530225403354542520合计100135成本5.05.15.45.5

饮料厂在第1周开始时没有库存；从费用最小考虑,第4周末不能有库存；周末有库存时需支出一周的存贮费；每周末的库存量等于下周初的库存量。模型假设

第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编99精选ppt目标函数约束条件产量、库存与需求平衡决策变量

能力限制非负限制模型建立x1~x4：第1~4周的生产量y1~y3：第1~3周末库存量周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5存贮费:0.2(千元/周•千箱)第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编100精选ppt模型求解

4周生产计划的总费用为528(千元)最优解：x1~x4：15，40，25，20；

y1~y3：

0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5产量15402520库存01550LINDO求解第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编101精选ppt检修计划0-1变量wt：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?

检修安排在任一周均可周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5约束条件能力限制产量、库存与需求平衡条件不变第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编102精选ppt增加约束条件：检修1次检修计划目标函数不变0-1变量wt：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解总费用由528千元降为527千元检修所