《离散型随机变量的均值与方差》同步练习 全市一等奖

《离散型随机变量的均值与方差》同步练习一、选择题1．(2022·广东理，4)已知离散型随机变量X的分布列为()X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)则X的数学期望E(X)＝()\f(3,2) B．2\f(5,2) D．3[答案]A[解析]E(x)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).2．已知X～B(n，p)，EX＝8，DX＝，则n，p的值分别为()A．100和 B．20和C．10和 D．10和[答案]D[解析]由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝8，,np1－p＝，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝10，,p＝.))3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A．92,2 B．92,C．93,2 D．93,[答案]B[解析]去年一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90、90、93、94、93，所以eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝eq\f(460,5)＝92，s2＝eq\f(2×90－922＋2×93－922＋94－922,5)＝eq\f(14,5)＝.二、填空题4．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0表示结果中没有正面向上，则Eξ＝________.[答案][解析]本题考查随机变量的数学期望，P(ξ＝1)＝eq\f(3,4)，P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)，则Eξ＝1×eq\f(3,4)＋0×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)＝.5．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X＝xi－1012P(X＝xi)abceq\f(1,12)若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.[答案]eq\f(5,12)eq\f(1,4)[解析]由分布列中概率满足的条件可知a＋b＋c＋eq\f(1,12)＝1①，由均值和方差的计算公式可得－a＋c＋eq\f(1,6)＝0②，12×a＋12×c＋22×eq\f(1,12)＝1③，联立①②③解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).三、解答题6．(2022·山东理，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为eq\f(3,4)，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为eq\f(2,3)，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.[解析](1)P＝eq\f(3,4)·(eq\f(1,3))2＋eq\f(1,4)·Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(7,36)；(2)X＝0,1,2,3,4,5P(X＝0)＝eq\f(1,4)·(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)·(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝eq\f(1,4)Ceq\o\al(1,2)eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝eq\f(1,4)·(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,8)，P(X＝5)＝eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,3).X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)EX＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12)＝3eq\f(5,12).一、选择题1．设离散型随机变量ξ的可能取值为0,1，且P(ξ＝0)＝eq\f(2,3)，则Dξ＝()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,9) \f(2,9)[答案]D[解析]由题意知ξ服从两点分布，且P(ξ＝1)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，故Dξ＝P(ξ＝1)[1－P(ξ＝1)]＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).2．(2022·湖北理，9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝()\f(126,125) \f(6,5)\f(168,125) \f(7,5)[答案]B[解析]P(X＝0)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125)，∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).3．甲、乙两名运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下：环数k8910P(ξ＝k)P(η＝k)其中射击比较稳定的运动员是()A．甲 B．乙C．一样 D．无法比较[答案]B[解析]Eξ＝，Eη＝＝Eξ，Dξ＝，Dη＝<Dξ，乙稳定．4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个．则X的均值为()A．5 B．C． D．[答案]B[解析]由题意可知，X可以取3、4、5、6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)；P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)；P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，∴EX＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝.5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为d(a，b∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()\f(1,48) \f(1,24)\f(1,12) \f(1,6)[答案]B[解析]由已知得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)·(eq\f(3a＋2b,2))2＝eq\f(1,6)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,24)，当且仅当3a＝2b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)时取“等号”，故选B.二、填空题6．(2022·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝________.[答案]eq\f(4,3)[解析]由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X＝Y，ξ＝1表示X＝1，Y＝2；或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.∴P(ξ＝0)＝eq\f(3,33)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(2×2×3,33)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2×3＋A\o\al(3,3),33)＝eq\f(4,9)，∴E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(4,9)＝eq\f(4,3).7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Pxy已知ξ的期望Eξ＝，则y的值为________．[答案][解析]依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋＋＋y＝1，,7x＋＋＋10y＝，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝，,7x＋10y＝，))由此解得y＝.三、解答题8．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下：X012Peq\f(6,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)试对这两名工人的技术水平进行比较．[分析]一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是要看次品数的波动情况，即方差值的大小．[解析]工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：EX＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(3,10)＝，DX＝(0－2×eq\f(6,10)＋(1－2×eq\f(1,10)＋(2－2×eq\f(3,10)＝；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：EY＝0×eq\f(5,10)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(2,10)＝，DY＝(0－2×eq\f(5,10)＋(1－2×eq\f(3,10)＋(2－2×eq\f(2,10)＝.由EX＝EY知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX>DY，可见乙的技术比较稳定．9．(2022·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择11月10日至11月21日中的某一天到达该市，并停留3天(包括到达的当天)．(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列、数学期望与方差.日期10111213141516空气质量指数853056153221220150日期17181920212223空气质量指数859515012498210179[解析]设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝10,11，…，21)．根据题意，P(Ai)＝eq\f(1,12)，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A14∪A15，所以P(B)＝P(A12∪A15)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝P(A13∪A14)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝P(A12∪A15∪A18∪A19∪A20∪A21)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝P(A11∪A16∪A17)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝P(A10)＝eq\f(1,12)，所以X的分布列为：X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,12)∴X的期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(5,4).D(X)＝(0－eq\f(5,4))2×eq\f(1,6)＋(1－eq\f(5,4))2×eq\f(1,2)＋(2－eq\f(5,4))2×eq\f(1,4)＋(3－eq\f(5,4))2×eq\f(1,12)＝eq\f(11,16).10．(2022·湖南理，17)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)123已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率．(注：将频率视为概率)[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将