第六章 梁的变形

第六章梁的变形§6.1

梁的挠度和转角1.1研究梁变形的目的工程实际中，对某些受弯杆件，除了强度要求外，往往还有刚度要求，即要求它的变形不能过大。

否则，可能会影响到使用要求。1.2挠度和转角

挠曲线：直梁AB发生弯曲变形时，除个别受约束处以外，梁内各点有线位移，且原为直线的形心轴变为平滑曲线，这个曲线称为挠曲线。也称为弹性曲线。挠度与转角的关系梁的两个变形：（2）转角q

:梁的横截面对其原有位置的角位移，称为该截面的转角。方向：顺时针方向转动的为正，逆时针方向转动的为负。

（1）挠度y

:梁横截面的形心沿y轴方向的线位移，称为该截面的挠度。正负号与坐标的正负号相同。§6.2

直梁挠曲线近似微分方程根据力学知识：根据高等数学知识：公式推导：由上两式得挠曲线小曲率曲线微分方程M和的正负号

挠曲线的近似微分方程§6.3

用积分法求梁的变形对其积分一次根据挠曲线的近似微分方程：再对其积分一次积分常数C、D需根据梁在支承处的边界条件以及挠曲线的连续性和光滑性条件来确定。例题6-1

有一受均布荷载作用的简支梁如图6-3所示，EI为常数。试求此梁的最大挠度ymax（通常用符号f表示）以及两端截面的转角qA和qB。解（1）列梁挠曲线近似微分方程支座反力：

弯距方程：

即得梁的挠曲线近似微分方程（2）积分将上式连续积分两次，可分别得到

和

（3）确定积分常数边界条件为：当x=0时，y=0；当x=l时，y=0。根据这两个边界条件可得和

（1）

（2）

将它们代入（1）和（2）两式可得转角方程为挠度方程为求ymax、qA、qB：由，得，即在处挠度最大（3）

（4）

正号表示ymax的方向与y轴正方向相同，即向下。将x=0代入式（3），得正号表示为顺时针转向。代入式（3），得负号表示qB为反时针转向。§6.4用叠加法求梁的变形原理：先分别计算出每个荷载单独作用时梁的转角和挠度，再求出它们的代数和，即为梁在所有荷载共同作用下的转角和挠度。表6-1几种常用梁在简单荷载作用下的变形序号支承和荷载作用情况梁端转角挠曲线方程最大挠度123续表序号支承和荷载作用情况梁端转角挠曲线方程最大挠度456续表序号支承和荷载作用情况梁端转角挠曲线方程最大挠度789续表序号支承和荷载作用情况梁端转角挠曲线方程最大挠度10注：在图示直角坐标系中，关于挠度和转角的正负号按照下列规定。挠度向下（即与y轴的正向相同）的为正，向上的为负；转角顺时针转向的为正，反时针转向的为负。例6-5变截面悬臂梁如图所示，在自由端C处作用有集中力P，已知l1=l2=l，I1=2I2=I。试求C截面的转角qC和挠度fC。解由于悬臂梁ABC中AB段与BC段的惯性矩不同，下面采用逐段刚化法，分段计算变形。（1）令AB段刚化，只考虑BC段变形。这样，BC段相当于一个B截面固定的悬臂梁（如图（b））。

（2）令BC段刚化，只考虑AB段变形。将集中力P简化到B截面上为一个集中力P和一个集中力偶Pl2。此时，杆件相当于A端固定的悬臂梁AB，在B点作用力P及力偶Pl2，同时B端右侧空挑着一段刚性杆BC。AB段的变形必然在C点引起新的位移。由于梁的AB段和BC段其挠曲线在B点连续光滑，当AB变形时，BC随之倾斜，但仍保持为一段直线。（3）求qC和挠度fC§6.5

梁的刚度条件在根据强度的需要设计了梁的截面以后，常需进一步按梁的刚度条件检查梁的变形是否在设计条件所许可的范围内，因在很多情况下当变形超过一定限度时，梁的正常工作条件就会得不到保证。

或

和梁的刚度条件例6-7有一长度l＝4m的悬臂梁，在自由端承受集中力P＝10kN（如图6-10），试按强度条件及刚度条件从型钢表