计算动力学第三章资料讲解

计算动力学第三章例图示两端铰支Bernoulli-Euler梁受简谐纵向力f(t)=f0cospt作用，忽略梁的纵向惯性，建立其受扰后的横向微振动方程。解：设梁的长度为l，单位长度质量为ρA，抗弯刚度为EI。忽略梁的纵向惯性后，梁在轴向简谐力f(t)=f0cospt作用下的横向微振动微分方程为以两端铰支Bernoulli-Euler梁的固有振型作为Galerkin形函数，将挠度表示为根据固有振型的加权正交性得到一组解耦的常微分方程

引入得到标准的Mathieu方程

1周期系数线性常微分方程理论

考察具有周期系数的齐次线性常微分方程

将其写作二维相空间中的状态方程其中

(1)基本解根据线性常微分方程理论，方程具有两个线性无关的基本解和。对于该方程的任意解，存在常数a1和a2，使得其中

Φ(t)称作基本解矩阵。

现讨论基本解矩阵的主要性质。鉴于A(t)以T为周期，若u(t)

是方程的解，u(t+T)也是该方程的解。自然，Φ(t+T)中的和亦如此。因此,存在两个常数向量b1和b2使得其中矩阵B称作单值矩阵。不难证明，B具有如下性质：a.B是可逆矩阵b.c.若取Φ(0)=I，B=Φ(T)

d.根据线性常微分方程理论，可导出

(2)特征乘数与特征指数根据矩阵B的特征值问题定义r为方程的第r阶特征乘数，而满足如下关系的r为第r阶特征指数它们反映了系统的内在性质，与Φ(t)的选取无关。

设有两个不同的基本解矩阵

和

，它们各自满足

由于是解矩阵，自然存在可逆矩阵C使得它可由基本解矩阵表示

易见

根据线性代数，单值矩阵B和互为相似矩阵，它们具有相同的特征值。

例：exp（At）的计算。(3)Floquet（弗洛凯）定理定理(Floquet定理)方程存在具有如下形式的所谓正规解满足其中证明：取基本解矩阵和由式所确定的特征向量构造方程的正规解不难导出

不难导出

再取

可验证其周期性如下

推论：a.若即则相应的正规解渐近稳定；b.若即则相应的正规解不稳定；c.若即则相应的正规解稳定（但非渐近稳定。特别地,若存在正整数m,

使则有即正规解以为周期。Floquet定理应用一.线性系统1.首先将其写作二维相空间中的状态方程2.求基本解矩阵

3.求矩阵B满足Φ(0)=I，故B=Φ(T)4.求矩阵B的特征乘数和特征指数特征乘数特征指数5.稳定性a.若相应的正规解渐近稳定；b.若相应的正规解不稳定；c.若则相应的正规解稳定（但非渐近稳定）。二.参激线性系统1.首先将其写作二维相空间中的状态方程2.将T分为K个小区间，k=0,1,2,...K

计算A(t)在（）区间的平均值3.求矩阵BB=(T)4.求矩阵B的特征乘数和特征指数特征乘数特征指数(4)Hill方程当时，将方程1886年，Hill在分析月球在近地点附近的运动时首次研究了这类方程，故该方程被称作Hill方程。显然，Mathieu方程是其特款。改写为不难验证，通过变换

方程可简化为Hill方程

Hill方程的特征乘数满足特征方程故且当︱trB︱>2时，其中一个根的绝对值大于1而另一个根的绝对值则小于1.因此一个正规解是无界的而另一个是有界的.︱trB︱<2时两根是复共扼的,因为12=1,它们有单位模长.因此两个正规解都是有界的.由此得出从稳定到不稳定的转变发生在︱trB︱=2它对应于重根1=2=±1.1=2=1的情况,对应于存在一个周期为T的正规解，而1=2=-1

对应于一个周期为2T的正规解.

a.若必有某一相应的正规解不稳定；b.若且相应的正规解稳定（但非渐近稳定）；

c.若正规解是以T或2T为周期的稳定解（但非渐近稳定）。由此可知Hill方程特征解的特性：在Mathieu方程的情形,=(δ,ε).使︱trB︱>2的δ和ε值称为不稳定值,而使︱trB︱=2的值称为过渡值.过渡值的轨迹将εδ平面分隔成为如图所示的稳定和不稳定的区域.沿这些曲线至少有一个正规解是周期性的,具有周期或2.由于Strutt(1928)，VanderPol和Strutt(1928)的工作,被称之为Strutt图．

Mathieu为方程参数平面中的稳定和不稳定（阴影)区域无界的解可以定性地分为两种不向的类型(Cunningham,1958)如图所示,第一种类型是振荡的,但其振幅随时间以指数规律增长,第二种类型不是振荡的,同样随时间按指数律增长．有界解是非周期性的,随两种频率(γ的虚部和激励的频率)而变化,依赖于这两个频率的比值，解可以呈现出除过渡周期以外的许多种形状,图中显示了其中的三种.当比值很小时,解近似于周期解,具有高频调制的振幅和相位.Mathieu方程的无界解Mathieu方程的有界解的特征指数可以通过数值方法求得：在第一个振动周期内数值地计算满足初始条件和方程的两个线性独立解.利用这些解及其一阶导数在t=T的值,可计算和△.解出方程便可确定的值从而也就得到γ,因为γ=ln/T.利用Newton-Raphson方法,可以求出对应于=±1的系统的参数,也就是划分稳定与不稳定的边界.然而这方法会导致严重的计算困难,因而为了决定特征指数和划分稳定、不稳定的边界,需要应用近似方法.最后，讨论Hill方程在下述条件下的稳定性

其中和是两个参数，它们的不同组合决定了方程的解是否稳定。根据前述分析，解失稳的临界条件是，相应的可称作临界值。Haupt指出：给定平面上的直线ε=const.，则在该直线上存在无限多个孤立的临界值，，形成图中所示的Haupt图；当 时解不稳定， 时解稳定（但非渐近定），然后依次交替。2Mathieu方程小激励情况的稳定图

在Mathieu方程中,ε代表激励的强弱;ε是小参数时为Mathieu方程的小激励情况.对于这种情况,参照上述的稳定区与不稳定区分界线与周期解的关系,可以用小参数法方便地求出以和2为周期的周期解,从而确定分界线和稳定区的分布,即稳定图.现在要研究的问题是用小参数法把图上距离横向坐标轴δ轴不远的狭长地带的分界线近似地定地表示出来,也就是要找到哪些δ(ε)使方程有以和2为周期的相间的周期解.

首先是把解x(t)本身用小参数表示出来.在自治系统再把待求的振动频率这样表示出来,随后在一般非自治系统又把待求的相位差这样表示出来.现在就应该把待求的δ(ε)这样表示出来.为此设解为把此式代入,比较ε同幂次顶系数,得

第一式的周期解是

以下依次讨论δ0取这些值时的稳定性边界。

a.δ0＝0时,x1的周期性条件确定δ1=0

，从而把x0,x1，代入第三式得

由x2的周期性条件确定δ2

＝-1/2.从而近似解为b.δ0=1时，

第二式成为

x1的周期性条件确定此式中引起永年项的项应为零,于是

即对应的解是第一式进而代入第三式得

消除永年项要求

解出x2后，近似解是

得到δ0=1附近的两条稳定性边界和对应的2周期解

.它对应的解是代入第三式