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一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第七章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若q(x)0,若q(x)0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例2.有一电路如图所示,电阻

r

和电∼解:列方程.已知经过电阻r的电压降为ri

经过l的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感l

都是常量,解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得∼暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:∼例3.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量

y为自变量的一阶线性方程二、伯努利

(bernoulli)方程

伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程3.注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如,解方程法1.取

y

作自变量:

线性方程法2.

作变换则代入原方程得可分离变量方程思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程备用题1.

求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有线性方程利用公式可求出2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,

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