第三讲 完全四边形

第三讲:完全四边形完全四边形的定义:两两相交,且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.直线ABC、BDE、CDF、AFE两两交于A、B、C、D、E、F六点,则四边形ABCDEF即为完全四边形,线段AD、BF、CE为其三条对角线.完全四边形的性质性质1.完全四边形ABCDEF的三条对角线AD、BF、CE的中点M、N、P三点共线.分析:证明三点共线,寻找梅氏三角形.分别取CD、BD、BC的中点Q、R、S.于是,在△ACD中,M、R、Q三点共线;在△BCF中,S、R、N三点共线;在△BCE中,S、Q、P三点共线.由平行线性质得:对△BCD及截线AFE应用梅氏定理得:从而得:再对△QRS应用梅氏定理,知N、M、P三点共线.这条线也称为牛顿线.性质2.完全四边形ABCDEF中,G、H分别是过E的直线上且在△DEF内、在△ABE外的两点.设直线GF与HA交于点M,直线GD与HB交于点N,则M、N、C三点共线.证明：分别对△DEF及截线ABC,△GEF及截线HAM,△DEG及截线HBN应用梅氏定理,得:三式相乘,对△DGF应用梅氏逆定理.笛沙格定理若△ABH和△FDG的对应顶点的连线AF、HG、BD所在直线交于一点E,则△ABH和△FDG的三对对应边AB与FD、HB与GD、HA与GF所在直线的交点C、N、M三点共线.性质3.在完全四边形ABCDEF中,G是对角线AD所在直线上的一点,连结BG、CG、EG、FG,若∠AGC=∠AGE,则∠AGB=∠AGF.证明:点G在DA延长线上,过G作直线a⊥AD,过点B、F分别作直线BM⊥a于点M,交CD于点M1,交CG于点M2;作直线FN⊥a于点N,交DE于点N1,交GE于点N2.则BM//AG//FN.由∠AGC=∠AGE知,Rt△GMM2∽Rt△GNN2.故:由等比性质得:所以,Rt△MBG∽Rt△NFG.故∠BGM=∠FGN,因此∠AGB=∠AGF.注:本题的证明对其它几种情况同样适用.(1)点G在线段AD上;(2)点G在AD的延长线上(又分成∠AGC大于、等于、小于90°三种情况).当∠AGC=∠AGE=90°时,M2与M重合,N2与N重合.于是,有ABCMGNEFN1DM2M1N2所以,Rt△MBG∽Rt△NFG.性质4.在完全四边形ABCDEF中,过B、F分别作与对角线AD平行的直线,交对角线CE于点G、H,连BH、FG相交于点P,则点P在直线AD上.证明:延长AD交EC于Q点,对△ACE及点D应用塞瓦定理,得:只需对△GEF应用梅涅劳斯定理的逆定理即可得结论.由BG//AD//FH得:从而同理又于是又所以,点A、P、Q三点共线.性质5.在完全四边形ABCDEF中,若G、H分别是CF、BE的中点,则S四边形BCEF=4S△AGH.证明:连结CH、HF,得性质6.在完全四边形ABCDEF中,四个三角形△ABE、△BCD、△ACF、△DEF的外接圆共点(该点称为Miquel点).证明：设△BCD与△DEF的外接圆交于点D外,还交于点M.设点M在直线CB、CD、BD上的射影分别为P、Q、R,则对△BCD应用西姆松定理,知P、Q、R共线.又设点M在AE上的射影为S,则对△DEF应用西姆松定理,知Q、R、S共线,故P、Q、R、S共线.在△ACF中,点P在直线AC上,点Q在直线CF上,点S在直线AF上,且P、Q、S共线,则对△ACF应用西姆松定理的逆定理,知点M在△ACF的外接圆上.同理,点M在△ABE的外接圆上.故△ACF、△BCD、△DEF、△ABE的四个外接圆共点.有约束条件的完全四边形Miquel点的性质.推论1.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且AB=AE,BC=EF(或CD=DF).则:(1)AM为△ABE外接圆直径;证明:对△ACF及截线BDE应用梅氏定理,有又AB=AE,则由上式知:BC=EFCD=DF.由正弦定理知,⊙BCD与⊙DEF是等圆,又A、B、M、E共圆,知∠CBM=∠AEM=∠FEM.从而CM=MF.又由∠BCM=∠EDM=∠MFE,知△BCM≌△FEM.从而BM=ME,即△ABM≌△AEM,即AM为∠BAE的平分线,亦即知△ABE的外心O2在AM上.故AM为△ABE的外接圆的直径.(2)DM⊥CF;推论1.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且AB=AE,BC=EF(或CD=DF).则:证明:由△DCM≌△DFM,有∠CDM=∠FDM.故DM⊥CF.(3)△ACF的外心在直线DM上.推论1.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且AB=AE,BC=EF(或CD=DF).则:证明:在△ACF的外接圆⊙O1中,点D为弦CF的中点,从而O1D⊥CF,从而C、D、M共线,即△ACF的外心在直线DM上.推论2.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且AC⊥BE,AE⊥CF,则:(1)点M在CE上,且A、D、M共线,DM⊥CE.证明:连CE,由题设知,D为△ACE的垂心.CE边上的高线的垂足即为Miquel点.由上知,点M在CE上,且A、D、M三点共线,DM⊥CE.推论2.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且AC⊥BE,AE⊥CF,则:(2)以MB为直径的圆交BC于点P,交CE于点Q,则PQ//AE;以MF为直径的圆交FE于点R,交CE于点S,则RS//AC.证明:由B、P、Q、M共圆,A、B、M、E共圆,得∠PQC=∠PBM=∠MEA,从而PQ∥AE.同理,RS//AC.推论2.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且AC⊥BE,AE⊥CF,则:(3)过点M、F、B的圆交AD于点A1,交CD于点C1,交ED于点E1,则A1,C1,E1分别是AD、CD、ED的中点.证明:过点M、F、B的圆是△ACE的九点圆,从而A1,C1,E1分别是AD、CD、ED的中点.推论3.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且B、C、E、F共圆O,则:(1)点M在对角线AD上;证明:在直线AD上取点M′,使AD·AM′=AB·AC,则AD·AM′=AF·AE,此时B、C、M′、D共圆,E、F、D、M′也共圆,即M′为⊙BCD与⊙DEF的另一个交点,从而M′为其Miquel点,故M′与M重合,即点M在对角线AD上.推论3.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且B、C、E、F共圆O,则:(2)AM平分∠CME,AM平分∠BMF,且C、O、M、E四点共圆,点B、O、M、F四点共圆.证明:连CM、EM,设直线AD交⊙O于G、H,则∠CMH=∠CBD=∠EMH.故∠CME=2∠CBE=∠COE.从而,AM平分∠CME,且C、O、M、E四点共圆.同理,AM平分∠CME,且B、O、M、F四点共圆.推论3.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且B、C、E、F共圆O,则:(3)OM⊥AD,且⊙AOM与⊙O的交点为P、Q时,AP、AQ是⊙O的切线.证明:连OC、OE,由C、O、M、E四点共圆,有即∠OMC+∠CMH=90°,故OM⊥AM,即OM⊥AD.由于⊙O中,AO为直径,则∠APO=∠AQO=90°,从而AP、AQ为⊙O的切线.∠OMC=∠OEC=∠OCE练习:在完全四边形ABCDEF中,对角线AD、BF交于点G,点M是其Miquel点,若A、B、D、F四点共圆O,则O、G、M三点共线.对于完全四边形EFAGBD,其Miquel点N在直线EG上,从而有EG•EN=EF•EA=EQ2.△EQN∽△EQG.∠EGQ=∠EQN.同理,∠EGP=∠EPN.于是,P、G、Q三点共线.练习:在完全四边形ABCDEF中,对角线AD、BF交于点G,点M是其Miquel点,若A、B、D、F四点共圆O,则O、G、M三点共线.注意到EQ2=ED•EB=EM•EC.从而,CE2–EQ2=CE2–EM•EC=CE•CM=CD•CF=(CO-r)(CO+r)=(CO-OQ)(CO+OQ)=CO2–OQ2.于是,CQ⊥OE.同理,CP⊥OE.即C、P、Q三点共线.从而,OE⊥CG.同理OC⊥EG.O为△CGE的垂心,OG⊥CE,又OM⊥CE,证毕.练习:四边形ABCD内接于圆O,AB与DC交于点P,AD与BC交于点Q,AC与BD交于点R,求证:O为△PQR的垂心.(2001东北三省数学邀请赛)练习:四边形ABCD内接于圆O,AB与DC交于点P,AD与BC交于点Q,由Q作该圆的两条切线QE、QF,切点分别为E、F,求证:P、E、F三点共线.(1997CMO)推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:(1)点M在对角线CE上,且OM⊥CE;分析:(1)设过点B、C、D的圆交CE于点M′,连DM′,则∠AFD=∠CBD=∠DM′E,从而D、M′、E、F共圆.即M′为⊙BCD与⊙DEF的另一个交点,从而M′为其Miquel点,故M在对角线CE上.推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:(1)点M在对角线CE上,且OM⊥CE;设圆O的半径为r,则两式作差:分析:(2)则由∠BMC=∠BDC=∠FDE=∠FME,即知OM平分∠BMF.由∠AMC=∠AFC=∠DME,即知OM平分∠AMD.推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:(2)OM平分∠BMF,OM平分∠AMD.推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:(3)若∠C、∠E的平分线相交于点K,则CK⊥EK.设∠DCE=∠1,∠DEC=∠2.(∠BCD+∠1+∠2)+(∠DEF+∠2+∠1)=∠ABD+∠AFD=180°.即CK⊥EK.推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:(4)∠DGF的平分线与EK平行,∠BGD的平分线与CK平行.设∠DGF的平分线交DE于点X,EK与FG交于点I.GX//EK推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:(5)若从点C、E分别引⊙O的切线,切点为P、Q,则CE2=CP2+EQ2.设过点B、C、D的圆交CE于点M,连结DM.则∠AFD=∠CBD=∠DME.从而D、M、E、F四点共圆.CM·CE=CD·CF,EM·EC=ED·EB.两式相加得:CE2=CD·CF+ED·EB.又CD·CF=CP2,ED·EB=CQ2推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:(6)过点E的圆的割线交⊙O于点R、P,直线CP交⊙O于点S,则R、G、S三点共线.连结PA、PB、SA、SB、DR、RF、PF.由△EFR∽△EPA,△CBS∽△CPA得即由△ERD∽△EBP,△CBP∽△CSA得以上两式相除:对△ABE及截线CDF应用梅涅劳斯定理知:于是,上式可变为:由角元塞瓦定理的推论知,SR、BF、AD共点,故S、G、R三点共线.推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:ABCDEFOGW(7)设对角线AD的延长线交对角线CE于点W,则CW=WE的充要条件是WA·WD=CW2.对△ACE及点D应用塞瓦定理:WA·WD=CW2△DWC∽△CWA∠DCW＝∠CAW＝∠BFDBF//CE推论4.在完全四边形ABCDEF中,点M是其Miquel点,且A、B、D、F四点共圆O,则:(8)设Z是对角线CE的中点,连结AZ交⊙O于点N,则C、D、N、E四点共圆.若AZ过点D时,点D与点N重合,显然成立.ABCDEFOZWNY设AZ不过点D,延长AZ到点Y,使ZY=AZ,则ACYE为平行四边形.又∠CDE=∠BDF=180°-∠BAF=180°-∠CYE,即C、Y、E、D四点共圆.又∠YND=180°-∠AND=∠ABD=∠YED,即D、N、E、Y四点共圆.故CYEND共圆.练1.在锐角△ABC中,AB边上的高CE与AC边上的高BD交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH交于点K.已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.PABCDEKHGF延长AH交BC于点P,易得点D为完全四边形BPCHAE的Miquel点.于是得GF//BC.下面求AB,AP,AF.设锐角△ABC的三内角分别为A,B,C,则PABCDEKHGF从而得:在△ABC中,由正弦定理得:即AP=ABsinB=24.连DF,则BD2=BF·AB,从而AF=9.练2.已知锐角△ABC中,CD是过点C的高线,M是边BA的中点,过M点的直线分别交射线CA、CB于点K、L,且CK=CL.若△CKL的外心为S.证明:SD=SM.EMKLABDCS设过M点与AB垂直的直线与CS延长线交于点E.则易得点E为完全四边形CKAMLB的Miquel点.由于CE是⊙CKL的直径,即S是CE的中点.又CD⊥AB,ME⊥AB,即点S在MD的中垂线上,故SD=SM.练3.四边形ABCD内接于圆,直线AB、DC交于点E,直线AD、BC交于点F,∠AEC的平分线交BC于点M,交AD于点N,∠BFD的平分线交AB于点P,交CD于点Q,求证:MPNQ是菱形.FEQPBACDNM设PQ、MN交于点K,连结EF,设∠DEF=∠1,∠BFE=∠2.12K由∠ABC+∠ADC=180°得,∠BEC+∠1+∠2+∠DFC+∠2+∠1=180°,2∠KEC+∠1+∠2+2∠KFC+∠2+∠1=180°,∠KEC+∠1+∠2+∠KFC=90°,∠KEF+∠KFE=90°,MN⊥PQ.角平分线即中线,从而PQ、MN互相平分.练4.一个圆通过△ABC的顶点A、B,分别交线段AC、BC于点D、E,直线BA、ED交于点F,直线BD、CF交于点M.证明:MF＝MC的充要条件是MB·MD＝MC2.FEBACDM对△BFC及点D应用塞瓦定理得:MB·MD＝MC2△MBC∽△MCD∠MCD=∠MBC=∠DAE连AE.AE//CFMF＝MC练5.在△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A、C,又和线段AB、BC分别交于点K、N(K和N不同).△ABC的外接圆和△BNK的外接圆恰相交于点B和另一点M.证明:∠BMO＝90°.ABCKNOM作⊙O的割线NM交⊙O于点D,连AD,OA,OD,AM.则BM//AD.由ACNK,ACMB分别四点共圆知,∠BKN=∠ACB=∠AMB.又由KNAD四点共圆,∠BKN=∠ADN=∠ADM.于是∠DAM=∠AMB=∠ADM.即MA=MD.D又OA=OD,即OM⊥AD,从而OM⊥BM.练6.在完全四边形ABCDEF中,对角线AD和BF交于点G.若过点D、F、G的圆与边AE、BE分别切于点F、D,则直线CG是△DFG外接圆的切线.ABCDEFGC′设过点G的△DFG的外接圆的切线与直线FD交于点C′.由△ADF∽△AFG得,即同理,三式相乘由梅涅劳斯定理的逆定理知ABC′

三点共线.故C′、C重合.CG是△DFG外接圆的切线.练7.在完全四边形CFBEGA中,对角线CE所在直线交△ABC的外接圆于点D,过点D且于FG切于点E的圆交AB于点M.已知求(用t表示).FECDMABG连结AD、MD、BD.由∠DMA=∠DEG=∠FEC,∠FCE=∠MAD得:△EFC∽△MDA.即又∠FEC=∠DME,知∠GEC=∠DMB,∠ECG=∠DBM.故△GEC∽△DMB.即故EF·MA=EG·BM.练8.在完全四边形BXAPCR中,⊙O1切AB于点A、切XC于点P;⊙O2过点C、P,且与AB切于点B.⊙O1与⊙O2除相交于点P外,还相交于点Q.证明:△PQR的外接圆与直线BP、BR相切.O1BRXQAPCO2连结BQ,AQ.由∠BPR=∠PBA+∠BAP=∠BCX+∠APX=∠BCX+∠CPR=∠BRP,故BP=BR.由弦切角定理的逆定理知,只需证明∠BPR=∠PQR.又∠BRP=∠BPR=∠PBA+∠PAB=∠AQP+∠BQP=∠AQB.即AQRB四点共圆.故∠BQR=∠PAB.又∠BQP=∠PBA,则∠PQR=∠PAB+∠PBA=∠BPR.因此,BP是△PQR外接圆的切线.练9.在完全四边形ABCDEF中,⊙O分别内切四边形ABDF的边AB、BD、DF、FA于点P、Q、R、S.求证:(1)AD、BF、PR、QS四线共点;(2)AC-CD=AE-DE.BACDEFPQRSMM′(1)设BF与QS交于点M,BF与PR交于点M′.下面证明M与M′

重合.对△BEF及截线QMS、△BCF及截线PM′R分别应用梅氏定理得:即即又