建立二次函数模型

2.1建立二次函数模型

1、一次函数解析式一般形式是：

_________,图像是__________

复习提问y=kx+b(k≠0)一条直线双曲线2、反比例函数解析式一般形式是：

__________,图像是_____.观察下列图形：新课引言美丽的桥孔、迷人的彩虹、篮球在空中运行的路线、欢腾的喷泉是什么曲线吗？你能建立一个函数模型来刻画这些曲线吗？这就是本章要学习的二次函数图像。

这一章的内容有：建立二次函数模型，研究二次函数图像和性质，展示二次函数的应用。

问题一、学校准备在校园内利用围墙一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图所示，现在已备足可以砌100m长的墙的材料。大家来讨论对应不同砌法，植物园面积会发生怎样变化？有没有一种统一的能包括一切可能砌法的探讨方法呢？

主题讲解主题一、二次函数的定义思考：

（1）问题中有哪些变量？

谁是自变量？谁是因变量？

（2）假设与围墙垂直的一面墙长

为xm，那么与墙平行的一面的墙

长怎样表示？

(3)如果设矩形的面积为s（

m2），那么s与x之间有什么关系？s=x(100-2x)=-2x2+100x(0<x<50)（100-2x)x问题2、一种型号的电脑，两年前的销售价为6000元，现在的销售价为y元，如果每年的平均降价率为x，那么降价率变化时电脑售价怎样变化呢？解：y=6000(1-x)2=6000(1-2x+x2)=6000x2-12000x+6000(0<x<1)s=-2x2+100x(0<x<50)

y=6000x2-12000x+6000(0<x<1)

这两个函数是一次函数吗？是反比例函数吗？它们有什么特点呢？特点：函数解析式是关于自变量的二次式思考：2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）等式的右边最高次数为

，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是。整式a≠0.2任意实数13二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx当b＝0，c＝0时，y＝ax2观察与总结14定义：如果函数解析式是关于自变量的二次多项式，这样的函数叫二次函数，它的一般形式是：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）注意！（1）二次项系数a不能为0，(2)自变量x的取值范围为全体实数，但在实际问题中要考虑实际意义。（3）形式：y=ax2+bx(a≠0）y=ax2+c(a≠0）y=ax2(a≠0）都是二次函数。函数解析式二次项系数a一次项系数b常数项c00242－158－112130说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：试一试:二次函数y=ax²+bx+c中a≠0,而b、c可以为0.

【例1】下列函数中（x,t是自变量），哪些是二次函数？

(1)y=-0.5+3x²,(2)y=x(x+1)-x2+2

(3)y=2²+2x,(4)s=1+t+5t²

(5)y=(m-1)x2+3x

解（1），（4）是二次函数判断一个函数关系是不是二次函数，不能只看表面形式，而要化简后，看自变量的最高次数是否为2.注意！1、m为___时，函数y=(m-1)是二次函数。2、已知函数y=(a-2)x2+4x+3不是二次函数，则=__.变式练习3、已知函数y=(m2-9)x2+(m+3)x+5是一个一次函数，则2m=_____-1168例题与练习例2.y=(m+3)x(1)m取什么值时,此函数是正比例函数?(2)m取什么值时,此函数是反比例函数?(3)m取什么值时,此函数是二次函数?m2－7看谁算得快!1.函数是一次函数，求k的值。02.函数是二次函数,求m的值。23.函数是二次函数，求m的值2191、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为()Ay=ax2+bx+cBy2=x2-4x+1Cy=x2Dy=2+√x2+1随堂练习202.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()Am,n是常数,且m≠0Bm,n是常数,且n≠0Cm,n是常数,且m≠nDm,n为任何实数215、圆的半径是1cm，假设半径增加xcm

时，圆的面积增加ycm²。（1）写出y与x之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm，2cm时，圆的面积增加多少？随堂练习226、如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，

AB=DC，∠B=600，梯形的周长为60，设腰AB=x，梯形面积为y.（1）写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。（2）当x=15时，求y的值。ACBDFEx随堂练习237.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？是二次函数关系式.解：S=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.随堂练习24某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。（1）问题中有那些变量？（2）假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。随堂作业：相信你一定行251填空：（1）、正方体的棱长为x，表面积为y，则y=____.

（2）、正多边形的边数为n，对角线的条数为y，则y=

_____.

（3）、某工厂第一年利润为20万元，第三年利润为y万元，平均每年增长率为x，则y=____________。变式练习6x220(x+1)22、写出下列函数的解析式，并指出它们中哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数。

（1）正方形的面积s关于它的边长x的函数。

（2）圆的周长C关于它的半径r的函数。

解：C=2πr是一次函数解：S=x2是二次函数（3）圆的面积s关于它的半径r的函数。

（4）当菱形的面积s一定时，它的一条对角线的长度y关于另一条对角线的长度x的函数。是二次函数是反比例函数5.如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是______0如果函数y=(k-3)+kx+1(x≠0)是一次函数,则k的值一定是______3或1或229３、若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形经过A（－1，0），B（0，1），C（1，6）三点，求这个函数的解析式30例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.｛待定系数法31回味无穷小结拓展

1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、