【精品】2011高考数学一轮 第九章直线与平面所成的角和二面角学案课件5 新人教A版

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1.直线和平面所成角及其范围平面的一条斜线，与它在平面内的射影所成的

，叫这条直线与平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们就说这条直线与平面所成的角是

.一直线与平面平行或在平面内，我们说这条直线与平面所成的角是

.若θ表示直线与平面所成的角，则线面角的范围是

.锐角直角0°角0°≤θ≤90°

2.直线与平面所成角的性质及公式斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成的角中

.

公式：cosθ=cosθ1·cosθ2.

斜线AB与平面α所成的角为θ1,A为斜足,AC在α内，且与AB的射影成θ2角，∠BAC=θ，则有cosθ=cosθ1·cosθ2.最小的角返回目录

3.二面角及其平面角从一条直线出发的两个

所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.一个平面垂直于二面角α-l-β的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA,OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角α-l-β的

.平面角的范围是(0°,180°］.4.两个平面互相垂直的判定定理及性质定理如果一个平面过另一个平面的

，那么这两个平面互相垂直.

如果两个平面互相垂直，那么

垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.在一个平面内半平面平面角一条垂线返回目录

考点一求线面角【例1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角.【分析】求线、面所成角的基本方法就是作出斜线在平面内的射影，得到直线和平面所成的角，通过解三角形或求出该角.返回目录

【解析】解法一：如上图,连接BC1交B1C于O.∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴BO⊥B1C.又∵A1B1⊥面B1BCC1，则A1B1⊥BO，∴BO⊥面A1B1CD，∴A1O是A1B在面A1B1CD上的射影.且∠BA1O是直线BA1与平面A1B1CD所成的角.设正方体棱长为a，则A1B=a,BO=a.∴sin∠BA1O=，∴∠BA1O=30°.因此，A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.返回目录

【评析】求线面角的关键是找射影，而由斜线上一点作面的垂线时，需明确垂足的位置，这样便于计算.返回目录

＊对应演练＊如图所示，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点.求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正切值.返回目录

（1）∵CS⊥SB,CS⊥SA,∴SC⊥平面SAB，∴BC在平面SAB上的射影为SB,∴∠SBC为SB与平面SAB所成的角.又∵∠SBC=60°,故BC与平面SAB所成的角为60°.返回目录

（2）连结MC，在Rt△ASB中，∠SBA=45°,∴SM⊥AB.又∵AB⊥SC，∴AB⊥面SMC.∴面SMC⊥面ABC.过点S作SO⊥MC于点O，∴SO⊥面ABC，∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角.设SB=a,则SM=a,在△SBC中，SC=SBtan60°=a,∴tan∠SCM==.返回目录

考点二求二面角【例2】如图，在长方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，已知ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＡＡ１＝２.Ｅ，Ｆ分别是线段ＡＢ，ＢＣ上的点，且ＥＢ＝ＦＢ＝１.求：（１）二面角Ｃ—ＤＥ—Ｃ１的正切值；（２）直线ＥＣ１与ＦＤ１所成角的余弦值.返回目录

【分析】（1）利用三垂线定理作出二面角C—DE—C1的平面角，解三角形求得.

（2）将两条异面直线平移为相交直线得到夹角.

【解析】解法一：如图所示,（１）过Ｃ作ＣＧ⊥ＤＥ，垂足为Ｇ，连结Ｃ１Ｇ.∵ＣＣ１⊥平面ＡＢＣＤ，∴ＣＧ是Ｃ１Ｇ在平面ＡＢＣＤ上的射影.返回目录

由三垂线定理得ＤＥ⊥Ｃ１Ｇ.∴∠ＣＧＣ１是二面角Ｃ—ＤＥ—Ｃ１的平面角.在△ＡＤＥ中，ＡＥ＝ＡＤ＝３，∠ＤＡＥ＝９０°，∴∠ADE=45°∠CDG=90°-45°=45°.∴CG＝CD·sin∠CDG＝4×sin45°=.∴tan∠CGC1=.返回目录

所以Ｅ１Ｄ１∥ＥＣ１，于是∠Ｅ１Ｄ１Ｆ为ＥＣ１与ＦＤ１所成的角或其补角.

因为在Ｒｔ△BE１F中，

E１F＝

(2)延长ＢＡ至点Ｅ１，使ＡＥ１＝１，连结E１F,DE1,D１E１,DF.

有D１C１∥Ｅ１Ｅ，D１C１

＝Ｅ１Ｅ，则四边形Ｄ１Ｅ１ＥＣ１是平行四边形.返回目录

在Rt△D１ＤＥ１中，Ｄ１Ｅ１＝在Ｒｔ△Ｄ１ＤＦ中，ＦＤ１＝所以在△Ｅ１ＦＤ１中，由余弦定理得ｃｏｓ∠E１D１F＝返回目录

【评析】本题主要涉及求异面直线所成的角和二面角.一般方法要求根据定义作出角来，再计算大小.返回目录

＊对应演练＊如图所示，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明:AE⊥PD;(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E—AF—C的余弦值.返回目录

(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD，所以AE⊥PD.返回目录

(2)如图甲,设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH,EH.由(1)知AE⊥平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中,AE=,所以当AH最短时,∠EHA最大,即当AH⊥PD时,∠EHA最大.此时tan∠EHA=,因此AH=.又AD=2,所以∠ADH=45°,所以PA=2.因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD.返回目录

过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,过O作OS⊥AF于S,连结ES,则∠ESO为二面角E—AF—C的平面角,在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,又在Rt△ESO中,cos∠ESO=,即所求二面角的余弦值为.返回目录

考点三面面垂直的判定和性质的应用【例3】如图所示,△ABC为正三角形，EC⊥面ABC，BD∥EC且EC=CA=2BD，M为EA中点.求证：（1）平面BDM⊥平面ACE；（2）平面DEA⊥平面ECA.【分析】要证面面垂直，首先想到判定定理，转为证线面垂直，再转换为证线线垂直.返回目录

【证明】（1）取CA中点N，连结MN，BN，在△ACE中，M，N分别为AE，AC中点，∴MN∥EC，MN=EC.而BD∥EC，BD=EC，∴BDMN,∴B,D,M,N四点共面.∵EC⊥面ABC，BN面ABC，∴EC⊥BN.又∵BN⊥AC，BN⊥EC，AC∩EC=C,∴BN⊥面ECA.又BN面BMD，∴面BMD⊥面ACE.（2）∵DM∥BN，BN⊥面ACE，∴DM⊥面ACE.又DM面DEA，∴面DEA⊥面ACE.∥返回目录

【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直.一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.返回目录

＊对应演练＊如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°,E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.返回目录

（1）证明：如图甲所示，连结BD，由ABCD

是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.返回目录

（2）如图乙所示，延长AD，BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（1）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF=60°,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连结AG，则AG⊥PF.返回目录

连结HG，由三垂线定理的逆定理得PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面