自再现模上课讲义

自再现模第二章开放式光腔与高斯光束一、射线（几何）光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）1.表示光线的参数

r－光线离光轴的距离－光线与光轴的夹角傍轴光线

tg

sin

正,负号规定:q>0q<0q<0rq光线出射方向在轴线上方，为正光线出射方向在轴线上方，为负2.自由空间区的光线传播矩阵A处：r0,q0B处：r’,q’

LAB自由空间光线传播矩阵

3.球面镜反射矩阵R4.ABCD矩阵的应用－球面镜腔的往返矩阵球面镜腔中光线往返一周（出发-反射—出发）的矩阵（往返矩阵）

12345

其中n光线在球面镜腔中往返n次的光线矩阵5、共轴球面镜腔的稳定判据An,Bn,Cn,Dn

矩阵元有界，说明光线经过n次不逸出腔外，关键因子f

应为实数，且不等于kp讨论：实数，

An,Bn,Cn,Dn有界

稳定腔(1)复数，

nAn,Bn,Cn,Dn

非稳定腔(2)(3)k为奇数(-1)k为偶数(+1)K为奇数K为偶数求出极限临界腔的典型例子平行平面镜腔(R=)

3.共心腔R1+R2=L

临界腔非稳腔稳定腔2.对称共焦腔

R1=R2=L往返两次自行闭合

稳定腔稳定判据另一表达式自再现模产生的物理原因一、衍射理论的基本出发点与自再现概念1.惠更斯--菲涅尔衍射原理及基尔霍夫衍射积分开腔衍射理论分析方法S曲面上光场分布函数各子波源发出的球面波倾斜因子从普遍的电磁场理论推导衍射积分公式参见朱如曾“激光原理”P.446U1(x1,y1)U3(x3,y3)Uj+1(xj+1,yj+1)Uj(xj,yj)M1M2U2(x2,y2)场分布不变－再现自再现条件往返次数足够多时,Uj+1能再现Uj，衍射效应对光波场分布的影响可以忽略！qrP(x,y)P’2.自再现模概念

二.光腔中的衍射场自洽积分方程衍射积分公式自再现概念光腔中的衍射场自洽积分方程开腔中稳态场分布函数自再现模积分方程……..……..

g－复常数的物理意义

g

与dD

有关dD－光场在腔中渡越一次的相对功率损耗－单程损耗－传输因子设单程模振幅的衰减相移gmn－量度自再现模的单程损耗,不同横模有不同的dD

gmn

模的单程损耗单程相移

d-------自再现模在腔内渡越一次的总相移根据谐振条件当gmn得知,可求得模的谐振频率

分离变量法设想要求P2(x’,y’)P1(x,y)P’1P’2D2D1oo,对称共焦腔满足分离变量的要求方形镜面对称共焦腔中的自再现模一.方形镜面对称共焦腔中自再现模的积分方程及求解设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，

分离变量之后上述方程的严格解为：厄米多项式高斯分布上述方程也称为厄米-高斯函数几个低阶厄米多项式的值可看出：具有m个根，即具有m个节点二.共焦腔自再现模场的特征1.厄米—高斯近似共焦腔方型镜上场的振幅（强度）分布①基模:取（3-18）式中

m=n=0，得到共焦腔方型镜上基模

TEM00场的分布因为所以

可见，基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心（x=y=0）向边缘平滑地降落。在离中心的距离为

处场的振幅降落为中心处的1/e。②定义基模光斑半径为基模振幅最大值的1/e处基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内.上式表明，共焦腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有关。这是共焦腔的主要特征。数值例：L=1m,λ=10.6μm,共焦腔的CO2激光器ω0s≈1.84mmL=30cm,λ=0.6328μm,共焦腔的He—Ne激光器

ω0s≈0.25mm

可见，共焦腔的光斑半径非常小。由

可知,光斑尺寸与腔镜尺寸无关，与腔长L成正比.③镜面上场的振幅和强度分布—高阶横模利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：

当m、n取不同时为零的一系列整数时,由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分布因为故因为故因为故TEM20因为故因为故TEM11可以看出，TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线，厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单调下降的特征决定着场分布的外形轮廓。④高阶模的光斑尺寸与基模的关系可见,阶次越高,光斑半径越大,光强分布越偏离中心.图(3-5)的变化曲线及相应的光强分布

同种腔同种模

ND（菲涅尔数越大，损耗越小）

不同模

N相同时，m,n

D

（阶数越大，损耗越小）

不同腔共焦腔衍射损耗<平行平面镜腔衍射损耗2.自再现模的单程损耗:D

3.单程相移与谐振频率：由q所表征的沿着腔轴线方向的场分布称为腔的纵模。属于同一横模TEMm,n、相邻两个纵模之间的频率间隔为由于为相应的折射率共焦腔的振荡频率图从上式可以看见，共焦腔在频率上是高度简并的，（2q+m+n）相同的所有模式都具有相同的谐振频率。如：TEMmnq，TEMm-1，n+1，qTEMm，n-2，q+1，TEMm-2，n，q+1，

TEMm+1，n-3，q+1等都有相同的频率。这种简并现象可以通过共焦腔对不同横模衍射损耗的不同而消除。（2）旋转对称

TEMmn

m－暗直径数；n－暗环数(半径方向)TEM00TEM01TEM02TEM10TEM20TEM304.自再现模的形状（1）x,y

轴对称

TEMmn

m－X向暗区数n－Y向暗区数TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31方形共焦腔圆形共焦腔方形镜共焦腔的行波场由共焦腔镜面的自再现模v(x,y)激发的沿着腔轴线方向传播的行波场E(x,y,z),如果考虑上腔镜的折射率，那么行波场也可以描述输出激光的场分布。方形镜共焦腔行波场的等相位面分布情况方形镜共焦腔行波场