《电动力学》第7讲

《电动力学》第7讲第一章电磁现象的普遍规律(5)§1.5电磁场的能量和动量教师姓名：宗福建单位：山东大学物理学院2015年9月29日山东大学物理学院宗福建1山东大学物理学院

宗福建2上一讲复习1、介质的极化宏观电偶极距分布用电极化强度矢量P描述，它等于物理小体积ΔV内的总电偶极距与ΔV之比，式中pi为第i个分子的电偶极距，求和符号表示对ΔV内所有分子求和。

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宗福建3上一讲复习1、介质的极化引入电位移矢量D,定义为则，山东大学物理学院

宗福建4上一讲复习2、介质的极化实验指出，各种介质材料有不同的电磁性能，D和E的关系也有多种形式。对于一般各向同性线性介质，极化强度P和E之间有简单的线性关系

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宗福建5上一讲复习2、介质的磁化介质磁化后，出现宏观磁偶极距分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积ΔV内的总磁偶极距与ΔV之比，山东大学物理学院

宗福建6上一讲复习2、介质的磁化引入磁场强度H，定义为则，

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宗福建7上一讲复习2、介质的磁化实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度M和H之间有简单的线性关系山东大学物理学院

宗福建8上一讲复习3、介质中的麦克斯韦方程组为介质方程为：山东大学物理学院

宗福建9上一讲复习积分形式：山东大学物理学院

宗福建10上一讲复习4、法向分量的跃变山东大学物理学院

宗福建11上一讲复习5、切向分量的跃变山东大学物理学院

宗福建12上一讲复习矢量形式山东大学物理学院

宗福建13上一讲习题解答9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。证：

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宗福建14上一讲习题解答9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。证：

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宗福建15上一讲习题解答13、用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界而上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。证：本讲内容场和电荷系统的能量守恒定律场的能量密度场的能流密度电磁能量的传输场和电荷系统的动量守恒定律场的动量密度场的动量流密度山东大学物理学院宗福建16电磁场的能量和能流

电磁场是一种物质，它具有内部运动。电磁场的运动和其他物质运动形式相比有它特殊性的一面，但同时也有普遍性的一面，即电磁场运动和其他物质运动形式之间能够互相转化。这种普遍性的反映是各种运动形式有共同的运动量度——能量。我们对一种新的运动形态的认识是通过它和已知的运动形态的能量守恒定律来得到的。下面我们将通过电磁场和带电物体相互作用过程中，电磁场的能量和带电体运动的机械能互相转化来求出电磁场的能量表达式。

山东大学物理学院宗福建17场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式

以天线辐射电磁波的过程为例在这过程中，电磁能量随着电磁波的运动不断地从天线传向远方。在空间各点上，都可以接受到电磁波的能量，但是同一接收器在不同点上的接受功率是不同的，它与离天线的距离有关，而且也和方向有关。由此可见，能量是按一定方式分布于场内的，而且由于场在运动着，场能量不是固定的分布于空间中，而是随着场的运动而在空间中传播。

山东大学物理学院宗福建18场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式

因此，我们需要引入两个物理量来描述电磁场的能量：

（1）场的能量密度w，它是场内单位体积的能量，是空间位置x和时间t的函数，w=w(x,t)；（2）场的能流密度S,它描述能量在场内的传播。S在数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。

山东大学物理学院宗福建19场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式

场和电荷相互作用时，能量就在场和电荷之间转移。例如在接收电磁波的过程中，电磁场作用于接收天线的自由电荷上，引起天线上的电流，电磁波的一部分能量即转化为接收系统上的电磁能量。由此，场和电荷之间，场的一区域与另一区域之间，都可能发生能量转移。在转移过程中总能量是守恒的。

山东大学物理学院宗福建20场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式

考虑空间某区域V，其界面为S。设V内有电荷电流分布ρ和J

。能量守恒定律要求单位时间通过界面S流入V内的能量等于场对V内电荷作功的功率与V内电磁场能量增加率之和。

山东大学物理学院宗福建21场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式

以f表示场对电荷作用力密度，v表示电荷运动速度，则场对电荷系统所作的功率为

山东大学物理学院宗福建22V内场的能量增加率为

通过界面S的流入V内的能量为场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式

能量守恒的积分形式是

山东大学物理学院宗福建23相应的微分形式为场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式

若V包括整个空间，则通过无限远界面的能量应为零。这时能量守恒式左边的面积分为零，因而

此式表示场对电荷所作的功率等于场的总能量减小率，因此场和电荷的总能量守恒。

山东大学物理学院宗福建24电磁场能量密度和能流密度表示式

由洛仑兹力密度公式得

山东大学物理学院宗福建25电磁场能量密度和能流密度表示式

由Maxwell方程组得

山东大学物理学院宗福建26电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建27电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建28电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建29能流密度：能量密度：电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建30例题1：求半径为a，均匀带电导体球和

介质球的总静电能。电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建31半径为a，均匀带电导体球Q所激发的电场强度为

:电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建32总静电能量为：电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建33半径为a，均匀带电介质球体电荷Q所激发的电场强度为

:电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建34半径为a，均匀带电介质球体电荷Q所激发的电场强度为

:电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建35总静电能量为:电磁场能量密度和能流密度表示式

山东大学物理学院宗福建36总静电能量为:若取电子的经典半径re,使：则，山东大学物理学院

宗福建37§1.4.3电磁场边值关系

例2：内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器单位长度电荷为

λf

板间填充电导率为σ的非磁性物质。1证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消因此内部无磁场；2求λf

随时间的衰减规律；3求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度；4求长度为l的一段介质总的能量耗散功率并证明它等于这段的静电能减少率。山东大学物理学院

宗福建38§1.4.3电磁场边值关系

解：1证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消因此内部无磁场；山东大学物理学院

宗福建39§1.4.3电磁场边值关系

解：2求λf

随时间的衰减规律；山东大学物理学院

宗福建40§1.4.3电磁场边值关系

解：3求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度；山东大学物理学院

宗福建41§1.4.3电磁场边值关系

解：4求长度为l的一段介质总的能量耗散功率并证明它等于这段的静电能减少率。电磁能量的传输

在电磁波情形中，能量在场中传播的实质，一般是容易理解的。但是在恒定电流或低频交流电情况下，由于通常只需要解电路方程，不必直接研究电磁场量，人们往往忽视能量在场中传播的实质。事实上在这情形下电磁能量也是在场中传输的。在电路中，物理系统的能量包括导线内部电子运动的动能和导线周围空间的电磁场能量。

山东大学物理学院宗福建42电磁能量的传输

一般金属导体内有n~1023cm-3,对于1A/mm2电流密度来说，J=106A/m2,电子电荷e~1.6×10−19C，把这些数值代入J=nqv

得v~6×10−5m/s。金属导体,自由电子的热运动速度,约1×105m/s。电子绕氢核的速度，2×106m/s

山东大学物理学院宗福建43电磁能量的传输

由此可见，导体内自由电子平均漂移速度是很小的，相应的动能也很小。而且，在恒定情况下，整个回路（包括负载电阻上），电流I都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给负载上消耗的能量。在负载上以及在导线上消耗的功率完全是在场中传输的。

山东大学物理学院宗福建44山东大学物理学院宗福建45山东大学物理学院宗福建46山东大学物理学院宗福建47电磁场的动量

物质都是在运动着，而又通过相互作用，使得运动形式发生转化。关于物质运动形式的转化，有两条基本的守恒定律--能量守恒定律和动量守恒定律。

山东大学物理学院宗福建48电磁场的动量

电磁场和带电物质之间有相互作用。场对带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量发生变化，同时电磁场本身的状态也发生相应的改变。事实上，当电磁波入射于物体上时，物体内的带电粒子受到电磁场的作用，使整个物体受到一定的总力。物体受力后，它的动量会发生变化，同时电磁波也被反射或吸收而改变了它的空间用动状态。在这相互作用过程中，入射电磁场的动量转移到物体上，同时电磁场的动量亦发生相应的改变。

山东大学物理学院宗福建49电磁场的动量密度和动量流密度

考虑空间某一区域,其内有一定电荷分布区域内的场和电荷之间由于相互作用而发生动量转移区域内的场和区域外的场也通过界面发生动量转移由于动量守恒，单位时间从区域外通过界面S传入区域V内的动量应等于V内电荷的动量变化率加上V内电磁场的动量变化率；山东大学物理学院宗福建50电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建51电磁场的动量密度和动量流密度

由于麦克斯韦方程组是电磁场的基本动力学方程，由麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式应该可以导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。

山东大学物理学院宗福建52电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建53电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建54电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建55电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建56电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建57电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建58电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建59电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建60电磁场的动量密度和动量流密度

山东大学物理学院宗福建61光压现象在一般光波和无线电波情形中，辐射压强是不大的。例如太阳辐射在地球表面上的能流密度为1.35×103W∙m−2，算出辐射压强仅为

~10−6Pa。但是近年制成的激光器能产生聚集的强光，可以在小面积上产生巨大的辐射压力。在天文领域，光压起着重要作用。光压在星体内部可以和万有引力相抗衡，从而对星体构造和发展起着重要作用。在微观领域，电磁场的动量也表现得很明显。带有动量ħk的光子与电子碰撞时服从能量和动量守恒定律，正如其他粒子相互碰撞情形一样。

山东大学物理学院宗福建62本讲总结能量守恒的积分形式是

相应的微分形式为

山东大学物理学院宗福建63本讲总结电磁场能量密度和能流密度表示式山东大学物理学院宗福建64本讲总结山东大学物理学院宗福建65电磁场的动量密度和动量流密度本讲总结山东大学物理学院宗福建66电磁场的动量密度和动量流密度第1章真空中的Maxwell方程组§1.1电荷和电场1.库仑定律2、定义电场强度E,F=QE3、静电场的散度和旋度山东大学物理学院宗福建67第1章真空中的Maxwell方程组§1.2电流和磁场毕奥-萨伐尔（Biot-Savart）定律磁场的散度和旋度山东大学物理学院宗福建68第1章真空中的Maxwell方程组真空中的静电、静磁场电磁感应定律山东大学物理学院宗福建69第1章真空中的Maxwell方程组位移电流假设山东大学物理学院宗福建70第1章真空中的Maxwell方程组§1.3真空中的Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建71第1章真空中的Maxwell方程组§1.4介质中的Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建72第1章真空中的Maxwell方程组§1.4介质中的Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建73第1章真空中的Maxwell方程组§1.5电磁场的能量和动量能量守恒的积分形式是

相应的微分形式为电磁场能量密度和能流密度表示式山东大学物理学院宗福建74第1章真空中的Max