陈妍老师第三章单种群增长的动力学模型

第二部分

基于过程的动力学模型与应用

第三章单种群增长的动力学模型生态学层次：个体种群群落生物圈（或生态圈）（1）低一层次(营养层次)的种群，即它们的食物供应者；（2）同一层次的种群，即利用资源的竞争者；（3）高一层次的种群，即它们的捕食者，两种生态模型的数学表达（1）生命长，世代重叠并且数量很大的种群，常常可近似地用连续过程来描述，通常表为微分方程。（2）生命短，世代不重叠的种群，或者虽然是生命长，世代重叠的种群，但在其数量比较少时，均常用不连续过程来描述，通常表为差分方程。3.1Logistic方程3.1.1非密度制约方程表3－1美国人口调查数据Malthus假设：在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成正比记时刻

t

的人口数量为N（t）设r

为种群的自然增长率，也叫内禀增长率r=出生率-死亡率种群增长速率种群相对增长速率令，取极限就得到在时间t

的种群增长速率

种群相对增长速率（3.1）求解（3.1）得：倍增时间和半衰期当r>0时，需要多长时间才能使种群中个体数目加倍？把

t=T,N(t)=2N0

代入如果在时间t0=0时种群的数目为N0,则解为：这个时间叫倍增时间(3.3)(3.3)’当r<0时，需要多长时间才能使种群中个体数目减少到原来的一半？这个时间称为半衰期。

把代入如何确定增长率或衰减率？将(3.3)’两端取对数设t1,t2是此直线上的任意两点的横坐标3.1.2

密度制约dinsitydependence方程Logistic方程设能够维持种群生存的最大数量记作种群未饱和程度用比值来表示改进之后描述种群增长的方程如下：Logistic方程！3.2

开发了的单种群增长模型（1）具常数收获率的单种群模型如果h为常数，是收获率，上面F(N)

反映了非线性密度制约效应如果如果h不是常数,而是满足和N成正比（2）具时变收获率的单种群模型如果u(t)和N无关反之更普遍的形式是加入随机效应，包含噪声的影响，类似于反应扩散方程3.3

具有时迟的模型单一种群模型的缺点是认为出生率是对应的瞬时发生的事件。实际上个体从发育到成熟需要一个延迟的时间。这就需要引入时迟的模型。此刻t种群的增长率不仅与时刻t时的种群密度有关，而且与在此以前的时间T的种群密度有关。最普遍的时迟方程的形式是：3.4

离散时间的模型—差分方程微商的离散化：函数在点的导数是通过极限的形式来定义的如果引入符号并分别称f(xi)，f(xi)为函数f(x)在点x处以(>0)为步长的向前差分和向后差分；当充分小时，有则差分方程变为：当时，记t时刻的种群数量为，Logistic方程写成差分方程为3.5

具时变环境的模型将模型（3.6）改写为：在模型（3.6）中，我们考虑在环境中容纳量是常数，但是有时环境是变化的，如果容纳量呈周期性变化

其解为：3.6

反应扩散方程随机概念的引入图3.7

用显微镜观测悬浮在液体里的花粉颗粒的运动图3.8内蒙古某气象观测站的日平均气温变化图图3.9心脏病人的心跳纪录图图3.10纽约证券交易所的价格走势图图3.11高斯白噪声图4.1两种群相互作用的模型第四章多种群增长的动力学模型图4.1山猫和它的主要食物雪兔之间的演化关系如果我们把竞争的种群分别记为x和y，它们的相互作用有三种结果：第一、在某种条件下x淘汰了y；第二、在另一条件下y淘汰了x；第三、在一定条件的范围内两个种群能够共存。两种群相互作用的模型：两种群之间相互作用的四种情况：（ⅰ）捕食者与被捕食者（食饵）（pradator-prey）。（ⅱ）寄生物与寄主（host-parasite）。（ⅲ）两种群相互竞争（competitive）。（ⅳ）两种群互惠共存（mutualistic或commensal）。Volterra

方程

则经过任意初始点（x0,y0）(x0>0,y0>0)的解：捕食者与被捕食者之间竞争的模型（Volterra

方程）：将两种群相互作用四种情况统一在一个模型中得到两种群相互作用的Volterra模型：

（1）当a12<0,a21>0时，说明x为被捕食者（或寄主），而y为捕食者（或寄生物）。（2）当a12<0,a21<0时，说明x种群和y种群是相互竞争的关系。（3）当a12>0,a21>0时，说明x种群和y种群是互惠共存的关系。（4）一般假定a11≤0,a22≤0。若a11<0(a22<0)，则说明

x种群（y种群）是密度制约的；若a11=0(a22=0)，则说明x种群（y种群）是非密度制约的。（5）a10(a20)表示x种群(y种群)的生长率（出生率减去死亡率）。4.2被开发的两种群互相作用的模型最简单的模型加上人工饲养天敌，按时按一定数量地投放到田里去，两个种群互相作用的模型为：加杀虫剂，只杀死害虫而不伤害天敌u(t)是杀虫剂的投放率，0≤u(t)≤b（b为正常数）。在实际情况中，使用杀虫剂不仅杀死了害虫，而且对天敌也产生一定的危害，这时模型变成