逻辑代数基础(用)

第三章逻辑代数基础§3.1概述§3.2逻辑函数§3.3逻辑代数中的基本定律和规则§3.4逻辑函数的表示法§3.5逻辑函数的两种化简法§3.1概述数字电路要研究的是电路的输入输出之间的因果关系,也就是逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（逻辑代数是19世纪中叶英国数学家布尔首先提出的，所以又叫布尔代数）。逻辑关系是如何来表述的呢？§3.2逻辑函数3.2.1基本逻辑关系与逻辑代数如果决定某一件事F发生或成立与否的条件有多个,分别用A、B、C表示，并规定：F＝“1”代表事件发生（或成立)，F＝“0”代表事件不发生（或不成立)；A＝B＝C＝“1”

代表条件具备，A＝B＝C＝“0”代表条件不具备；那麽F与ABC之间就有以下三种基本的逻辑关：1.“与”逻辑A、B、C都具备时，事件F才发生。EFABC&ABCF逻辑符号AFBC00001000010011000010101001101111逻辑式：F=A•B•C逻辑乘法逻辑与真值表逻辑函数逻辑变量2.“或”逻辑A、B、C只有一个具备时，事件F就发生。1ABCF逻辑符号AEFBCAFBC00001001010111010011101101111111逻辑式：F=A+B+C逻辑加法逻辑或真值表3.“非”逻辑A具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。逻辑符号AEFRAF逻辑非逻辑反真值表AF01104.几种常用的逻辑关系逻辑“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都是在此基础上发展的。与非：全1则0，任0则1。&ABCF或非：任1则0，全0则1。

1ABCF异或：条件A、B有一个具备，另一个不具备则F发生。=1ABCF标准符号惯用符号国外符号&ABCFABCFABCF≥1ABCF+ABCFABCF1AFAFAF＝1ABFABFABF5.几种基本的逻辑运算从三种基本的逻辑关系，我们可以得到以下逻辑运算：0•0=0•1=1•0=01•1=10+0=00+1=1+0=1+1=1§3.3逻辑代数的基本定律和规则一、基本运算规则A+0=AA+1=1A•0=0•A=0A•1=A二、基本代数规律交换律结合律分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)普通代数不适用!三、吸收规则1.原变量的吸收：A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：被吸收2.反变量的吸收：证明：例如：被吸收3.混合变量的吸收：证明：例如：1吸收3.反演定理：可以用列真值表的方法证明：提供了一个求反函数的途径所以是一条重要的定律异或求反注意：A＋B＝A＋CA•B=A•C未必有B＝C未必有B＝C逻辑代数中没有减法与除法。§3.4逻辑函数的表示法将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。3.3.1真值表注意：n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。3.3.2逻辑函数式逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。例：最小项：若表达式中的乘积包含了所有变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项。逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、反区别，则称它们逻辑相邻。上例中每一项都是最小项。逻辑相邻逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子3.3.3卡诺图卡诺图是逻辑函数最小项的图形表示。1．最小项的定义：对于n个变量的逻辑函数，若某一与项中，包含了全部的n个变量，且每个变量都是以原变量或反变量的形式仅出现一次，则称这个与项为该逻辑函数的最小项。2．最小项的数目：n个变量共有2n个最小项，即n个变量的每一种取值组合都是一个最小项。如3个变量有8个最小项，分别是

3．最小项的表示：最小项常用mi表示，其中i为最小项取值所对应的十进制数。如3个变量的最小项还可表示成：m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7。

卡诺图的构成：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相临的最小项放在相临的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。ABCD0001111000011110四变量卡诺图编号为0010的单元对应于最小项：ABCD=0100时函数取值函数取0、1均可，称为无所谓状态。只有一项不同AB0101两变量卡诺图ABC0001111001三变量卡诺图有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7单元取1，其它取0ABCD0001111000011110四变量卡诺图单元格的编号3.3.4逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。&AB&CD1FF=AB+CD§3.5逻辑函数的两种化简法3.5.1利用逻辑代数的基本公式例1：反变量吸收提出AB=1提出A例2：反演配项被吸收被吸收？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！3.5.2利用卡诺图化简ABC0001111001ABC0001111001ABBCF=AB+BC化简过程：利用卡诺图化简的规则1.相邻单元的个数是2N个，并组成矩形时，可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD00011110000111102.先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少每项的因子数。3.各最小项可以重复使用。3.注意利用无所谓状态，可以使结果大大简化。5.所有的1都被圈过后，化简结束。6.化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。例1：化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD00