真空中的静电场

第八章真空中的静电场

(ElectrostaticFieldinVacuum)

相对于观察者为静止的电荷所激发的电场为静电场；本章研究：1、真空中静电场的基本特性；2、引入描述电场的的基本物理量——电场强度和电势；3、在库仑定律和场强叠加原理的基础上建立高斯定理和场强环路定理；4、讨论电场强度和电势之间的关系。

电荷量（电量）：表示物体所带电荷多寡程度的物理量称为电荷量，用q表示，国际制单位为库仑。电子（质子）是自然界带有最小电荷量的粒子。任何带电体或微观粒子所带的电荷量都是电子（质子）电荷量的整数倍。

一个电子的电荷量为

e=1.6×10-19C点电荷

(pointcharge)：

——理想模型,

若带电体的线度<<带电体间的距离，则带电体可看成点电荷。

§8-1电荷库仑定律(coulomblaw)这一节的主要内容：引入三条实验规律电荷守恒定律库仑定律电场力的叠加原理表述1：在任一物理过程中，电荷既不能产生，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一物体，或从物体的一部分转移到另一部分。表述2：在一个与外界无电荷交换的系统内进行的任何物理过程中，电荷的代数和保持不变。这是一条在一切已发现的宏观过程和微观过程中都普遍遵守的规律。电荷守恒定律表述：实验表明，真空中两个静止点电荷间作用力的大小与两电量的乘积成正比，与两电荷之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着两电荷的连线，同号相斥，异号相吸。适用条件：

(1)点电荷

(2)真空——没有电介质

(3)电荷静止

库仑定律(coulomblaw)

有理化米-千克-秒-安培制

1.国际单位制(SI)q-库仑(C)，F-牛顿(N)，r-米(m)

k＝8.9880×109N·m2/C22、有理化引入常数，使

0——真空介电常量(真空电容率)(permittivityofvacuum)0

≈8.85×10－12

C2/N·m2库仑定律（有理化后）设在n个点电荷组成的点电荷系中，引入另一点电荷q0，实验表明，各个点电荷对q0的作用力是彼此独立的，q0受到的合力等于各个点电荷单独存在时对q0所施作用力的矢量和，即：库仑定律和静电力的叠加原理，原则上可以解决静电学的全部问题。电场力的叠加原理§8-2电场电场强度问题：两个静止电荷的相互作用力是通过什么途径发生的？超距观点：电荷电荷近距观点：电荷

电场

电荷近代物理的发展证明，超距观点是错误的，近距观点是正确的。电荷之间的相互作用，是通过其中一个电荷所激发的电场对另一个电荷的作用来传递的。这种传递虽然很快（约为3×108m/s），单仍需要时间。电场(electricfield)

1、电荷产生电场

2、电场性质

(1)对处于电场中的其他带电体有作用力（电场力）；

(2)在电场中移动其它带电体时，电场力要对它作功。静电场：相对于观察者静止的电荷在其周围激发的电场。电场强度(electricfieldintensity)引入：电场强度是从电荷在电场中受力的角度来描述电场的一个物理量，电场中某一点的电场强度定义为：

电场强度的单位是：N/C即，任意电场中，某点的电场强度E是表征该点电场特性的矢量。其大小等于位于该点的单位电荷(试探电荷)所受的电场力的大小，方向为该点正试探电荷所受电场力的方向。试探电荷(testcharge)(电量小、线度小)电场强度(electricfieldintensity)由E+_q0q0电场强度的计算（1）点电荷的场强欲求点电荷q(源电荷)在p点(场点)产生的电场，在p点放一试探电荷q0，则由库仑定律和电场强度定义，其受力为p点处的电场强度为：（2）场强叠加原理和点电荷系的场强对n个点电荷组成的点电荷系，电场中某点P处的电场强度等于各个电荷单独在该点产生的电场强度的叠加(矢量和)。源电荷：q1

、q2、…、qnp点放检验电荷q0，q0受力两边除以q0得

p点场强

设各个源点电荷指向P点的矢量为：各点电荷在p点处激发的电场强度分别为

由场强叠加原理，点电荷系在p点激发的总场强：

（3）连续分布电荷的场强（任意带电体激发的场强）首先引入连续分布电荷的概念实际带电体上的电荷分布是不连续的，但是，在考察物体的宏观电性质时，实验观察到的电现象是带电体上大量基元带电粒子所激发电现象的平均效果，因此，从宏观角度出发，可以把电荷看作连续分布在带电体上。为了表征电荷在带电体上任一点附近的分布情况，引入电荷密度的概念电荷密度1、电荷分布在整个体积内——电荷体密度2、电荷分布在极薄的表面层里——电荷面密度3、电荷分布在细长线上——电荷线密度计算任意带电体所激发的场强对电荷连续分布的实际带电体，可以想象将其分割成许多足够小的电荷元dq，每一电荷元都可以看作点电荷，于是，电荷元dq单独产生的电场的强度为：带电体的全部电荷在P点激发的场强，是所有电荷元在P点所激发的场强的矢量和：典型场强结果1、点电荷的场强2、均匀带电无限长直导线的场强PdEr+qEr-qE3、远离均匀带电圆环环心处的场强4、远离均匀带电圆盘盘心处的场强5、均匀带电无限大平面两侧的场强PxxEOPExxO电场线(electricfieldline)形象地描述场强在空间的分布情形，使电场有一个比较直观的图像。1.画法：在电场中画出许多电场线：

(1)为描述电场中场强的方向分布，使电场线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；

(2)为描述电场中场强的大小分布，引入电场线数密度的概念(通过垂直于E的单位面积的电场线的条数)ΔN/ΔS⊥，并使电场中任一点的电场线的数密度正比于该点

E的大小，这样，电场线的疏密分布就反映了电场中场强大小的分布情况，电场线密处场强大，电场线稀处场强小。

电场线(electricfieldline)

2.性质

(1)

电场线起自正电荷(或无穷远处)止于负电荷(或无穷远处)不会在无电荷的地方中断

；

(2)电场线有头有尾,不是闭合曲线；（3）两条电场线不能相交。对均匀电场（匀强电场），电场线是一系列均匀分布的平行直线。

电通量(electricflux)（又称E通量）

1.电通量:通过某面积

S的电通量等于通过

S的电场线的条数。分几种情况，逐步讨论：

(1)均匀电场，S是平面，且与电场线垂直。通过

S的电通量

。(2)均匀电场，S是平面且与电场线不垂直。是S的法线单位矢量en和电场线（E）的夹角。通过S的电通量S是任意曲面，

E是非均匀电场，把S分成无限多面积元dS，在每一个面元dS上电场强度E认为是均匀的

然后对整个曲面积分，获得整个S面上的E通量：(4)S是闭合曲面时，通过该闭合曲面的电通量为：对闭合曲面，规定由内向外为面元法线的正方向，电场线由内向外穿出为正；电场线由外向内穿入为负。引入面积元矢量所以有注:电通量的概念可直接由此式定义，而不必借助电场线，一些矢量场(如流速场、电流场等)就是这样直接给出相应的通量的

定义的。前面用“通过面积的电场线的条数”引入电通量的方法是为了使电通量的概念更形象一些。

§8-3高斯定理

(Gausstheorem)高斯定理是静电场的一个重要定理，反映场和源的关系。

1.高斯定理：真空中静电场内,通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/0倍。高斯定理说明了电场线起始于正电荷，终止于负电荷，静电场是有源场。当表示有电场线从电荷发出，穿出闭合曲面，所以正电荷是静电场的源头。当表示电场线穿入闭合曲面，终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾闾。2.证明

(1)设：q为点电荷；S为以q为中心的球面(半径为r)

3.几点讨论(1)高斯定理和库仑定律的关系

高斯定理是由库仑定律导出的。高斯定理反映了库仑定律的平方反比关系如库仑定律无平方反比关系则得不到高斯定理。实际上，人们正是利用高斯定理的一些推论，反过来用实验验证平方反比中“2”的准确程度。目前已达到的精度是和“2”的偏离不超过2.7×10-16

。

(2)不能认为高斯定理和库仑定律完全等价

“高斯定理与库仑定律完全等价”；“从高斯定理出发可导出库仑定律”两说法欠妥。库仑定律说明两点：电荷间的作用力有平方反比关系；电荷间的作用力是有心力。高斯定理并未反映静电场是有心力这一特点。实际上，不增加附加条件(如点电荷电场的方向沿径向或具有球面对称性等条件)并不能从高斯定理推出库仑定律。在静电场范围内，库仑定律比高斯定理包含更多的信息。

(3)高斯定理对静电场的描述是不完备的

高斯定理是静电场的两个基本定理之一(另一个是环路定理)。

两个定理各自反映静电场性质的一个侧面。二者结合，才能完整地描述静电场(没有一定的对称性就不能只靠高斯定理求场强分布)。(4)高斯定理不仅适用于静电场，还适用于变化电场。高斯定理的应用：用高斯定理求电场分布

求电场分布的步骤：

(1)对称性分析(2)选合适的高斯面(3)用高斯定理计算对高斯定理的说明：1、高斯定理说的是穿过一闭合曲面（高斯面）的电通量的规律。穿过闭合曲面的电通量才直接与闭合曲面包围的电量的代数和有关。要注意电场强度E和电通量E的区别：

E是电场的矢量点函数，它是反映场点电场强度的大小和方向的物理量；E是一个标量（有正、有负），它是对一个面元或一个曲面而言的，对电场中一点谈电通量毫无意义。2、通过高斯面的电通量只与高斯面包围的电量的代数和有关，与高斯面的形状和大小无关，与高斯面内的电荷的分布也无关。

但这并不是说高斯面外的电荷在高斯面上不激发电场，也不是说电场强度E对高斯面上的面元没有电通量，而是高斯面外的电荷激发的电场，对高斯面上各面元的电通量有正有负，总和为零。3、高斯面上各点的电场强度E是高斯面内、外所有电荷共同激发的，即高斯面上任一点的电场强度，是高斯面内、外所有电荷在该点激发的电场强度的矢量和。4、高斯定理数学表达式中的是高斯面所包围的电量的代数和。当时，不能说明高斯面内没有电荷，只能说明高斯面内电量代数和为零，通过高斯面的电通量为零。当时，不能理解为高斯面内只有正电荷，高斯面上只有正的电通量，此时高斯面内可能有正电荷，也可能有负电荷，只是正电量大于负电量，所以高斯面内电量代数和为正；高斯面上也可以有正、负电通量，只不过正电通量大于负电通量，总电通量为正。同理，可分析的情况。§8-4静电场的环路定理电势静电力作功的特点（1）在点电荷q的电场中把另一点电荷

q0

由

A点移至

B点(沿路径

L)过程中，电场力作的功为

可见，电场力作的功只取决于被移动电荷的起、终点的位置，与移动的路径无关。

（2）在点电荷系q1、q2、…

qn

的电场中把另一点电荷

q0

由

A点移至

B点(沿路径

L)过程中，电场力作的功为

可见，电场力作的功只取决于被移动电荷的起、终点的位置，与移动的路径无关。

对连续带电体的场强同样可得此结论。

静电力作功与路径无关,静电场是保守力场。

当试探电荷在电场中从A点出发，经过闭合路线回到原来位置（A点）,电场力作功因为，所以静电场的环路定理(circuitaltheoremofelectrostaticfield)

在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。叫做场强E的环流场强的环流等于零静电场作功与路径无关静电场是保守力场（势场）电势能静电场与重力场相似，都是保守力场，对这类力场都可以引入势能的概念。电荷在电场中某一点具有一定的电势能。电场力对试探电荷q0所作的功AAB，等于A、B两点电势能的改变量：当电荷分布于有限区域内时，选定q0在无限远处的静电势能为零，即，则q0在A点的电势能为电势(ElectricPotential)

静电势能并不能直接描述A点处电场的性质，它是由q0和E

共同决定的。但是与q0无关，只决定于E

故将作为静电场中给定点电场性质的物理量，称为电势可见，当q0为单位正电荷时，VA与WA等值。故：静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷放在该点处时的电势能。也等于单位正电荷从该点经任意路径到无限远处时电场力所作的功。电势是标量，单位为：J/C=V（伏特）电势差(electricpotentialdifference)（电压）静电场中，任意两点A和B的电势差（电压）：即，静电场中A、B两点的电势差，等于单位正电荷在电场中从A点经过任意路径到达B点时电场力所作的功。因此电势的计算1、点电荷电场中的电势。由定义电势的计算2、点电荷系电场中的电势电势叠加原理：电场中某点的电势等于各个电荷单独在该点产生的电势的叠加（代数和）注意：必须对同一个零势能点电势的计算3、连续分布电荷电场中的电势电荷元在电场中的电势电势叠加原理：电场中某点的电势等于各个电荷元单独在该点产生的电势的叠加（代数和）注意：必须对同一个零势能点计算方法小结1、方法一：场强积分法(由定义)步骤：(1)先算出场强

(2)选择合适的路径

L(3)分段积分(计算)如例题8-122、方法二：电势叠加法

步骤：(1)把带电体→分为无限多

dq

(2)由dq→dV(dq产生的电势)

(3)由dV→V=dV(电势叠加)

如例题8-13§8-5场强和电势的关系

电势梯度

等势面(equipotentialsurface)

1.等势面：电势相等的点组成的面(画等势面时，使相邻等势面间的电势差常数)。

2.等势面和电场线的关系

(1)等势面与电场线处处垂直；

(2)电场线从高电势处指向低电势处；

(3)等势面较密处场强较大。

电势梯度(electricpotentialgradient)矢量1.电势的空间变化率

两邻近等势面

Ua<Ub

沿

l方向的电势变化率

沿

n方向的电势变化率对P1点，dl取不同的方向，电势的空间变化率不同。因为dndl,所以P1P3P2dnendlVV+dV沿

n方向电势变化率最大即所以上式表示