2022-2023学年福建省龙岩高二年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省龙岩第一中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解，【详解】由题意得直线的斜率为，则直线的倾斜角是，故选：C2．曲线与曲线（且）的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等【答案】C【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项.【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为的椭圆．曲线（且）表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为的椭圆．故选：C.3．已知等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和公式求得，,利用通项公式求得答案.【详解】由题意知,,解得，,所以,故选:C．4．已知直线与平行，则的值是（

）A．1 B．2或5 C．5 D．1或2【答案】B【分析】讨论，结合两直线的位置关系求值，注意验证所求的值保证两线平行而不能出现重合的情况.【详解】由平行条件可知，当时，，解得；当时，解得，此时，两条直线也平行；所以或.故选：B.5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：，∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，由，故得，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．6．已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】联立直线方程和抛物线方程，设，，根据抛物线焦点弦长公式和韦达定理可求出k，根据圆的弦长公式即可求．【详解】由得，，设，，∵，∴，∵过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，∴，∴，∴，解得，由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时相同，故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，圆心(2，1)到l的距离，∴﹒故选：B．7．椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（

）A．1 B．C． D．或【答案】C【分析】设过点的切线为，分别做于点，做交轴于点，设，入射角和反射角相等得，利用中位线可得，再根据，可得答案，【详解】设过点的切线为，分别做于点，做交轴于点，所得是梯形的中位线，设，入射角和反射角相等，则，则，因为，当为上顶点时，为，因为，，所以，即，，，故选：C.8．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由中点B，且得，由点到直线距离公式得，从而得，通过三角形全等证得△MNB为等边三角形，然后得，从而计算出离心率．【详解】记M为双曲线C：的渐近线上的点，因为，且，所以，．所以．因为右焦点到渐近线的距离，所以．所以，所以，所以，所以，又因为，．所以△MNB为等边三角形，所以，所以，即，所以．故选：A．二、多选题9．若，方程表示的曲线可以是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】ACD【分析】对分类讨论，分别求出所对应的曲线方程，即可判断；【详解】解：当，即时，，得表示垂直轴的直线，故A正确；当时，，方程表示椭圆，故C正确；当时，，方程表示双曲线，故D正确；故选：ACD.10．已知是的前n项和，下列结论正确的是（

）A．若为等差数列，则（p为常数）仍然是等差数列B．若为等差数列，则C．若为等比数列，公比为q，则D．若为等比数列，则“”是“”的充分而不必要条件【答案】ACD【分析】A项，根据等差数列的前项和公式，化简数列，观察数列是否为等差数列即可；B项,令说明不成立；C项，根据等比数列的前项和推导；D项，充分性根据等比数列的性质可验证，必要性用常数数列来验证【详解】A项，由题意得：，所以，而，所以为等差数列，故A正确.B项，若成立，则即，所以，而不恒成立，所以B项不正确.C项，若为等比数列，公比为，当时，则前n项和为，所以当时，，所以综上：，故C项正确.D项，根据等比数列的性质，若“”则“”，所以充分性成立；若等比数列的公比为，若成立，例如，则，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件，故D项正确.故选：ACD11．已知圆，直线，.则下列结论正确的是（

）A．当时，圆C上恰有三个点到直线的距离等于1B．存在实数m，使直线l与圆C没有公共点C．若圆C与曲线恰有三条公切线，则D．当时，圆C关于直线l对称的圆的方程为【答案】CD【分析】选项A.求出圆心到直线的距离，可判断；选项B.先得出直线恒过定点，可判断；选项C.由题意两圆外切，可求出的值，从而可判断；选项D.求出圆的圆心关于直线的对称点的坐标，从而可判断.【详解】选项A.当时,直线,圆的圆心为，半径为2.则圆心到直线的距离为：因为所以圆C上恰有两个点到直线的距离等于1，故选项A不正确.选项B.直线化为由可得所以直线恒过定点，由，则点在圆C内.所以直线与圆C恒有两个交点.故选项B不正确.选项C.曲线可化为圆C与曲线恰有三条公切线，则两圆外切.所以，解得，故选项C正确.选项D.当时，直线,圆的圆心关于直线的对称点的坐标为：所以此时圆关于直线的对称的圆的方程为，故选项C正确.故答案为：CD12．已知抛物线C：过点，焦点为F，准线与x轴交于点T，直线l过焦点F且与抛物线C交于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线C的切线，两切线相交于点H，则下列结论正确的是（

）A． B．抛物线C的准线过点HC． D．当取最小值时，【答案】ABD【分析】根据题意将抛物线方程求出，写出直线l方程，联立找出交点坐标的关系，表示出两切线斜率即可证明A，联立两切线方程即可求出两切线的交点坐标，即可证明B，分别求出的正切值找出两角的关系即可判断C，用两点距离公式即可求出何时为最小值，继而找到的值.【详解】将点代入可得，抛物线方程为：，焦点为，准线方程为.设，，根据曲线切线斜率和导数关系，，即，故过点P切线斜率为，过点Q切线斜率为.设直线l方程为，联立方程，得，根据韦达定理：，故两切线互相垂直，，A正确.设过点P切线方程为：设过点Q切线方程为：两式相减得所以，得代入①式因为，故，所以两切线得交点过抛物线准线，故B正确；由题意可知，所以，即，直线l随着m的值改变时也会随之发生改变，因此也会随着改变，故不是定值，C错误设，，当且仅当时等号成立，此时，D正确故选：ABD【点睛】结论点睛：①抛物线焦点弦两点的切线互相垂直；②抛物线焦点弦两点切线的交点在抛物线准线上；③抛物线交点弦两点与准线和x轴的交点的连线，两线与x轴形成的夹角（焦点在y轴上则是与y轴形成的夹角）相等.以上结论考生可将解析中的抛物线方程换成一般抛物线方程，按照解析步骤即可证明.三、填空题13．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.【答案】【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】依题意，设双曲线方程为：，于是得，则有，所以双曲线的标准方程为.故答案为：14．已知数列中，，，则通项公式______.【答案】【分析】对已知条件变形，可得为等差数列.【详解】由已知，显然，两端同时除以，得，又所以，数列是以1为首项，2为公差的等差数列.所以，.所以，.故答案为：.15．已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为___________．【答案】【分析】首先根据题意确定出、两点的运动轨迹，再结合点线距离公式即可求解.【详解】如下图所示，连接、，则、，所以四边形对角互补，则、、、四点在以为直径的圆上.设，则该圆的圆心为，半径为，则该圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，故直线所在的方程为，整理得，又因为点在直线上，故，即点的轨迹为，又因为的坐标为，因为，所以在圆上运动，故的最小值为到直线的距离减去半径，即，即的最小值为.故答案为：四、双空题16．已知数列满足．（1）若，则___________；（2）若对任意正实数t，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的取值范围是___________．【答案】

【分析】化简递推关系，证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求，化简方程可得，结合连接列不等式求的取值范围.【详解】因为，所以，所以，故，所以，所以数列是公差为的等差数列，（1）时，，所以，所以，（2）由已知可得，又为正实数，所以，，所以．所以，即．从而，即有，所以，所以实数的取值范围是，故答案为：；.五、解答题17．已知数列是等差数列，其前项和为，且，.(1)求；(2)记数列的前项和为，求当取得最小值时的的值.【答案】(1)(2)10或11【分析】（1）利用通项公式以及求和公式列出方程组得出；（2）先求出数列的通项公式，再根据得出取得最小值时的的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由得解得所以.（2）因为，所以，则.令，解得，由于，故或，故当前项和取得最小值时的值为10或11.18．在中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上.(1)求AB边上的高CH所在直线方程；(2)设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程.【答案】(1)(2)或【分析】(1)AB边上的高线与直线AB垂直，得到斜率，高线过C点，点斜式求直线方程.(2)设直线方程，由点A与点B到直线距离相等求出未知系数，得到方程.【详解】（1）设，则，解得，∴，由

得，，即（2）当斜率不存在时，，不满足题意；当斜率存在时，设，即，依题意得：，有或，解得或，直线l的方程为：或，即：或.19．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)求的值；(2)若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）将点代入即可求解；（2）利用向量数量积为3求出，再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.【详解】（1）将代入抛物线，解得：.（2），在抛物线C上，故，，解得：或2，因为，所以，即，故，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.20．已知数列满足，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由递推关系式可得，由等比数列定义可得结论；（2）利用等比数列通项公式和累加法可求得，由此可得，分别在为偶数和为奇数的情况下，利用裂项相消法和求得结果，综合两种情况可得.【详解】（1）由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得：，则，，，…，，各式作和得：，又，，，当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：.21．已知点，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程；(2)当（点M与点P不重合）时，求l的方程及△POM的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）先判断出P在圆C内，则由圆的性质可得CM⊥PM，从而可得M轨迹是以CP为直径的圆，则CP的中点为圆心，再求出半径，进而可求出点M的轨迹方程；（2）当时有OD⊥PM，而，则，可求得直线l的方程，再求出O到直线l距离，再求出，从而可求出△POM的面积.【详解】（1）由圆C：，而，故P在圆C内，由AB中点为M，则CM⊥AB，即CM⊥PM，所以M轨迹是以CP为直径的圆，而，故轨迹圆心为，半径为，轨迹方程为;点C、P的坐标也满足此方程，所以点M的轨迹方程为；（2）由（1），当时有OD⊥PM，而，所以，则直线l为，即，则O到直线l距离，而，所以，故.22．已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．(1)求C的方程；(2)如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点