2022-2023学年湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

衡师祁东附中2022年下学期期中考试试卷高一数学一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合和的范围，直接求交集即可得解.【详解】，，所以，故选：B.2.设，则M与N的大小关系是（）A. B. C. D.不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差比较法，得到，即可求解.【详解】由，则，所以.故选：A.3.下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性逐一判断即可【详解】对于A是偶函数故A错误对于B在上单调递增故B错误对于C是奇函数且在上单调递减故C正确对于D在上单调递减，在上单调递增故D错误故选：C4.不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式，可得不等式的解集为，再根据充分不必要条件的概念，即可得到结果.【详解】不等式的解集为，又，所以是不等式成立的一个充分不必要条件.故选：C.5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，故选：B.6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】抽象函数定义域的求解，需要遵循两个原则，第一是定义域是指的取值范围；第二是同一对应法则下，整体范围相同.【详解】因为的定义域为，所以，解得或．又因为，解得，所以的定义域为．故选：C7.已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】由题可得函数在上单调递减，，且，再利用函数单调性即得.【详解】因为函数为偶函数且在上单调逆增，，所以函数在上单调递减，，且，所以，所以，解得或，即的取值范围是.故选：A.8.对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，若曲线存在“优美点”，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】存在，使，则函数图象上存在两点关于原点对称．因此只要把的图象关于原点对称后与射线有公共点即可．【详解】由题意，若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点．时，，把这部分图象关于原点对称，如图，所得图象的解析式为：(由得)，只要射线：与的图象有公共点即可，图中射线与的图象相切，由，得，，，由图象知，∴．故选：A.【点睛】本题考查新定义问题，考查创新意识．解题关键是问题的转化，题中新概念“优美点”，转化为函数图象上存在关于原点对称的点．再转化为的图象关于原点对称后与射线有公共点即可．二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列命题为假命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】利用特值法和不等式的基本性质即可进行判断.【详解】令,，,故A为假命题.令，则，故B为假命题.令,，，故C为假命题.若，两边同乘以，则，故D为真命题.故选：ABC10.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.幂函数为奇函数C.的单调减区间为D.函数的图象与y轴的交点至多有1个【答案】ABD【解析】【分析】由存在量词命题的否定的定义判断A；利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B；由判断C；由函数的定义判断D.【详解】对于A项，由存在量词命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”，A正确；对于B项，由幂函数的概念有，则或，当时，为奇函数，当时，为奇函数，所以选项B正确；对于C项，由可知，C错误；对于D项，由函数的定义可知，若在定义域内，则有且只有一个与之对应，即函数的图象与轴的交点只有一个，若不在定义域内，则函数的图象与轴无交点，所以函数的图象与轴的交点至多有1个，D正确.故选：ABD.11.已知定义在R上的函数是奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.函数的图像与x轴只有一个交点 D.函数是增函数【答案】ACD【解析】【分析】结合奇函数的定义可求函数解析式，然后结合函数的性质及解析式分别检验各选项即可判断．【详解】定义在上的函数是奇函数，，当时，，当时，，所以，也满足，所以当时，，A正确，B错误；由题意可知，显然为函数零点，当时，显然没有零点，根据奇函数对称性可知，当时，函数没有零点，所以函数的图像与x轴只有一个交点，C正确；当时，单调递增，根据奇函数的对称性可知，时，函数单调递增，且在处连续，故在R上单调递增，D正确．故选：ACD．12.下列结论中，正确的结论有．A.如果，那么取得最大值时的值为B.如果，，，那么的最小值为6C.函数的最小值为2D.如果，，且，那么的最小值为2【答案】AB【解析】【分析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；B.将其配成代入即可得其最小值；C.函数，当且仅当此时无解D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式.【详解】解：对于A.如果，那么，当时取得最大值，故正确；对于B.如果，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；对于C.函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；对于D.如果，，且，那么当且仅当即时取得最小值，故错误.故选：AB【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则__________．【答案】2【解析】【分析】利用分段函数的解析式，将代入即可求解.【详解】由，则.故答案为：.14.已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是_________.【答案】【解析】【分析】根据集合的包含关系分类求解．【详解】时，，时，，由得，或，即或，综上，的取值集合是．故答案为：．15.已知（a，b是常数），且，则___________.【答案】-21【解析】【分析】令并判断其奇偶性，再利用奇偶函数性质求解作答.【详解】令，则，即是奇函数，依题意，，而，则，又，所以.故答案为：16.已知不等式的解集为，则__________，的最小值为__________.【答案】①.②.8【解析】【分析】结合一元二次不等式、一元二次方程以及根与系数关系列方程，由此求得，，进而求得.利用基本不等式求得的最小值.【详解】由题知，，，则，，，，当且仅当，即时取等号.故的最小值为8.故答案为：；【点睛】本小题主要考查根据一元二次不等式的解集求参数，考查利用基本表达式求最值，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设命题p：，命题q：.（1）当a＝1时，若为假命题且q是真命题，则求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得命题，根据的真假性求得的取值范围.（2）根据命题的否定、必要不充分条件的知识列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】，，解得.，解得，当时，，由于假真，所以.【小问2详解】¬p是¬q的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，所以.18.已知函数．（1）若函数在上单调，求实数a的取值范围；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数a的取值区间；（2）由题得方程的两根分别为1、，讨论两根的大小关系得出不等式的解集.小问1详解】函数的对称轴，依题意得或，解得或，所以实数的取值范围为.【小问2详解】由，得方程的两根分别为1、，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19.已知二次函数满足，且0为函数的零点．（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根据待定系数法列出方程求出系数得到解析式即可；（2）分离参数可得恒成立，利用二次函数求最值即可.【详解】（1）设，由题意可知，，得到，即得到，又因为0是函数的零点，即0是方程的根，即满足，得，又，，，（2）当时，恒成立，即恒成立；令，则．20.已知函数满足，且.（1）求的解析式；（2）求a的值，使在区间上的最小值为.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用配凑法直接即可求出函数的解析式；（2）根据（1）得到，然后通过分，，三种情况进行讨论即可求出答案.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】由（1）可得，，其对称轴为，当，即时，在区间上是增函数，.即，解得，又因为，所以不满足题意；当时，在区间上先减后增，所以，即，解得或；当，即时，在区间上是减函数，所以，即，解得，又因为，所以不满足题意.综合上述，a的值为或.21.已知函数是奇函数，是偶函数.（1）求.（2）判断函数在上的单调性并说明理由，再求函数在上的最值.（3）若函数满足不等式，求出t的范围.【答案】（1）（2）是区间上的增函数，理由见解析，（3）【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性定义以及性质求解即可；（2）利用定义证明单调性，进而得出最值；（3）由在区间上的单调性以及奇偶性，解不等式得出t的范围.【小问1详解】因为在是奇函数验证：，，函数为奇函数；为偶函数，则验证：，，函数为偶函数.【小问2详解】是区间上的增函数，理由如下：设区间上任意两个实数，且，则因为所以是区间上的增函数【小问3详解】因为是区间上的增函数，且是奇函数，由满足，即t的范围是22.1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使