2022-2023学年河南省南阳市六校高二年级上册学期第二次联考数学试题（B卷）【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市六校高二上学期第二次联考数学试题（B卷）一、单选题1．直线x+1＝0的倾斜角为A．0 B． C． D．【答案】C【解析】轴垂直的直线倾斜角为.【详解】直线垂直于轴,倾斜角为.故选:C【点睛】本题考查直线的倾斜角,属于基础题.2．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由，焦点到准线的距离是，故选：D.3．如图，在空间直角坐标系中，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】按照空间直角坐标系得点坐标即可.【详解】解：由空间直角坐标系的性质可知点为，故选：A．4．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由线面垂直时，直线的方向向量与平面法向量平行，得解决即可.【详解】因为，则向量与平行，所以，，所以，，.所以.故选:B.5．关于空间向量，以下说法错误的是（

）A．若，则的夹角是钝角B．已知向量组是空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底C．若对空间中任意一点，有，则四点共面D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面【答案】A【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义、空间向量基本定理的知识依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若夹角为，则成立，A错误；对于B，，共面，不能构成空间的一个基底，B正确；对于C，由得：，即，又，所以由空间向量基本定理可知：四点共面，C正确；对于D，若空间中的三个向量中有两个向量共线，且三个向量中，任意两个向量均共面，三个向量必然共面，D正确.故选：A.6．如图，四面体的所有棱长均为，分别为线段的中点.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算可直接得到，由此可得结果.【详解】分别为中点，，，，，，，.故选：C.7．如图，正三棱柱中，，分别是的中点，则下列说法中正确的是（

）A．与是相交直线B．平面C．异面直线与所成角的余弦值为D．【答案】C【分析】根据异面直线的判定可知A错误；根据平面，直线可知B错误；取的中点，根据平行四边形性质和三角形中位线性质，以及异面直线所成角定义可知所求角为或其补角，利用余弦定理可求得C正确；假设D正确，由线面垂直的判定与性质可知，显然不成立，知D错误.【详解】对于A，平面，平面，平面，与是异面直线，A错误；对于B，连接，直线，平面，平面，又直线，直线平面，B错误；对于C，取的中点，连接，，，四边形为平行四边形，；分别为中点，，异面直线与所成角即为或其补角；设，则，，又，，，则异面直线与所成角的余弦值为，C正确；对于D，取的中点，连接，假设成立，平面，平面，，，平面，平面，又平面，；由已知可知：为等边三角形，又，与不垂直，假设错误，D错误.故选：C.8．已知圆的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，结合向量线性运算和数量积运算定义可求得，则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，结合点到直线距离公式可求得结果.【详解】由圆的方程可知：圆心为，半径；；，，，则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，，.故选：B.9．设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意中坐标的定义可得，由此可构造方程组求得，进而可得所求坐标.【详解】由题意知：；设向量在基底下的坐标为，则，即，，解得：，向量在基底下的坐标为.故选：C.10．已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，所以，进而，四边形面积为，由可化简得，写出渐近线方程即可.【详解】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，点到直线的距离，属于难题.11．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答.【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，因正三棱柱的所有棱长均为1，则，，因动点P在线段上，则令，即有点，，，，因此点P到直线的距离，当且仅当时取等号，所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：C12．已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得，并得到中点坐标；利用点差法可构造等式求得，根据椭圆离心率可求得结果.【详解】关于直线对称，，又中点纵坐标为，中点横坐标为；设，，则，两式作差得：，即，；又，，，解得：，椭圆的离心率.故选：A.二、填空题13．如图，若分别为直线的斜率，则三个数从大到小的顺序是___________.【答案】【分析】根据图象可直接确定直线斜率大小关系.【详解】由图象可知：，，三个数从大到小的顺序是.故答案为：.14．已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为___________.【答案】【分析】由焦距为8，求得，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当三点共线时，取最小值为，求出即得答案.【详解】解：如图所示，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，所以，，即，，所以双曲线的方程为：，所以，，，由双曲线定义得，所以，当三点共线时，最小为故.故答案为：.15．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是___________.【答案】.【分析】先利用，再应用数量积及模长公式计算即可求解．【详解】根据平行四边形法则可得，所以，所以，故答案为：.16．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为.丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是___________.【答案】【分析】在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，根据可知，则，由此可求得最小值.【详解】如图所示，在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，连接，，，，，在与中，，其中为球的半径，又，为公共边，，；设沿圆锥表面到达的路径长为，则（当且仅当为直线与椭圆的交点时取等号），，从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值为.故答案为：.三、解答题17．已知圆与圆.(1)若圆与圆相外切，求实数的值；(2)在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，根据两圆外切可知，由此可构造方程求得的值；（2）根据垂径定理，利用弦长可直接构造方程求得的值.【详解】（1）圆的方程可整理为：，圆心，半径；其中,由圆方程知：圆心，半径；圆与圆相外切，，解得：.（2）由（1）知：圆心，半径，圆心到直线的距离，，解得：或.18．已知抛物线的焦点为.(1)求；(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据焦点坐标可直接求得的值；（2）将直线方程与抛物线方程联立可得，进而得到，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果.【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：.（2）由（1）知：抛物线；直线，由得：，设，，则，，.19．如图，已知平面四边形中，，，，.沿直线将翻折成.(1)求的值；(2)当平面平面时，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)2(2)【分析】(1)根据题意，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算即可求解；(2)利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为，，，由勾股定理得：，因为，所以三角形为等腰三角形，取的中点，连接，则；以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，则；（2）当平面平面时，在平面上，则，，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角余弦值是.20．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，，M为PO的中点，.(1)求证：平面EAC；(2)求：（i）直线DM到平面EAC的距离；（ii）求直线MA与平面EAC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量与，即可判断出线面的位置关系.(2)利用第一问的法向量，与平行关系，用点到平面的距离公式可求得，（ii）平面EAC法向量由(1)可得，写出代入公式即可求得.【详解】（1）证明：连接BD，则O是BD的中点，且.在正四棱锥中，平面ABCD，，，所以，，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，，，设平面EAC的法同量，则,即，取，得，∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.（2）（i），∴直线DM到平面EAC的距高.（ii），则，∴直线MA与平面EAC所成角的正弦值为.21．如图，四棱锥中，，，，且.(1)求证：直线平面；(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合勾股定理和线面垂直的判定可证得平面，由此可得，由线面垂直的判定可证得结论；（2）根据线面角定义可知，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1），，，，又，，平面，平面，又平面，，，，平面，直线平面.（2）由（1）知：即为直线与平面所成角，即，，，以为坐标原点，正方向为轴，在平面内作轴于点，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，由图可知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.22．已知椭圆的左焦点为，短轴长为.过右焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，直线，分别交直线于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)设线段AB中点为Q，当点M，N位于x轴异侧时，求Q到直线的距离的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件列方程求，即可得椭圆方程；（2）利用韦达定理求斜率的范围以及线段中点T的横坐标为，注意讨论直线斜率是否