机械波- 大连海洋大学精品课程

第12章机械波

1.

振动在空间的传播过程叫做波动。2.常见的波有两大类:在微观领域中还有物质波。3.各种波的本质不同,但其基本传播规律有许多相同之处。(1)机械波(机械振动的传播)(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）前言机械波——一群质点，以弹性力相联系。其中一个质点在外力作用下振动，引起其他质点也相继振动.水波媒质波源§12.1

机械波的产生和传播一、机械波的产生纵波横波波函数y表示平衡位置在x

处的质点t时刻相对自己平衡位置的位移。（固体）（固体、液体、气体）0

与媒质的性质有关波线平面波波线波阵面球面波0波阵面（等相面）波线均匀、各向同性媒质中波线与波阵面垂直二、波线和波面行波（横波，纵波）质元并未“随波逐流”。“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。§12.2平面简谐波一.行波简谐波:

若波源作简谐振动,在波传到的区域,媒质中的质元均作简谐振动,称为简谐波。振动状态（相位）的传播；二、平面简谐波的波函数设原点（非振源，是参考点）处的简谐振动为0yuxPx波从原点传到任一点P(坐标为x）所需的时间是x/u,所以任一时刻t,任一点P的位移，即波函数为问：1.当P点在O点的左侧（x<0），上式是否仍成立【答】：仍成立。u为波速沿x

正方向传播2.若该简谐波沿负x方向传播,其表达式如何?（x大的点相位领先）A-----简谐波的振幅-----简谐波的角频率----称为x处t时刻的相位或相，它是最活跃的因素，通常说：它决定了振动的状态。（通常情况下：波的频率=波源的振动频率）1.几个名词说明几点：x/----波从坐标原点传到x处所需时间。Y----t时刻x处质点的位移-----x处质点比原点处质点滞后的振动相位-----简谐波的波长Y—杨氏弹性模量

—体密度固体中G—切变模量

G<Y——ｕ横波<ｕ纵波,地震时破坏性更大流体中的纵波弦上的横波T—绳的初始张力,—绳的线密度k——容变弹性模量2.

波的传播速度另外常用的写法：3.对于u

T

沿+ｘ方向传播，p点相位比0点落后相距的两点间相位差为0yuxPx4.波形曲线和振动曲线有什么不同？振动曲线yt

,

质元确定波形曲线yx,

时刻确定例如y=cos(t–kx):(1).固定x（如令x=x0

）

则波的表达式变为

y=Acos(tkx0)(振动方程)(2).固定t（如令t=t0）则波的表达式变为

ycos(t0kx)(波形方程)纵波也能用波形曲线描述吗？xtt+tx(3)如果x和

t都变化，波函数表示波线上各个质点在不同时刻的位移分布情况任意一个振动状态经过时间都向前传过了的距离，或者说在时间内整个波形沿传播方向平移一段距离波函数应能描述波在空间任一点、任一时刻的位移。或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态）将在较晚时刻于“下游”某处出现。如何写出平面（一维）简谐波的波函数？还须知三个条件：

1.某参考点的振动方程(知A,,

)2.波的传播方向3.波长

(或u)例题1、求0点的初相2、求简谐振动初相0tx0如果波源在x0处，则讨论以上波函数的波源在原点处。例题已知：平面简谐波波形图0

求：（1）用箭头标明t=0.05s时平衡位置在0.1、0.15、0.2、0.35m处质点的速度方向、;（2）T、、

、u;（3）0.5m处的质点比原点落后的相位；(2)解12345x（0.1m）(3)1、一维平面波波动方程波速任意平面波=平面简谐波上式是一般波动方程。三、波动方程与波速2、三维平面波波动方程例题已知：平面简谐波波函数解：？原点的初相位0=

处比原点落后求：处质点的振动表达式，并画出振动曲线。t012.3波的能量一.弹性波的能量波的能量=振动动能+形变势能动能势能

总能量

能量密度一、能量密度wk、w

p均随

t

周期性变化(1)固定x能量曲线wk=wp

(2)固定twk、w

p随

x

周期分布=0处

wk、wp最大，最大处

wk、wp为

0。oTtwkwpx=x0wt=t0oxwkwpw二.能流密度与波的强度S平面简谐波波的强度——能流密度的时间平均值简谐波强度x单位时间通过S面的能量wuS——

能流单位时间通过单位面积的能量——能流密度S1S2u能量守恒定律讨论振幅变化。S1=S2若媒质不吸收，相同的时间内通过围在同一束波线中的两个波阵面的总能量相等。

I1=I2

A1=A2平面波平面波波函数波线

IA2例.点波源，各向同性媒质中，球面简谐波的波函数：

I

2

利用和能量守恒，对无吸收媒质：平面波球面波

r——场点到波源的距离可以证明：矢量式球面波波函数球面波波线12.4惠更斯原理一、惠更斯原理OS1S2ututS1S2在均匀的自由空间波传播时，任一波阵面上的每一点都可以看作发射子波的点波源，以后任意时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波阵面。——波沿直线传播二.波的衍射波传播过程中，遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而传播的现象.不足:(1)不能说明子波为何不能倒退.(2)不能正确说明某些波动现象(如干涉等)S1有阻挡的空间——波有绕射现象一、波的叠加原理介质中几列波同时传播，每一列波不会因为其他波的存在而改变各自的特点——独立性原理；在波列相遇的区域，介质每一点的振移是各波列单独存在时该点振移的矢量和。你可以区分出不同的乐器！12.5波的干涉波的衍射现象可用惠更斯原理解释。衍射现象是否明显与波长、障碍物的相对大小有关。S1三.波的反射和折射(reflection&refraction)1.波的反射(略)浴室中的声反射当障碍物较大,比波长大得多时,衍射不明显;当障碍物较小,可与波长比拟时,衍射就明显。★如你家在大山右侧,而广播台、电视台都在山的左侧,听广播和看电视,哪个更容易?§12.5波的干涉一.波传播的独立性与叠加原理媒质中同时有几列波时,每列波都将保持自己原有的特性,不受其它波的影响-----波传播的独立性。(传播方向、振动方向、振幅、频率等)*节日红绿光束空间交叉相遇*乐队演奏*空中无线电波你可以区分出不同的乐器！两不同形状的正脉冲大小、形状一样的正、负脉冲?“在几列波相遇而互相交叠的区域中,某点的振动是各列波单独

传播时在该点引起的振动的合成”----波的叠加原理.

当波的振幅、强度过大时，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。二、波的干涉稳定的波的叠加图样是指在媒质中某些位置的点振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。“在几列波相遇而互相交叠的区域中,某点的振动是各列波单独

传播时在该点引起的振动的合成”----波的叠加原理.

波的叠加原理于波动方程的“线性”是一致的。y1(x,t),y2(x,t)是解，y(x,t)=C1y1(x,t)+C2

y2(x,t)也是解。波动方程当波的振幅、强度过大时，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。波的干涉之模拟演示图波的干涉之模拟演示图相干条件：设有两个频率相同的波源和其振动表达式为：满足相干条件的波源称为相干波源。具有恒定的相位差振动方向相同

两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。两波源具有相同的频率

其振动表达式为：传播到P点引起的振动为：在P

点的振动为同方向同频率振动的合成。下面讨论干涉现象中的强度分布在P

点的合成振动为：其中：由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。干涉相长的条件：干涉相消的条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：称为波程差相长干涉相消干涉

例题位于两点的有两个接在同一播音器的电声喇叭发出振幅相等，波长为的声波。相距，在两喇叭的中垂线和连线延线长上的相干情况。解：如图所示，

两波到达p1的相位差为因此两个喇叭连线的延长线各点是干涉相消的。连线中垂线上任一点p2各点都是干涉相长的，声强是一个喇叭的四倍。一、驻波同一媒质中两列频率相同，振动方向相同，而且振幅也相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时就叠加形成驻波。§12.6驻波

=两列波合成波

A'二、驻波（波的干涉）1定量分析2At=0ξ0x0t=T/8xx0t=T/20xt=T/4波节波腹λ/4-λ/4x02A-2Aλ/2xt=3T/80x（1）相位分布特点（2）振幅分布特点'y总结：驻波的特点波腹波节波节两边振动反相两波节间振动同相利用三角函数关系求出驻波的表达式：简谐振动简谐振动的振幅但是这一函数不满足所以它不是行波。振幅最大的点称为波腹，对应于即的各点；因此波腹的位置为：波节的位置为：驻波的振幅振幅为零的点称为波节，对应于即的各点。内，在范围内，*在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。是波节，在范围如考查波节两边的振幅，

结论：*

两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。L（n=1、2、3….）——基频——谐频本征频率简正模式2、驻波的应用（1）两端固定的驻波系统——弦乐器（2）一端固定的驻波系统——管乐器L（n=0、1、2….）本征频率简正模式

——基频——谐频三、有半波损失时的反射波波疏介质波密介质从波疏介质到波密介质的反射波在反射时，有相位的突变——半波损失。二维驻波末端封闭的笛中的驻波末端开放的笛中的驻波D相对静止时

S、D相对运动所造成u或变化，都会引起'u单位时间

D收到个完整的波形s§12.7多普勒效应

vDsDu

在D的参照系里，波以u'=u+vD

的速度通过，即单位时间D可接受到u'/

个完整的波形。

靠近：vD>0远离：vD<0一、S

静止，D

以

vD

的速度运动'>'<vsuvsTs靠近：

vS>0远离：

vS<0

在D的参照系中波速没变，波长变了。D二、D

静止，S

以

vS的速度运动'>'<uu'=（u+vD）

'

=（u-vs）T1842年，奥地利科学家多普勒提出了上述声学理论，1845年巴罗特用实验验证。猜猜看他用什么方法验证的？

vDsDuvs三、S、D

同时以

vD、vS的速度沿波线运动utvS

t马赫数

当S向D靠近速度vs>u时失去意义！四、马赫波—冲击波