北师大版九年级上册数学《1.3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定》课件

第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定1.正方形的四个角都是______，四条边______．2.正方形的对角线相等且______________．3.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(

)A.8

B.4

C.8

D.16直角相等互相垂直平分A旧知回顾自学互研探索正方形的判定方法将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？活动1答：剪下一个等腰直角三角形．满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形1.一组邻边相等2.对角线互相垂直问题1猜想：证一证已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形,

∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.

∵AC⊥DB,

∴AD=AB=BC=CD,

∴四边形ABCD是正方形.把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状．量量看是不是正方形．活动2

满足怎样条件的菱形是正方形？问题2菱形正方形1.一个角是直角2.对角线相等猜想：证一证已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.

∵AC=DB,

∴AO=BO=CO=DO,

∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,

∴四边形ABCD是正方形.归纳总结正方形的判定定理：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形．(2)

对角线互相垂直的矩形是正方形．(3)

有一个角是直角的菱形是正方形．(4)对角线相等的菱形是正方形．练一练在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（

）A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO自主探究正方形判定定理的应用1.将一张矩形纸片对折两次(两条折痕互相垂直)，然后剪下一个角后，打开这个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成

(

)

A.22.5°

B.30°

C.45°

D.60°2.下列说法不正确的是

(

)

A.对角线互相垂直的矩形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.有一个角是直角的平行四边形是正方形

D.一组邻边相等的矩形是正方形CC典例讲解在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗？为什么？证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，

∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.例1在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．证明：∵BF∥CE,CF∥BE,

∴四边形BECF是平行四边形,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC＝90°,∠DCB＝90°,

又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB

,

∴∠EBC=

∠ABC=45°,∠ECB=

∠DCB=45°,

∴∠EBC=ECB,∴EB=EC,

∴□BECF是菱形（菱形的定义）,

∵△EBC中∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠BEC=90°,

∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.例2FABECD证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC

，∴∠DEC=∠DFC=90°.

又∵∠C=90°，

∴四边形CEDF是矩形.

过点D作DG⊥AB，垂足为G.

∵AD是∠CAB的平分线,

DE⊥AC，DG⊥AB，

∴DE=DG.同理得DG=DF，

∴ED=DF，

∴四边形CEDF是正方形.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D．DE⊥AC，DF⊥AB．求证：四边形CEDF为正方形．ABCDEF例3G已知：如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且BF＝CE.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．解：(1)∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD＝∠CED＝90°，

又∵BD＝CD，BF＝CE，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴∠B＝∠C，故△ABC是等腰三角形．练一练(2)四边形AFDE是正方形；证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形．菱形有一个内角是直角正方形对角线垂直平行四边形有一个内角有一组邻边相等对角线相等一组邻边相等定方法5种判四边形一个角是直角且一组邻边相等三个角是直角四条边相等矩形课堂小结是直角1.下列条件中，能判定四边形是正方形的是(

)A.4个角都是直角

B.对角线互相平分且垂直

C.对角线相等且互相平分

D.对角线相等、互相垂直且互相平分2.已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，若AB＝BC，且AC＝BD，则平行四边形ABCD是________．检测反馈D正方形3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.

又∵∠ACB＝90°，

∴四边形CEDF是矩形．

∴矩形CEDF是正方形．4.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．(1)请判断四边形EFGH的形状，并说明为什么？(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？解：(1)四边形EFGH是平行四边形．理由是：连BD，EH、FG分别是△ABD和△CBD的中位线，∴EH∥BD∥FG，EH＝BD＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；(2)四边形ABCD的对角线垂直且相等．5.如图，在四边形ABCD中,

AB=BC

,对角线BD平分ABC

,

P是BD上一点,过点P作PMAD

,

PNCD

,垂足分别为M、N.(1)求证：ADB=CDB；(2)若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.CABDPMN证明：(1)∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.又∵BD=BD∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.12CABDPMN（2）∵∠ADC=90°;

又∵PM⊥AD,PN⊥CD;∴∠PMD=∠PND=90°.∴四边形NPMD是矩形.

∵∠ADB=∠CDB;∴DB平分∠ADC.

又∵∠PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN.∴四边