河北建筑工程学院《概率论与数理统计》课件-第5章课件大数定律和中心极限定理

第五章大数定律和中心极限定理

关键词：

契比雪夫不等式

大数定律

中心极限定理1河北建筑工程学院《概率论与数理统计》2本章要解决的问题

为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以样本均值作为总体均值的估计？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？大样本统计推断的理论基础是什么？ANSWER大数定律中心极限定理大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性.

阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律.

论证随机变量（试验结果）之和渐近服从某一分布的定理称为中心极限定理.§5.1大数定律4§5.1.1契比雪夫(Chebyshev)不等式证明：(1)设X的概率密度为

则有(2)设离散型随机变量X的分布律为

,则有

例:

在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.解解

例5.1.1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。

随机变量序列依概率收敛的定义9§5.1.2大数定律大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。切比雪夫大数定律表明，当n很大时，X1，X2,…，Xn的算术平均值的取值，集中在其数学期望附近。这使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。由大数定律知，只要n充分大，则以接近于1的概率保证这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定律

如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得n个测量值，它们可以看成是n个相互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望μ和方差.[辛钦大数定理（弱大数定理）]

设X1,X2,…,Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望（i=1,2,…），则对>0，有依概率收敛于小结大数定律大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性§5.2中心极限定理背景：有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小，这种随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布，中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。

1718例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差

;测量者观察时视线所产生的误差

;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差

;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即∑Xi.

一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:我们关心的是当n→∞时,随机变量和∑Xi的极限分布是什么?由于直接研究∑Xi的极限分布不方便,故先将其标准化为:再来研究随机变量序列{Yn}的极限分布.21二项分布和正态分布的关系

例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取得36只，设它们的寿命是相互独立的,求这36只元件的寿命的总和大于3920小时的概率。22

例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200 元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。23解:

例5：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。2526练习100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解

设X为100个部件中正常工作的部件个数，则由此得E(X)=90，D(X)=9.27练习2

设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.解设

X

表示6000粒种子中的良种数,

则X~B(6000,1/6)由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,有近似机动目录上页下页返回结束28机动目录上页下页返回结束29比较几个近似计算的结果二项分布(精确结果)中心极限定理Poisson

分布Chebyshev

不等式机动目录上页下页返回结束30大数定律与中心极限定理的关系假如X1,

X2,…,Xn,…是独立同分布，方差有限且大于零的随机变量列，则大数定律和中心极限定理对它均成立；大数定律：对任意

>0，上式断定当n充分大时，在{}中的事件的概率接近于1，而该事件的概率到底有多大，