IIR滤波器相关设计

IIR滤波器相关设计一、模拟滤波器设计思想根据模拟滤波器设计要求，求出相应的模拟系统函数，使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性、群时延特性)，在此我们采用幅度平方函数特性来设计。IIR滤波器相关设计二、由幅度平方函数确定滤波器的系统函数h(t)是实函数式中Ha(s)—模拟滤波器系统函数，Ha(jΩ)—滤波器的频率响应，|Ha(jΩ)|—滤波器的幅频响应又S=jΩ，Ω2=-S2∴A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩIIR滤波器相关设计Ha(s)Ha(-s)的零极点分布问题：由A(-S2)→Ha(S)

A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。IIR滤波器相关设计1、幅度平方函数Butterworth低通滤波器具有通带最平幅度逼近特性，是一全极点型滤波器，且极点均匀分布上Ωc的圆上，并且与虚轴对称。其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅度平方函数为其中N为整数，表示滤波器的阶次，Ωc定义为截止频率，为振幅响应衰减到-3dB处的频率。三、巴特沃思滤波器（Butterworth）IIR滤波器相关设计

3dB不变性通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小过渡带及阻带内快速单调减小当W＝Ws（阻带截止频率）时，衰减的d1为阻带最小衰减IIR滤波器相关设计2、Butterworth滤波器的极点分布为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。取其分布在左平面的极点，设计出巴特沃思低通滤波器。IIR滤波器相关设计极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点极点间的角度间隔为极点不落在虚轴上

N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点Ha(s)Ha(-s)的零极点分布(a)N=4(三阶）(b)N=4（四阶）IIR滤波器相关设计3、滤波器的系统函数查表可得归一化的系统函数去归一化后，可得：（Wcr

归一化的参考角频率）IIR滤波器相关设计例：设计一巴特沃兹带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=90kHz，f1=110kHz，在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB，采样fs=400kHz。w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400));w2=2*400*tan(2*pi*110/(2*400));wr=2*400*tan(2*pi*120/(2*400));[N,wn]=buttord([w1w2],[0wr],3,10,'s');[B,A]=butter(N,wn,'s');[num,den]=bilinear(B,A,400);[h,w]=freqz(num,den);f=w/pi*200;plot(f,20*log10(abs(h))),axis([40,160,-30,10]);grid;xlabel('频率/kHz');ylabel('幅度/dB');IIR滤波器相关设计巴特沃兹带通滤波器频率/kHz幅度/dBIIR滤波器相关设计四、切贝雪夫滤波器（Chebyshev）Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。IIR滤波器相关设计N：滤波器的阶数Wc

：截止频率，不一定为3dB带宽0<e<1，表示通带波纹大小，e越大，波纹越大CN(x)：N阶Chebyshev多项式TypeIChebyshev1、幅度平方函数IIR滤波器相关设计N为偶数N为奇数

通带内：在1和间等波纹起伏通带外：迅速单调下降趋向02、幅频特性IIR滤波器相关设计Chebyshev滤波器的三个参量：Wc

：通带截止频率，给定

e

：表征通带内波纹大小N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高Ws为阻带截止频率IIR滤波器相关设计TypeIIChebyshevfilter通带内：单调特性阻带内：等波纹起伏IIR滤波器相关设计例：设计一数字高通滤波器，它的通带为400～500Hz，通带内容许有的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000));wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000));[N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s');[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');[num,den]=bilinear(B,A,1000);[h,w]=freqz(num,den);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB');IIR滤波器相关设计频率/Hz

切比雪夫高通滤波器幅度/dBIIR滤波器相关设计五、椭圆(Ellipse)低通滤波器椭圆低通滤波器是一种零、极点型滤波器，它在有限频率范围内存在传输零点和极点。椭圆低通滤波器的通带和阻带都具有等波纹特性，因此通带，阻带逼近特性良好。对于同样的性能要求，它比前两种滤波器所需用的阶数都低，而且它的过渡带比较窄。IIR滤波器相关设计1、幅度平方函数

其中，

是雅可比(Jacobi)椭圆函数，ε为与通带衰减有关的参数。IIR滤波器相关设计2、幅度特性带内均匀波动最快的滚降IIR滤波器相关设计3、特点从上看出：椭园滤波器即有极点也有零点，由于误差均匀分布在通带和阻带内。与Butterworth和Chebyshev两种滤波器相比，在同样误差指标下，阶数最小。即同样阶数N下，通带到阻带变化最陡峭，看出它是最优滤波器。在给出同样的指标下，三种滤波器所需的阶数:

Butterworth

6阶

Chebyshev

4阶

椭园

3阶IIR滤波器相关设计6.7设计IIR滤波器的频率变换法归一化模拟低通模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟域频带变换双线性变换归一化模拟低通数字低通数字低通、高通、带通、带阻数字域频带变换双线性变换冲激响应不变法IIR滤波器相关设计先将要设计的滤波器的技术指标(主要是c，s)，通过频率转变关系转换成模拟低通滤波器技术指标。依据这些技术指标设计出低通滤波器的转移函数。再依据频率转换关系变成所要设计的滤波器转移函数。一、模拟高通、带通和带阻滤波器的设计方法给定模拟高通带通或带阻的技术指标模拟低通技术指标频率转换设计模拟低通频率转换得到模拟高通带通或带阻滤波器H(s)6.8先模拟域频带变换，再数字化IIR滤波器相关设计二、模拟低通到高通滤波器的变换看出：高通系统函数的阶次与低通系统函数阶次相同。IIR滤波器相关设计p平面的虚轴与s平面的虚轴相对应，则可得:|Hal(s)||Hah(p)|IIR滤波器相关设计由低通滤波器系统函数可得到高通系统函数：IIR滤波器相关设计三、模拟低通到带通滤波器的变换IIR滤波器相关设计0|Hap(p)|0|Hal(s)|p平面的虚轴与s平面的虚轴相对应，则可得：IIR滤波器相关设计由低通滤波器系统函数可得到带通系统函数：IIR滤波器相关设计四、模拟低通到带阻滤波器的变换IIR滤波器相关设计0|Has(s)|平移压缩0|HaL(p)|p平面的虚轴与s平面的虚轴相对应，则可得：IIR滤波器相关设计由低通滤波器系统函数可得到带阻系统函数：IIR滤波器相关设计五、模拟高通到数字高通，模拟带通到数字带通，模拟带阻到数字带阻的变换利用冲激响应不变法、双线性变换可实现这些变换。这里只谈双线性变换法，因为冲激响应不变法有频率混叠失真效应，只对能严格限带的数字低通、带通滤波器的设计才能应用。对于数字高通、带阻滤波器，不能直接应用。将模拟域的频带变换公式与双线性变换公式相结合，可得到直接从模拟低通原型滤波器到各类数字滤波器的频率变换式。IIR滤波器相关设计由模拟低通原型设计各类数字滤波器的频率变换式及有关设计参量表达式IIR滤波器相关设计例：利用冲激不变法设计数字Butterworth低通滤波器题目：给定抽样频率fs=10kHz，要求在频率小于1kHz的通带内，幅度特性下降小于1dB；在频率大于fst=1.5kHz的阻带内，衰减大于15dB。IIR滤波器相关设计解：（1）讨论f与w的关系及数字域性能的公式表示。已知模拟与数字频率之间的线性关系：T为抽样周期对应于IIR滤波器相关设计则有：设w=0处频率响应幅度归一化为1，即对应于IIR滤波器相关设计则取N=6，查表得归一化原型模拟低通滤波器的频率响应为（2）把数字滤波器的性能指标转变为“原型”模拟低通滤波器的性能指标。IIR滤波器相关设计（3）把模拟低通滤波器的系统函数，进行部分分式展开，然后利用冲激不变法可得数字低通滤波器的系统函数。IIR滤波器相关设计例：双线性变换法设计数字Chebyshev低通滤波器利用上一实例的指标，但是直接由数字域给定指标，即在w的通带范围内幅度特性下降小于1dBw的阻带范围内衰减大于15dB。IIR滤波器相关设计解：（1）数字域指标：（2）利用双线性变换，将数字域指标变为模拟域指标。IIR滤波器相关设计（3）求。设p=1dB的Chebyshev等波纹模拟滤波器。可知（4）根据下式计算滤波器阶次N。选定N=4。IIR滤波器相关设计（5）求归一化系统函数。已知=1dB，N=4，可直接查表得到Chebyshev归一化的原型模拟滤波器。（6）利用双线性变换法公式求出数字滤波器系统函数H(z)。IIR滤波器相关设计一、变换函数如果已经有一个低通数字滤波器的系数函数Hp(z)，可以通过一个变换来设计其它各种不同类型的数字滤波器的系统函数H(z)，这种变换是一种映射变换。6.9数字频带变换法

（将原型低通DF变换成其它DF）IIR滤波器相关设计1、变换关系函数表示式将变换前z平面定义为u平面，变换后z平面仍为z平面。其变换关系用函数表示：注：此中变量选用u-1及z-1，而不是用u和z，是因为系统函数中z和u都是以负幂形式出现的。IIR滤波器相关设计2、变换关系函数特性2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部。3）为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以分别表示u平面和Z平面的单位圆，则且必有，其中是的相位函数，即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。因此，必须是全通函数。1)是的有理函数。IIR滤波器相关设计任何全通函数都可以表达为：其中：i是它的极点，可以是实数，也可以是共轭复数，但都必须在单位圆内，即|i|<1；g(z-1)的所有零点，都是其极点的共轭倒数，全在单位圆外，N称为全通函数的阶数。

变化时，相位函数的变化量为。不同的N和对应各类不同的变换。IIR滤波器相关设计二、低通--->低通IIR滤波器相关设计0原型低通另一指标的低通IIR滤波器相关设计低通--低通变换特性IIR滤波器相关设计三、低通-->高通通过将低通频率响应在单位圆上旋转180o，能使低通数字滤波器变到高通数字滤波器。也即是将z变化成-z，实现旋转变换。IIR滤波器相关设计低通—高通的变换IIR滤波器相关设计低通滤波器带通滤波器可以看出：根据全通函数的相位变化量为N的性质，应取N=2四、低通带通IIR滤波器相关设计LP-BP变换把带通的中心频率

由以上分析得变换关系：

全通函数取负号。IIR滤波器相关设计

把变换关系代入可得：可得：其中：IIR滤波器相关设计例：由Butterworth低通滤波器，通过映射变换，设计一个带通的数字滤波器。IIR滤波器相关设计五、低通带阻低通滤波器带阻滤波器可以看出：根据全通函数的相位变化量为N的性质，应取N=2IIR滤波器相关设计LP—BS变换把带阻的中心频率的变化范围为,故N=2

又ω=0时，