高考数学一轮单元复习：第37讲空间中的平行关系

高考数学一轮单元复习：第37讲空间中的平行关系知识梳理1．空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α直线a在平面α有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点图形表示2.空间中平面与平面的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点个数两平面平行α∥β无两平面相交α∩β＝a有一条公共直线3.直线与直线平行(1)平行公理过直线外一点有且只有

直线和这条直线平行．(2)公理4平行于同一条直线的两条直线

，又叫做空间平行线的传递性．符号表示为

.4．直线与平面平行(1)直线和平面平行的判定定理如果平面外的一条直线和此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为

一条a∥c，b∥c

a∥b互相平行(2)直线和平面平行的性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为5．平面与平面平行(1)两个平面平行的判定定理如果一个平面内有

直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号表示为两条相交推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．(2)两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号表示为(3)三个平面平行的性质两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

探究点1线面平行的证明要点探究例1[2009·山东卷]如图38－1所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点．证明：直线EE1∥平面FCC1.【思路】

本题可以转化为证明EE1平行于平面FCC1内的一条直线或证明平面A1ADD1与平面FCC1平行．【解答】

证法一：在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1.因为AB＝2CD，且AB∥CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D.又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又因为F1C平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.证法二：由已知，DD1∥CC1，所以DD1∥平面FCC1.又AB∥CD，AB＝2CD，所以DCAF，所以四边形AFCD是平行四边形，所以AD∥FC，所以AD∥平面FCC1.又AD∩DD1＝D，所以平面A1ADD1∥平面FCC1.因为EE1平面A1ADD1，所以EE1∥平面FCC1.【点评】

证明线面平行的方法主要有两种：利用线面平行的判断定理和面面平行的性质定理．定理的条件的叙述要完整，同时也需根据不同特点的题选用不同方法．关键是找到(或作出)平面内与已知直线平行的直线，常用平行四边形的对边平行(如本例)或三角形的中位线的性质(如变式题)，还可以逆用线面平行的性质先推测出需要的直线．变式题[2008·海南宁夏卷]如图38－3所示，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的正视图、侧视图(单位：cm)．(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥面EFG.【思路】

首先正确画出俯视图，求体积用相减的方法，然后用线面平行的判定定理证明．【解答】(1)俯视图如图38－4所示．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－＝(cm3)．(3)如图38－5所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′.因为E，G分别为AA′，A′D′的中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG平面EFG，BC′平面EFG，所以BC′∥平面EFG.

探究点2面面平行的证明例2如图38－6所示，正四棱锥P－ABCD中，M、N、Q分别为PA、BD、AB上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝BQ∶QA＝5∶8，求证：平面MNQ∥平面PBC.【思路】

利用两平面平行的判定定理证明．【解答】∵PM∶MA＝BQ∶QA＝5∶8，∴MQ∥PB,∴MQ∥平面PBC.连接AN并延长交BC于E，连接PE.∵AD∥BC，∴EN∶NA＝BN∶ND＝5∶8，∴EN∶NA＝PM∶MA，∴MN∥PE，∴MN∥平面PBC.∵MN∩MQ＝M，PE∩PB＝P，MN平面MNQ，MQ平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.【点评】(1)面面平行与线面平行、线线平行之间可以相互转化．(2)要证明两平面平行，只要在一个平面内找两相交直线与另一平面平行即可．变式题已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求S△G1G2G3∶S△ABC.【解答】(1)如图38－9所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD.则有PG1∶PD＝2∶3，PG2∶PE＝2∶3，∴G1G2∥DE.又G1G2不在平面ABC内，∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.又∵G1G2∩G2G3＝G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC.(2)由(1)知，∴G