用根轨迹法分析系统性能

用根轨迹法分析系统性能第四节用根轨迹法分析系统性能一、闭环极点位置与系统性能的关系nC(s)=

sn+a1sn-1+···+an-1s+anb0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bmR(s)sA0s-sjAj∑nj=1=+待定系数:i=1m(s-zi)j=1n(s-sj)KrAj=s=sj(s-sj)A0=ss-s1+A1Ans-sn+…+系统的输出响应：c(t)=A0+∑nj=1Ajesjt负实数极点离虚轴越远,对应的分量

esjt衰减越快系统的调节时间就越短,响应越快.由上式可见性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。=

ζωnωncosβ=ζs1s2σβ01-ωζ2nω-ζn1-ωζ2n-ωnjωs1.2

ωnωζ

=-±n1-

ζ2一对共轭复数极点在s平面上的分布:ωn=-+ωdjζ|s1|=|s2|=ωnζωd()2+2ωn=-1=

ζcosβ复数极点的参数与系统性能的关系为

c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(βe-ζζπ1-2100%σ%=

ζ3ωn=

ts第四节用根轨迹法分析系统性能第四节用根轨迹法分析系统性能复数极点的位置与性能的关系：（1）闭环复数极点的实部ζω反映了系统的调整时间；

（2）闭环极点的虚部ωd表征了系统输出响应的振荡频率；

（3）闭环极点与坐标原点的距离ωn表征了系统的无阻尼自然振荡频率；

（4）闭环极点与负实轴的夹角β反映了系统的超调量；

（5）闭环极点在s左、右平面的分布反映了系统的稳定性。当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。第四节用根轨迹法分析系统性能例已知系统的开环传递函数:Φ(s)=(s+1)(0.01s2+0.08s+1)1试估算系统的性能指标。解：闭环有三个极点σjω0s1

s1=-1s2,3=-4±

s2s3

-1-4s1为主导极点

s可以忽略不计。Φ(s)=s+11ts=3T=3(s)闭环传递函数简化为第四节用根轨迹法分析系统性能二、已知根轨迹增益Kr确定闭环极点根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需要确定增益Kr取某值时的闭环极点，进而确定闭环传递函数。已知Kr一般采用试探的方法确定闭环极点.第四节用根轨迹法分析系统性能例已知系统的开环传递函数:s(s+1)(s+2)G(s)H(s)=Kr试确定Kr=1时的闭环极点。系统的根轨迹图如图:解：σjω0p1p2p3-1-2取：s3s3Kr=|s3||s3+1||s3+2|Kr××Krs3Kr即Kr=1s3s3s1s2根据长除法有s+2.325s3+3s2+2s+1=s2可得另两个极点s2,3±闭环传递函数为:Φ(s)=(s+2.325)(s2+0.675s+0.431)1第四节用根轨迹法分析系统性能三、已知性能指标确定闭环极点和Kr采用根轨迹法分析系统性能，有时也需要根据对系统的性能指标要求确定闭环极点的位置和对应的Kr值，使得系统的性能满足要求。第四节用根轨迹法分析系统性能s(s+1)(s+2)G(s)H(s)=

Krζ试确定闭环极点和对应的Kr值。例已知系统的开环传递函数，要求：系统的根轨迹图如图:解：σjω0p1p2p3-1-2s3s1s2作射线:β=cos-1ζ=±60º与根轨迹相交点为s1和s2s1,2±n-m2>_∑3j=1pj-s1-s2s3=×××Kr=|s3||s3+1||s3+2|系统的闭环传递函数为Φ(s)=(s+2.34)[(s+0.33)2+0.582]1.066第四节用根轨迹法分析系统性能四、增加开环零极点对系统性能的影响由以上分析知，闭环特征根应该位于s左半平面，而且离虚轴要有一定的距离，才能满足系统的稳定性和快速性要求。增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。第四节用根轨迹法分析系统性能（1）二阶系统s(s+1)G(s)H(s)=Kr1.

增加开环零点系统的根轨迹图如图:σjω0p1p2-1不管怎么选择Kr闭环极点离虚轴的距离都太近,影响系统的快速性。

s1增加零点后:系统的根轨迹图为:s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+2)z1

-2零点使根轨迹向左弯曲，选择适当Kr值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离。s2β又可使β角较小，降低超调量。ω-ζn第四节用根轨迹法分析系统性能零点选择不合适，效果就完全不一样。

s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+0.5)系统的根轨迹图如图:σjω0p1z1

p2-1不管怎么选择Kr值，闭环极点总为两个实数极点。主导极点离虚轴的距离在之间，系统的调节时间不可能缩短。s(s+1)G(s)H(s)=Kr增加零点后:第四节用根轨迹法分析系统性能（2）三阶系统s2(s+5)G(s)H(s)=Kr(s+2)系统的根轨迹图如图:σjω0p1p2p3-5增加零点后:s2(s+5)G(s)H(s)=Krz1

-2系统的根轨迹图:加了零点后根轨迹的渐近线位于s左半平面，系统由不稳定变成稳定。如果增加零点:s2(s+5)G(s)H(s)=Kr(s+10)系统的根轨迹图:根轨迹的渐近线位于s右半平面，系统仍然不稳定。p1p2p3-50σjωz1

-102σ=-5+10=2.5第四节用根轨迹法分析系统性能第四节用根轨迹法分析系统性能s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Krζ例已知系统的开环传递函数，要求：试确定开环零点的位置。ts≤3s(1)系统根轨迹图:解：(2)

验证性能指标作射线β=cos-1ζ=60ºs1,2±不满足要求,加入开环零点来改善系统的性能

=7.5sts=3ωζnσjω0p1p2p3s1z1

s2(3)确定开环零点的位置1）选择零点z=-2Kr=6s1,2=-1±满足要求s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Kr(s+2)系统的根轨迹图:

=3sts=3ωζn第四节用根轨迹法分析系统性能z1

2）选择零点σjω0p1p2p3s1s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Kr(s+0.5)系统的根轨迹图:由于闭环实数极点靠近虚轴，故系统响应速度较低。一般不希望系统出现这种情况.第四节用根轨迹法分析系统性能3）选择零点z=-7s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=

Kr(s+7)系统的根轨迹图:σjω0p1p2p3s1z1

系统的性能没有大的改善2σ=-1-4+7=1第四节用根轨迹法分析系统性能2．增加开环极点设二阶系统的开环传递函数为s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+3)系统的根轨迹图:σjω0p1p2z1

1）选择极点p=-6p3s(s+1)(s+6)G(s)H(s)=

Kr(s+3)系统的根轨迹图:第四节用根轨迹法分析系统性能σjω0p1p2z1

2）选择极点p=-2系统的根轨迹图:p3开环传递函数中增加极点,系统的根轨迹向右弯曲,系统的稳定性变差。s(s+1)(s+2)G(s)H(s)=

Kr(s+3)2σ=-1-2+3=0第四节用根轨迹法分析系统性能3）选择极点系统的根轨迹图:σjω0p1p2z1

p3所增加极点的模值越小，根轨迹向右弯曲趋势越明显，对系统稳定性的影响也就越大。s(s+1)(s+0.5)G(s)H(s)=

Kr(s+3)第四章总结通过时域法分析系统的性能可知：系统的性能主要由系统闭环特征方程式的根来确定。根据系统的根轨迹即可分析系统的性能。系统性能的分析过程：开环传递函数八条规则闭环系统根轨迹根据性能指标要求确定闭环极点位置σ%ts确定根轨迹放大系数Kr第四节用根轨迹法分析系统性能主要内容一、根轨迹的基本概念系统的某个参数由零变到无穷大时，闭环特征方程的根在s平面上移动的轨迹。根轨迹方程：=-1Kri=1m∏(s-zi)j=1n∏(s-pj)幅值方程K=(0,1,2…)m∑nj=1(s-zi)∑i=1(s-pj)=±(2k+1)π相角方程=1Kri=1m∏(s-zi)j=1n∏(s-pj)第四节用根轨迹法分析系统性能二、绘制根轨迹的基本规则1.根轨迹的对称性和分布性根轨迹对称于实轴

n阶系统有n条根轨迹2.根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环传递函数的极点m条根轨迹终止于开环传递函数的零点n-m条根轨迹终止于无穷远3.实轴上的根轨迹段实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。第四节用根轨迹法分析系统性能4.根轨迹的渐近线K=0,1,2,3…∑nj=1∑mi=1n-mσ=pj-zi+

n-m(2k+1)θ=π5.根轨迹的分离点和会合点A(s)B'(s)=A'(s)B(s)

6.

根轨迹的出射角和入射角θ∑mi=1(pl-zi)-(pl-pj)∑nj=l

l=±π+∑nj=1(zl-pj)(zl-zi)+∑mi=l

φ