数学实验与数学建模(浅谈分形)

数学实验

从一些奇妙图象浅谈分形海岸线有长度吗？法国的Mandelbrot.B

开创了分形几何1967年的论文：“英国海岸线的长度不确定”（fractalgeometry）的研究（1）具有无限嵌套层次的精细结构对自然几何形态的数学研究海岸线的长度随测量尺度变化（2）在不同尺度下具有某种相似特性Koch雪花曲线设E0为单位直线段三等分后，中间一段用与其组成等边三角形的另两边代替，得到E1对E1的4条线段的每一条重复以上做法，得到E2以此方法重复，可得En当n趋于无穷，得到的极限曲线就是Koch曲线用Mathematica

画koch曲线redokoch[ptlist_List]:=Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]},For[i=1,i<pnum,i=i+1,

tmp=Join[tmp,{ptlist[[i]],ptlist[[i]]*2/3+

ptlist[[i+1]]/3,(ptlist[[i]]+ptlist[[i+1]])/2+{ptlist[[i]][[2]]-ptlist[[i+1]][[2]],

ptlist[[i+1]][[1]]-ptlist[[i]][[1]]}*Sqrt[3]/6,ptlist[[i]]/3+ptlist[[i+1]]*2/3,

ptlist[[i+1]]}]];tmp]Inko01={{0,0},{1,0}};Show[Graphics[Line[Nest[redokoch,Inko01,4]],

AspectRatio->Sqrt[3]/6]]自相似性精细结构：复杂性不随尺度减小而消失处处不光滑，每一点是尖点长度：En的长度＝(4/3)n趋于无穷本身定义方式简单Koch曲线的特点Koch曲线在有限区域却长度无限，它是否一维的？问题单参数的函数曲线是一维的吗？设是平面上边长为1/2的正三角形，构造fnf1f2f3以此方式得到fn，在[0,1]一致收敛到极限函数f的象将为整个三角形分形维数将单位边长的线段，正方形，立方体分成边长为1/2的同样几何物体，得到21，22，23个小线段，正方形，立方体注意指数给出了几何物体的维数若将几何物体的长度（线度）缩小为1/r，定义分形维数得到N个相似小几何物体，那么维数d满足N=rdd=logN/logrKoch曲线的维数？约1.2618分形的数学实例Cantor集Sierpinski集合从单位区间[0,1]出发，三分去中段，得E1，E1两个区间三分去中得E2，极限集合为Cantor集数学名例：完备，完全不连通，长度0自相似，精细结构，简单定义三角形四等分去中间小三角形所得极限图形维数＝？redosierpinski[ptlist_List]:=Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]/3},For[i=0,i<pnum,i=i+1,tmp=Join[tmp,{ptlist[[3i+1]],(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+2]])/2,(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+3]])/2,(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+2]])/2,ptlist[[3i+2]],(ptlist[[3i+2]]+ptlist[[3i+3]])/2,(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+3]])/2,(ptlist[[3i+2]]+ptlist[[3i+3]])/2,ptlist[[3i+3]]}]];tmp]Showsierpinski[ptlist_List]:=Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]/3},For[i=0,i<pnum,i=i+1,AppendTo[tmp,Polygon[{ptlist[[3i+1]],ptlist[[3i+2]],ptlist[[3i+3]]}]]];

Show[Graphics[tmp],AspectRatio->1/GoldenRatio]]po1={{-1,0},{1,0},{0,Sqrt[3]}};Showsierpinski[Nest[redosierpinski,po1,3]]Weierstrass

函数W(x)=(s－2)ksin(kx),>1,1<s<2

数学分析中的著名例子：处处连续，但无处可微lambda=2;nmax=20;s=1.2;Plot[Sum[lambda^((s-2)k)Sin[(lambda^k)x],{k,1,nmax}],{x,-1,1}]使用Mathematica给s以不同的值的函数，自仿射S=1.2S=1.5S=1.99S=1.7复变函数的迭代Julia集：固定考虑Zk+1=Zk2+给定复数初值Z0,

，得到无穷复数序列{Zk}J={Z0序列{Zk}有界}Mandelbrot集：固定Z0MZ＝{

序列{Zk}有界}若Zk=xk+iyk,=p+iqxk＋1＝xk2－yk2,＋pyk＋1＝2xkyk,＋q制作Mandelbrot集设定最大迭代次数N，图形分辨率a,b,使用颜色数K设定一个上界M设将矩形域{－M≤x,y

≤

M}分成ab网格以每个网格点作为（p,q）,以原点作初值作迭代若对所有n

≤

N，xn2+yn2≤

M2,将迭代的所有

点用黑色显示；而若从迭代某m步起xn2+yn2≤

M2

则将迭代所有点用第m(modK)种颜色显示iter[x_,y_,lim_]:=Block[{c,z,ct},c=x+I*y;z=c;ct=0;While[(Abs[z]<2.0)&&(ct<lim),++ct;z=z*z+c;];Return[ct];]Mandelbrot1=

DensityPlot[iter[x,y,50],{x,-2.0,1.0},{y,-1.5,1.5},

PlotPoints->120,Mesh->False]Mandelbrot2=Show[Mandelbrot1,Graphics[Line[{{-0.9,-0.25},{-0.7,-0.25},{-0.7,-0.05},{-0.9,-0.05},{-0.9,-0.25}}]]]Mandelbrot3=Densi