《双曲线及其标准方程(第二课时)》

第二章《圆锥曲线与方程》§3.1双曲线及其标准方程（二）北师大版选修1-1（2-1）石泉中学：张艳琴①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a<|F1F2|

；oF2F1M

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a>0；说明

||MF1|-|MF2||

=2a一、双曲线的定义:知识回顾双曲线定义双曲线图象标准方程焦点a.b.c

的关系

||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)二、双曲线的标准方程:看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题？双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?定义

方程

焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）1.判断下列方程是否为双曲线的标准方程？若不是，先化为标准方程，再求出标准方程中的a,b,c及焦点坐标a=2,b=,c=焦点坐标：a=,b=2,c=焦点坐标：a=1,b=,c=焦点坐标：是不是标准方程为：不是标准方程为：自主学习2.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则

(1)a=_______,c=_______,b=_______

(2)双曲线的标准方程为______________(3)双曲线上一点Ｐ，|PF1|=10,|PF2|=_________3544或16自主学习3.y2-2x2=1的焦点为

、焦距是

.当堂检测课本第83页，A组第1题例1、求适合下列条件的双曲线的标准方程．

（1）焦点在x轴上，

，（3)经过点A(1,1),B(-2,5)（2）焦点(0，－6),(0，6),经过点（2，－5）

合作探究当堂检测课本第80页，练习第1题变式2求过点（4，5），且与双曲线共焦点的双曲线的方程.结论变式3求过点（4，5），且与双曲线共焦点的椭圆的方程.1求适合下列条件的双曲线的标准方程．

（1）焦点(0，-3),(0，3),且经过点（4，－5）

（2）与双曲线有公共焦点,且经过点

当堂检测布置作业课本第83页，A组第2，3，4，6题方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。练习巩固:3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件是

.-2<<-1例1题型一利用双曲线的定义求轨迹问题动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【名师点评】利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，进而求双曲线的方程．课本例2

使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即2a=680，a=340xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.例2:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.解:方程可以表示哪些曲线？_____________.思考：例2【名师点评】双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．跟踪训练方法感悟1．对双曲线定义的理解双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．2．双曲线方程的求法求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”．“定位”是指除了中心在原点之外，判断焦点在哪个坐标轴上，以便使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，“定量”是指确定a2，b2的值，即根据条件列出关于a2和b2的方程组，解得a2和b2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程．精彩推荐典例展示易错警示双曲线定义运用中的误区例【常见错误】(1)利用双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8求|PF2|时，易忽略绝对值号，而错选A.(2)根据双曲线的定义可得到答案C，但由于双曲线上的点到双曲线焦点的最小距离是c－a＝6－4＝2，而|PF2|＝1＜2，不合题意，所以应该舍去，造成错误的原因是忽略双曲线的相关性质，没有检验|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|造成的．【解析】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1