2023年高考数学30道压轴题训练

2023年高考数学30道压轴题训练参考答案与试题解析一、解答题〔共30小题〕1．〔2004•天津〕椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F〔c，0〕〔c＞0〕的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕假设，求直线PQ的方程；〔3〕设〔λ＞1〕，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：〔1〕由题意，可设椭圆的方程为，列出关于a，b的方程组，解出a，b值，从而求得椭圆的方程及离心率；〔2〕由〔1〕可得A〔3，0〕．设直线PQ的方程为y=k〔x﹣3〕．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直条件即可求得k值，从而解决问题．〔2〕先得出向量的坐标．由得方程组解得x2，最后经计算得出即可．解答：〔1〕解：由题意，可设椭圆的方程为．由得解得所以椭圆的方程为，离心率．〔2〕解：由〔1〕可得A〔3，0〕．设直线PQ的方程为y=k〔x﹣3〕．由方程组得〔3k2+1〕x2﹣18k2x+27k2﹣6=0依题意△=12〔2﹣3k2〕＞0，得．设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，那么，①．②由直线PQ的方程得y1=k〔x1﹣3〕，y2=k〔x2﹣3〕．于是y1y2=k2〔x1﹣3〕〔x2﹣3〕=k2[x1x2﹣3〔x1+x2〕+9]．③∵，∴x1x2+y1y2=0．④由①②③④得5k2=1，从而．所以直线PQ的方程为或〔3〕证明：．由得方程组注意λ＞1，解得因F〔2，0〕，M〔x1，﹣y1〕，故=．而，所以．点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法和综合解题能力．2．函数f〔x〕对任意实数x都有f〔x+1〕+f〔x〕=1，且当x∈[0，2]时，f〔x〕=|x﹣1|．〔1〕当x∈[2k，2k+2]〔k∈Z〕时，求f〔x〕的表达式．〔2〕证明f〔x〕是偶函数．〔3〕试问方程是否有实数根？假设有实数根，指出实数根的个数；假设没有实数根，请说明理由．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合．分析：〔1〕推出函数的周期，通过当x∈[2k，2k+2]〔k∈Z〕时，利用函数的表达式，直接求f〔x〕的表达式．〔2〕利用〔1〕通过f〔﹣x〕=|﹣x﹣〔﹣2k﹣1〕|=|﹣x+2k+1|=|x﹣2k﹣1|=f〔x〕证明f〔x〕是偶函数．〔3〕化简方程，构造两个函数，画出函数的图象，即可判断方程是否有实数根，指出实数根的个数．解答：解：〔1〕对任意实数x，满足f〔x〕=1﹣f〔x+1〕=1﹣[1﹣f〔x+2〕]=f〔x+2〕=1﹣f〔x+3〕=1﹣[1﹣f〔x+4〕]=f〔x+4〕=…，也就是有f〔x〕=f〔x+2T〕，其中T属于z．即f〔x〕是一个周期为2的周期函数．对于任意x属于[2k，2k+2]，有x﹣2k属于[0，2]，那么f〔x〕=f〔x﹣2k〕=|〔x﹣2k〕﹣1|=|x﹣2k﹣1|所以，x∈[2k，2k+2]〔k∈Z〕时，f〔x〕=|x﹣2k﹣1|f〔x〕=|x﹣2k﹣1|〔2k≤x≤2k+2，k∈Z〕〔2〕由〔1〕可知函数是个周期为2的周期函数，可将f〔x〕通式写为f〔x〕=|x﹣2k﹣1|，x∈[2k，2k+2]取x∈[2k，2k+2]那么﹣x∈[﹣2k﹣2，﹣2k]那么：f〔﹣x〕=|﹣x﹣〔﹣2k﹣1〕|=|﹣x+2k+1|=|x﹣2k﹣1|=f〔x〕所以是偶函数．〔3〕方程化为f〔x〕=log4x，log4x=|x﹣2k﹣1|，x∈[2k，2k+2]，如图x=4时方程有一个根，x＞4时，方程无根，方程在[1，4]上有3个实根．点评：此题是中档题，函数解析式的求法，偶函数的判断，函数的零点与方程的根的关系，考查计算能力，作图能力．3．如图，点F〔0，1〕，直线L：y=﹣2，及圆C：x2+〔y﹣3〕2=1．〔1〕假设动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；〔2〕过点F的直线g交轨迹E于G〔x1，y1〕、H〔x2，y2〕两点，求证：x1x2为定值；〔3〕过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的定义．专题：综合题．分析：〔1〕由动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，可得M到点F的距离与它到直y=﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知M的轨迹是以F为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，从而可求方程〔2〕由题意可得直线g的斜率存在，故可设直线g的方程为y=kx+1，联立直线与抛物线方程，由方程的根与系数关系可求〔3〕设P〔x，y〕，那么x2=4y〔y≥0〕，由圆的切线性质可得S四边形PACB=2S△PAC==PA==，由二次函数的性质可求最小值及取得最小值时的p解答：解：〔1〕由动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，可得M到点F的距离与它到直y=﹣1的距离相等由抛物线的定义可知M的轨迹是以F为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线其方程为x2=4y〔2〕由题意可得直线g的斜率存在，故可设直线g的方程为y=kx+1联立方程整理可得x2﹣4kx﹣4=0由方程的根与系数关系可得x1x2=﹣4〔3〕设P〔x，y〕，那么x2=4y〔y≥0〕由圆的切线的性质可得PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PBS四边形PACB=2S△PAC==PA===∴P〔±2，1〕，点评：此题主要考查了利用抛物线的定义求解抛物线的方程，方程的根与系数关系的应用，圆的切线性质的应用及利用二次函数的性质求解函数的最值等知识的综合应用．4．〔2004•黄埔区一模〕以椭圆=1〔a＞1〕短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设直角三角形一腰所在直线为y=kx+1〔k＞0〕，那么另一腰所在直线方程为y=﹣x+1，分别代入椭圆方程，求得两腰的长，由两腰长相等得关于k的方程，讨论方程的根的个数即可得符合条件的三角形的个数解答：解：因a＞1，不防设短轴一端点为B〔0，1〕，内接直角三角形为△ABC，那么两腰所在直线的斜率一定存在且不为0，设BC：y=kx+1〔k＞0〕那么AB：y=﹣x+1把BC方程代入椭圆，得〔1+a2k2〕x2+2a2kx=0∴|BC|=，同理|AB|=由|AB|=|BC|，得k3﹣a2k2+ka2﹣1=0〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0∴k=1或k2+〔1﹣a2〕k+1=0当k2+〔1﹣a2〕k+1=0时，△=〔a2﹣1〕2﹣4由△＜0，得1＜a＜由△=0，得a=，此时，k=1故当△≤0，即1＜a≤时，方程〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0有一解当△＞0即a＞时，方程〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0有三解即当1＜a≤时，符合条件的等腰直角三角形只有一个；当a＞时，符合条件的等腰三角形可作三个点评：此题考查了直线与椭圆的位置关系，通过联立方程求曲线交点进而求弦长的方法，将符合条件的三角形个数问题转化为讨论方程根的个数问题是解决此题的关键5．〔2004•黄埔区一模〕，二次函数f〔x〕=ax2+bx+c及一次函数g〔x〕=﹣bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0．〔Ⅰ〕求证：f〔x〕及g〔x〕两函数图象相交于相异两点；〔Ⅱ〕设f〔x〕、g〔x〕两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围．考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：计算题；证明题．分析：〔I〕首先将两函数联立得出ax2﹣2bx+c=0，再利用根的判别式得出它的符号即可；〔II〕利用线段AB在x轴上的射影A1B1长的平方，以及a，b，c的符号得出|A1B1|的范围即可．解答：解：依题意，知a、b≠0∵a＞b＞c且a+b+c=0∴a＞0且c＜0〔Ⅰ〕令f〔x〕=g〔x〕，得ax2+2bx+c=0．〔*〕△=4〔b2﹣ac〕∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴△＞0∴f〔x〕、g〔x〕相交于相异两点．〔Ⅱ〕设方程的两根为x1，x2，那么|A1B1|2==4[〔+〕2+]，∵a＞b＞c，a+b+c=0，∴a＞﹣〔a+c〕＞c，a＞0，∴﹣2＜＜﹣，此时3＜A1B12＜12，∴＜|A1B1|＜2．点评：本小题主要考查二次函数的图象、二次函数的性质、根的判别式、不等式的解法等根底知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于根底题，6．过函数f〔x〕=x3+ax2+1的图象上一点B〔1，b〕的切线的斜率为﹣3．〔1〕求a，b的值；〔2〕求A的取值范围，使不等式f〔x〕≤A﹣1992对于x∈[﹣1，4]恒成立；〔3〕令g〔x〕=﹣f〔x〕﹣3x2+tx+1．是否存在一个实数t，使得当x∈〔0，1]时，g〔x〕有最大值1？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：〔1〕先求导函数，利用过函数f〔x〕=x3+ax2+1的图象上一点B〔1，b〕的切线的斜率为﹣3，根据导数的几何意义，可得f′〔1〕=﹣3，从而可求a，b的值；〔2〕令g〔x〕=f〔x〕+1992，那么问题转化为求g〔x〕在[﹣1，4]上的最大值．〔3〕先求导函数g′〔x〕=﹣3x2+t，根据t的取值不同，函数的单调性有所不同，故需进行分类讨论，从而得解．解答：解：〔1〕f′〔x〕=3x2+2ax，∵过函数f〔x〕=x3+ax2+1的图象上一点B〔1，b〕的切线的斜率为﹣3∴f′〔1〕=﹣3，∴a=﹣3，将〔1，b〕代入函数f〔x〕=x3﹣3x2+1，可得b=﹣1〔2〕令h〔x〕=f〔x〕+1992，那么使不等式f〔x〕≤A﹣1992对于x∈[﹣1，4]恒成立问题转化为h〔x〕≤A对于x∈[﹣1，4]恒成立，从而求h〔x〕在[﹣1，4]上的最大值即可．求导数h′〔x〕=3x2﹣6x=3x〔x﹣2〕，那么函数在〔﹣1，0〕，〔2，4〕上，h′〔x〕＞0，函数为单调增函数，在〔0，2〕上，h′〔x〕＜0，函数为单调减函数∵h〔﹣1〕=1987，h〔0〕=1993，h〔4〕=2023∴函数在x=4处取得最大值2023．故A≥2023〔3〕∵g〔x〕=﹣f〔x〕﹣3x2+tx+1=﹣x3+tx，∴g′〔x〕=﹣3x2+t当t≤0时，函数单调递减，函数在x∈〔0，1]无最大值；当t∈〔0，3〕时，函数在x∈〔0，1]上先增后减，，此时符合题意当t≥3时，函数在x∈〔0，1]上单调递增，∴gmax〔x〕=g〔1〕=1，∵g〔x〕=﹣f〔x〕﹣3x2+tx+1=﹣x3+tx，∴t﹣1=1，∴t=2，不满足t≥3，舍去故点评：此题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是利用导数确定函数的单调性，从而确定函数的最值．7．〔2006•重庆一模〕两点M〔﹣2，0〕，N〔2，0〕，动点P〔x，y〕在y轴上的射影为H，是2和的等比中项．〔I〕求动点P的轨迹方程；〔II〕假设以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．考点：双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：〔I〕先用坐标表示出向量，进而利用是2和的等比中项，可得，从而求出动点P的轨迹方程；〔II〕假设以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N〔2，0〕关于直线x+y=1的对称点为E〔1，﹣1〕，那么|QE|=|QN|，所以双曲线C的实轴长2a=||QM|﹣|QN||=||QM|﹣|QE||≤|ME|=〔当且仅当Q，E．M共线时取“=〞〕，此时，实轴长为2a，最大为；同理假设Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为，从而可求实轴最长的双曲线C的方程．解答：解：〔I〕M〔﹣2，0〕，N〔2，0〕，设动点P的坐标为〔x，y〕，所以H〔0，y〕，所以∴，∵是2和的等比中项∴∴x2=2〔x2﹣4+y2〕∴为所求动点P的轨迹方程；〔II〕假设以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N〔2，0〕关于直线x+y=1的对称点为E〔1，﹣1〕，那么|QE|=|QN|∴双曲线C的实轴长2a=||QM|﹣|QN||=||QM|﹣|QE||≤|ME|=〔当且仅当Q，E．M共线时取“=〞〕，此时，实轴长为2a，最大为同理假设Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为∴双曲线C的实半轴长为∵∴∴实轴最长的双曲线C的方程为．点评：此题以向量为载体，考查向量的坐标运算，考查动点的轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强．8．数列{an}满足a1=3a〔a＞0〕，an+1=〔1〕求数列{bn}的通项公式；〔2〕设数列{bn}的前n项和为Sn，试比拟Sn与的大小，并证明你的结论．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：〔1〕先求出数列{bn}的首项，然后根据条件可得bn+1=，两边同取以2为底的对数，可得数列{log2bn}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，从而可求出数列{bn}的通项公式；〔2〕欲比拟Sn与的大小，只需判断Sn﹣的符号，利用放缩法和等比数列求和公式可得结论．解答：解：〔1〕∵，a1=3a〔a＞0〕，∴，，∵an+1=，∴===，而b1＞0，那么bn＞0，∴log2bn+1=log2即log2bn+1=2log2bn，∴数列{log2bn}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，那么log2bn=﹣2n﹣1，∴bn=即数列{bn}的通项公式为bn=；〔2〕Sn＜，证明：Sn﹣=〔+++++…〕﹣=〔+++…〕﹣＜〔+++…〕﹣=﹣=0，∴Sn＜．点评：此题主要考查了数列的递推关系，以及数列与不等式的综合应用，同时考查了运算求解的能力和不等式证明中运用放缩的方法，属于难题．9．焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．〔Ⅰ〕求双曲线C的方程；〔Ⅱ〕设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M〔﹣2，0〕及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；〔Ⅲ〕假设Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕设双曲线C的渐近线方程为y=kx，那么kx﹣y=0，由该直线与圆相切，知双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．由此利用双曲线C的一个焦点为，能求出双曲线C的方程．〔Ⅱ〕由，得〔1﹣m2〕x2﹣2mx﹣2=0．令f〔x〕=〔1﹣m2〕x2﹣2mx﹣2．直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f〔x〕=0在〔﹣∞，0〕上有两个不等实根．由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．〔Ⅲ〕假设Q在双曲线的右支上，那么延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，假设Q在双曲线的左支上，那么在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．由此能求出点N的轨迹方程．解答：解：〔Ⅰ〕设双曲线C的渐近线方程为y=kx，那么kx﹣y=0∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为．又双曲线C的一个焦点为∴2a2=2，a2=1．∴双曲线C的方程为x2﹣y2=1．〔Ⅱ〕由得〔1﹣m2〕x2﹣2mx﹣2=0．令f〔x〕=〔1﹣m2〕x2﹣2mx﹣2直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f〔x〕=0在〔﹣∞，0〕上有两个不等实根．因此解得．又AB中点为，∴直线l的方程为．令x=0，得．∵，∴∴．〔Ⅲ〕假设Q在双曲线的右支上，那么延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，假设Q在双曲线的左支上，那么在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是①由于点N是线段F1T的中点，设N〔x，y〕，T〔xT，yT〕．那么，即．代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1.点评：此题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．10．f〔x〕对任意x∈R都有．〔Ⅰ〕求和的值．〔Ⅱ〕数列{an}满足：an=f〔0〕+，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；试比拟Tn与Sn的大小．考点：数列与函数的综合；等差关系确实定．专题：综合题．分析：〔Ⅰ〕由f〔x〕对任意x∈R都有，知．由此能求出和的值．〔Ⅱ〕又两式相加．由此知数列{an}是等差数列．，==Sn．解答：解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕对任意x∈R都有，∴．所以．令，得，即．〔Ⅱ〕又两式相加．所以，又．故数列{an}是等差数列．，===所以Tn≤Sn．点评：此题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．11．如图，设OA、OB是过抛物线y2=2px顶点O的两条弦，且=0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；轨迹方程．专题：综合题．分析：设出直线方程与抛物线方程分别联立，求得A，B的坐标，从而可得OA、OB为直径的两圆的方程，进而可得以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程解答：解：设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0，那么OA的方程为y=kx由，解得A〔〕又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y=﹣x由，解得B〔2pk2，﹣2pk〕从而OA的中点为A'〔〕，OB的中点为B'〔pk2，﹣pk〕所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为x2+y2﹣=0…①x2+y2﹣2pk2x+2pky=0…②∵P〔x，y〕是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0由①﹣②并化简得y=〔k﹣〕x…③将③代入①，并化简得x〔k2+﹣1〕=2p…④由③④消去k，有x2+y2﹣2px=0∴点P的轨迹为以〔p，0〕为圆心，p为半径的圆〔除去原点〕．点评：此题以抛物线为载体，考查向量知识的运用，考查轨迹方程与轨迹，解题的关键是确定以OA、OB为直径的圆的方程．12．函数f〔x〕=log3〔x2﹣2mx+2m2+〕的定义域为R．〔1〕求实数m的取值集合M；〔2〕求证：对m∈M所确定的所有函数f〔x〕中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值．考点：根本不等式在最值问题中的应用；复合函数的单调性；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：〔1〕将函数的定义域为R转化成x2﹣2mx+2m2+＞0对任意的x∈R恒成立，然后利用判别式建立关系即可；〔2〕利用根本不等式求出对数的真数的最小值，然后根据对数函数的单调性求出f〔x〕的最小值，从而建立关系式，解之即可求出所求．解答：解：〔1〕由题意，有x2﹣2mx+2m2+＞0对任意的x∈R恒成立所以△=4m2﹣4〔2m2+〕＜0即﹣m2﹣＜0∴由于分子恒大于0，只需m2﹣3＞0即可所以m＜﹣或m＞∴M={m|m＜﹣或m＞}〔2〕x2﹣2mx+2m2+=〔x﹣m〕2+m2+≥m2+当且仅当x=m时等号成立．所以，题设对数函数的真数的最小值为m2+又因为以3为底的对数函数为增函数∴f〔x〕≥log3〔m2+〕∴当且仅当x=m〔m∈M〕时，f〔x〕有最小值为log3〔m2+〕又当m∈M时，m2﹣3＞0∴m2+=m2﹣3++3≥2=9当且仅当m2﹣3=，即m=±时，log3〔m2+〕有最小值log3〔6+〕=log39=2∴当x=m=±时，其函数有最小值2．点评：此题主要考查了函数恒成立问题，以及根本不等式的应用，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题．13．关于x的方程2x2﹣tx﹣2=0的两根为α，β〔α＜β〕，函数f〔x〕=〔1〕求f〔α〕和f〔β〕的值．〔2〕证明：f〔x〕在[α，β]上是增函数．〔3〕对任意正数x1．x2，求证：〔文科不做〕考点：函数单调性的判断与证明；不等式的证明．专题：计算题．分析：〔1〕由根与系数的关系得，，即可求出求f〔α〕和f〔β〕的值．〔2〕求出函数的导函数，判断函数的导函数在[α，β]的值大于0，即可证明函数在区间[α，β]上是增函数．〔3〕先判断出和的区间，根据〔2〕的证明，即可证的上述证明．解答：解：〔1〕由根与系数的关系得，∴同法得f〔〔4分〕〔文科7分〕〔2〕证明：∵f/〔x〕=，而当x∈[α，β]时，2x2﹣tx﹣2=2〔x﹣α〕〔x﹣β〕≤0，故当x∈[α，β]时，f/〔x〕≥0，∴函数f〔x〕在[α，β]上是增函数．〔9分〕〔文科14分〕〔3〕证明：，∴，同理．∴〔11分〕又f〔两式相加得：，即〔13分〕而由〔1〕，f〔α〕=﹣2β，f〔β〕=﹣2α且f〔β〕﹣f〔α〕=|f〔β〕﹣f〔α〕|，∴．〔14分〕点评：此题主要考查函数单调性的判断即相关证明．14．〔2005•温州一模〕数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和．对于任意的n∈N*，都有4Sn=〔an+1〕2．〔1〕求数列{an}的通项公式．〔2〕假设2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的最大值．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn﹣4Sn﹣1进行化简得an﹣an﹣1=2，从而得到数列{an}是等差数列，直接求出通项公式即可；〔2〕假设2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，那么，然后研究数列的单调性，可求出t的范围，从而求出所求．解答：解：〔1〕∵4S1=4a1=〔a1+1〕2，∴a1=1．当n≥2时，4an=4Sn﹣4Sn﹣1=〔an+1〕2﹣〔an﹣1+1〕2，∴2〔an+an﹣1〕=an2﹣an﹣12，又{an}各项均为正数，∴an﹣an﹣1=2．数列{an}是等差数列，∴an=2n﹣1．〔2〕Sn=n2，假设2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，那么．令，．当n≥3时，．又，∴．∴t的最大值是．点评：此题主要考查了数列的递推关系，以及恒成立问题和转化的数学思想，属于中档题．15．〔2023•马鞍山模拟〕H〔﹣3，0〕，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足．〔1〕当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；〔2〕过点T〔﹣1，0〕作直线l与轨迹C交于A、B两点，假设在x轴上存在一点E〔x0，0〕，使得△ABE是等边三角形，求x0的值．考点：椭圆的应用；平面向量数量积的运算；轨迹方程．专题：计算题．分析：〔1〕设出M的坐标，利用题意向量的关系，求得x和y的关系，进而求得M的轨迹C．〔2〕设直线l的方程，代入抛物线方程，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，那么线段AB中点坐标以及AB的中垂线的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE为正三角形，利用正三角的性质推断E到直线AB的距离的关系式求得k，那么x0可求．解答：解〔1〕设点M的坐标为〔x，y〕，由．得，由，得，所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，所以，动点M的轨迹C是以〔0，0〕为顶点，以〔1，0〕为焦点的抛物线，除去原点．〔2〕设直线l：y=k〔x+1〕，其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2〔k2﹣2〕x+k2=0①设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为，令，所以，点E的坐标为．因为△ABE为正三角形，所以，点E到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|=．所以，解得，所以．点评：此题主要考查了椭圆的应用，向量的根本性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．16．设f1〔x〕=，定义fn+1〔x〕=f1[fn〔x〕]，an=〔n∈N*〕．〔1〕求数列{an}的通项公式；〔2〕假设T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n，Qn=〔n∈N*〕，试比拟9T2n与Qn的大小，并说明理由．考点：数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系确实定；数列递推式．专题：综合题．分析：〔1〕根据f1〔x〕=，定义fn+1〔x〕=f1[fn〔x〕]，an=〔n∈N*〕．可得f1〔0〕=2，a1==，fn+1〔0〕=f1[fn〔0〕]=，从而an+1=﹣an．所以数列{an}是首项为，公比为﹣的等比数列，故可求数列{an}的通项公式．〔2〕利用错误相减法求得T2n=〔1﹣〕，从而9T2n=1﹣，又Qn=1﹣，故当n=1时，22n=4，〔2n+1〕2=9，所以9T2n＜Qn；当n=2时，22n=16，〔2n+1〕2=25，所以9T2n＜Qn；当n≥3时，22n=[〔1+1〕n]2=〔Cn0+Cn1+Cn3+…+Cnn〕2＞〔2n+1〕2，从而得到结论．解答：解：〔1〕∵f1〔0〕=2，a1==，fn+1〔0〕=f1[fn〔0〕]=，∴an+1====﹣=﹣an．∴数列{an}是首项为，公比为﹣的等比数列，∴an=〔〕n﹣1．〔2〕∵T2n=a1+2a2+3a3+…+〔2n﹣1〕a2n﹣1+2na2n，∴T2n=〔﹣a1〕+〔﹣〕2a2+〔﹣〕3a3+…+〔﹣〕〔2n﹣1〕a2n﹣1+2na2n=a2+2a3+…+〔2n﹣1〕a2n﹣na2n．两式相减，得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n．∴T2n=+n×〔﹣〕2n﹣1=﹣〔﹣〕2n+〔﹣〕2n﹣1．T2n=﹣〔﹣〕2n+〔﹣〕2n﹣1=〔1﹣〕．∴9T2n=1﹣．又Qn=1﹣，当n=1时，22n=4，〔2n+1〕2=9，∴9T2n＜Qn；当n=2时，22n=16，〔2n+1〕2=25，∴9T2n＜Qn；当n≥3时，22n=[〔1+1〕n]2=〔Cn0+Cn1+Cn3+…+Cnn〕2＞〔2n+1〕2，∴9T2n＜Qn；综上得：9T2n＜Qn．点评：此题以函数为载体，考查数列的通项，考查等比数列的定义，考查错位相减法求数列的和，考查分类讨论的数学思想，综合性强．17．=〔x，0〕，=〔1，y〕，〔+〕⊥〔﹣〕〔1〕点P〔x，y〕的轨迹C的方程；〔2〕假设直线l：y=3x+m〔m≠0〕与曲线C交于A，B两点，D〔0，﹣1〕且，试求m的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．专题：综合题．分析：〔1〕由x2=3+3y2，由此能得到P的轨迹方程．〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB中点E坐标为〔x0，y0〕.，消去y得：26x2+18mx+3m2+3=0由韦达定理和根的判别式能够求出m的值．解答：解：〔1〕由〔2分〕即x2=3+3y2，所以P的轨迹方程为〔5分〕〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB中点E坐标为〔x0，y0〕．，消去y得：26x2+18mx+3m2+3=0由韦达定理得：，那么，〔8分〕那么AB垂直平分线方程为，又点D〔﹣1，0〕在AB的垂直平分线上，代入方程得〔11分〕〔注：也可由DE的斜率为﹣，得，解得m=〕由△＞0，得m2＞26所以时，直线l：y=3x+m，m≠0与双曲线C相交，符合题意，所以．〔12分〕点评：此题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．18．函数f〔x〕对任意实数p、q都满足f〔p+q〕=f〔p〕•f〔q〕，．〔1〕当n∈N+时，求f〔n〕的表达式；〔2〕设，求证：；〔3〕设，试比拟与6的大小．考点：数列与不等式的综合；函数解析式的求解及常用方法；数列与函数的综合．专题：综合题．分析：〔1〕由题设知：=．〔2〕由〔1〕可知，设Tn=那么．利用错位相减法能证明．〔3〕由〔1〕可知bn=，故==，所以=，由此能够证明．解答：〔1〕解：∵函数f〔x〕对任意实数p、q都满足f〔p+q〕=f〔p〕•f〔q〕，，∴=．〔2〕证明：由〔1〕可知，设Tn=那么．∴．两式相减得+…+=，∴Tn=．〔3〕解：由〔1〕可知bn=，∴==，那么=，故有==6．点评：此题考查数列与不等式的综合运用，考查f〔n〕的表达式的求法，求证：，试比拟与6的大小．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法和裂项求和法的灵活运用．19．函数f〔x〕=logax〔a＞0且a≠1〕，假设数列：2，f〔a1〕，f〔a2〕，…，成等差数列．〔1〕求数列{an}的通项an；〔2〕假设0＜a＜1，数列{an}的前n项和为Sn，求；〔3〕假设a=2，令bn=an•f〔an〕，对任意，求实数t的取值范围．考点：数列的极限；等差数列的性质；数列与函数的综合．专题：计算题；综合题．分析：〔1〕利用数列：2，f〔a1〕，f〔a2〕，…，成等差数列，推出数列的公差，求出f〔an〕，利用对数关系，求出数列{an}的通项an；〔2〕求出数列的前n项和，利用假设0＜a＜1，直接求解；〔3〕利用a=2，求出bn=an•f〔an〕的表达式，利用对任意，得到26＞2t，然后求实数t的取值范围．解答：解：〔1〕2n+4=2+〔n+2﹣1〕d，∴d=2，∴f〔an〕=2+〔n+1﹣1〕•2=2n+2，∴．〔2〕因为，数列是等比数列，首项为，公比为a2，所以，所以==．〔3〕由与〔2〕可得：．，∴bn+1＞bn．∴{bn}为递增数列∴bn中最小项为，∴26＞2t，∴t＜6．点评：此题考查数列的通项公式的求法，数列的极限，数列的根本性质的应用，考查转化思想，计算能力．20．△OFQ的面积为．〔1〕设正切值的取值范围；〔2〕设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q〔如图〕，，当取得最小值时，求此双曲线的方程．〔3〕设F1为〔2〕中所求双曲线的左焦点，假设A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；双曲线的标准方程．专题：综合题．分析：〔1〕由，知，由此能求出向量与的夹角θ的正切值的取值范围．〔2〕设所求的双曲线方程为，Q〔x1，y1〕，，，，由，知．由此能求出此双曲线的方程．〔3〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕l1的方程为的方程为，有，，由2|AB|=5|FF1|，知，由此能求出线段AB的中点M的轨迹方程．解答：解：〔1〕∴，∴∴1＜tanθ＜4．∴．〔2〕设所求的双曲线方程为∴，∴又由，∴，∴．当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标为∴，∴，∴所求方程为．〔3〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕l1的方程为的方程为那么有①②∵2|AB|=5|FF1|∴∴③设M〔x，y〕由①②得∴∴，代入③得∴．∴M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆．点评：此题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21．函数f〔x〕=3x2+bx+1是偶函数，g〔x〕=5x+c是奇函数，数列{an}满足an＞0，且a1=1，f〔an+an+1〕﹣g〔an+1an+an2〕=1．〔1〕求{an}的通项公式；〔2〕假设{an}的前考点：等比数列的前n项和；极限及其运算；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：〔1〕根据函数f〔x〕是偶函数判断f〔﹣x〕=f〔x〕，把函数解析式代入求得f〔x〕=3x2+1，根据g〔x〕是奇函数求得c，那么g〔x〕的解析式可得．代入f〔an+an+1〕﹣g〔an+1an+an2〕=1中，整理得进而判断出数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，进而求得数列的通项公式．〔2〕利用等比数列的求和公式根据〔1〕中的通项公式求得前n项和的极限值．解答：解：〔1〕∵f〔x〕=3x2+bx+1是偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，即3〔﹣x〕2+b〔﹣x〕+1=3x2+bx+1，b=0．∴f〔x〕=3x2+1．∵g〔x〕=5x+c是奇函数，∴g〔﹣x〕=﹣g〔x〕，即5〔﹣x〕+c=﹣〔5x+c〕，c=0．∴g〔x〕=5x．f〔an+an+1〕﹣g〔an+1an+an2〕=3〔an+an+1〕2+1﹣5〔an+1an+an2〕=1．∴3an+12+anan+1﹣2an2=0．∴∴数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，∴的通项公式为〔2〕由〔I〕可求得点评：此题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．考查了学生对数列根底知识的掌握．22．直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，，，椭圆F以A、B为焦点且经过点D．〔1〕建立适当坐标系，求椭圆F的方程；〔2〕假设点E满足=，是否存在不平行于AB的直线L与椭圆F交于M、N两点，且|ME|=|NE|？假设存在，求出直线L与AB夹角的范围；假设不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：〔1〕考虑先以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设椭圆F方程为：，那么由题意可得c=1，D〔﹣1，〕在椭圆上代入可求a，b，从而可求椭圆得方程〔2〕由=可求E〔0，〕，假设L⊥AB，那么与题意不符，可设L：y=kx+m〔k≠0〕，由直线与椭圆有2个交点可得△＞0，即4k2+3＞m2，利用方程根与系数关系可求，，可得从而可求解答：解：〔1〕如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，那么A〔﹣1，0〕，B〔1，0〕．c=1设椭圆F方程为：，D〔﹣1，〕在椭圆上代入可得∴椭圆F的方程是：．〔7分〕〔2〕由=得：E〔0，〕，假设L⊥AB，那么与题意不符，故可设L：y=kx+m〔k≠0〕由，假设M、N存在，那么△＞0即64k2m2﹣4〔3+4k2〕•〔4m2﹣12〕＞0，4k2+3＞m2，设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，MN的中点F〔x0，y0〕，那么，，∴∴4k2+3＜4∴∴且k≠0∴L与AB的夹角的范围是〔0，〕．〔14分〕点评：利用椭圆〔抛物线、双曲线〕得性质求解相应的方程是圆锥曲线得常考试题，解题的关键是要灵活利用圆锥曲线的性质．23．设函数，〔1〕求证：对一切x∈R，f〔x〕+f〔1﹣x〕为定值；〔2〕记求数列{an}的通项公式及前n项和．考点：数列与函数的综合；函数恒成立问题；数列的求和．专题：综合题．分析：〔1〕由函数，知f〔x〕+f〔1﹣x〕==．所以对一切x∈R，f〔x〕+f〔1﹣x〕为定值．〔2〕由〔1〕知f〔0〕+f〔1〕=，，，…，，将上述n+1个式子相加，得，由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和．解答：解：〔1〕∵函数，∴f〔x〕+f〔1﹣x〕====．所以对一切x∈R，f〔x〕+f〔1﹣x〕为定值．〔2〕由〔1〕知f〔0〕+f〔1〕=，，，…，将上述n+1个式子相加，得，∴，∴==．点评：此题考查对一切x∈R，f〔x〕+f〔1﹣x〕为定值的证明，求数列{an}的通项公式及前n项和．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．24．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f〔x〕=﹣．〔1〕求当x＜0时f〔x〕的解析式；〔2〕试确定函数f〔x〕〔x≥0〕的单调区间，并证明你的结论；〔3〕假设x1≥2，x2≥2且x1≠x2，证明：|f〔x1〕﹣f〔x2〕|＜2．考点：奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：〔1〕直接设x＜0，那么﹣x＞0，再利用f〔x〕=f〔﹣x〕即可得x＜0时f〔x〕的解析式；〔2〕先求出其导函数，再利用导函数值的正负和原函数单调性之间的关系即可求出函数f〔x〕〔x≥0〕的单调区间；〔3〕利用〔2〕的结论得当x≥2时，有0＞f〔x〕≥f〔2〕=﹣2；所以有当x1，x2≥2时，得﹣2＜f〔x1〕＜0且﹣2＜f〔x2〕＜0，即0＜﹣f〔x2〕＜2，整理后即可得出结论．解答：解：〔1〕假设x＜0，那么﹣x＞0，∵函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，∴f〔x〕=f〔﹣x〕=〔x＜0〕〔3分〕〔2〕当x≥0时，f'〔x〕=．〔6分〕显然当0＜x＜1时，f'〔x〕＜0；当x＞1时，f'〔x〕＞0，又f〔x〕在x=0和x=1处连续，∴函数f〔x〕在[0，1]上为减函数，在[1，+∞〕上为增函数．〔8分〕〔3〕证明：∵函数f〔x〕在[1，+∞〕上为增函数，且f〔x〕＜0，∴当x≥2时，有0＞f〔x〕≥f〔2〕=﹣2．〔10分〕又当x1，x2≥2时，得﹣2＜f〔x1〕＜0且﹣2＜f〔x2〕＜0，即0＜﹣f〔x2〕＜2∴﹣2＜f〔x1〕﹣f〔x2〕＜2即得：|f〔x1〕﹣f〔x2〕|＜2．〔12分〕点评：此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合以及利用导函数研究函数的单调性，是对函数性质的综合考查，属于中档题．25．抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，假设线段AB的垂直平分线与X轴交于D〔X0，0〕〔1〕求X0的取值范围．〔2〕△ABD能否是正三角形？假设能求出X0的值，假设不能，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：〔1〕设过点M的方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0可求得k2的范围，令A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，根据韦达定理求得x1+x2和y1+y2，进而得到AB中点坐标，AB垂直平分线的方程，令y=0，得，这样就可以求出X0的取值范围．〔2〕假设△ABD是正三角形，那么需点D到AB的距离等于，由此建立方程，可求，满足0＜k2＜1，从而我们就可以解出这道题．解答：解：〔1〕由题意易得M〔﹣1，0〕设过点M的直线方程为y=k〔x+1〕〔k≠0〕代入y2=4x，得k2x2+〔2k2﹣4〕x+k2=0再设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=，x1•x2=1y1+y2=k〔x1+1〕+k〔x2+1〕=k〔x1+x2〕+2k=∴AB的中点坐标为〔〕那么线段AB的垂直平分线方程为，令y=0，得，即又方程〔1〕中△=〔2k2﹣4〕2﹣4k4＞0，∴0＜k2＜1，∴，∴x0＞3〔2〕假设△ABD是正三角形，那么需点D到AB的距离等于点D到AB的距离d=据，得：∴4k4+k2﹣3=0，〔k2+1〕〔4k2﹣3〕=0，∴，满足0＜k2＜1∴△ABD可以为正△，此时点评：直线与抛物线的位置关系问题，通常我们是联立方程，组成方程组，利用韦达定理求解，对于存在性命题，一般式假设存在，转化为封闭性命题求解．26．□ABCD，A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，且|AD|=2〔1〕求□ABCD对角线交点E的轨迹方程．〔2〕过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且|MN|=，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程．〔3〕与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：〔1〕设E〔x，y〕，D〔x0，y0〕，根据ABCD是平行四边形，可得，从而可得坐标之间的关系，再利用|AD|=2，我们就可以求得平行四边形ABCD对角线交点E的轨迹方程；〔2〕先根据A、B为焦点的椭圆的焦距2c=4，那么c=2，设椭圆方程为，即，将y=k〔x+2〕代入，再利用韦达定理及MN中点到y轴的距离为，|MN|=，可得，进而我们就可以求出所求椭圆方程；〔3〕由〔1〕可知点E的轨迹是圆x2+y2=1设〔x0，y0〕是圆上的任一点，那么过〔x0，y0〕点的切线方程是x0x+y0y=1，再分y0≠0，y0=0去求切线长名酒可以得出结论．解答：解：〔1〕设E〔x，y〕，D〔x0，y0〕∵ABCD是平行四边形，∴，∴〔4，0〕+〔x0+2，y0〕=2〔x+2，y〕∴〔x0+6，y0〕=〔2x+4，2y〕∴又|AD|=2，∴，∴〔2x﹣2+2〕2+〔2y〕2=4即：x2+y2=1∴平行四边形ABCD对角线交点E的轨迹方程为x2+y2=1〔2〕设过A的直线方程为y=k〔x+2〕以A、B为焦点的椭圆的焦距2c=4，那么c=2设椭圆方程为，即…〔*〕将y=k〔x+2〕代入〔*〕得即〔a2+a2k2﹣4〕x2+4a2k2x+4a2k2﹣a4+4a2=0设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕那么∵MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在y轴的左侧，∴MN中点也在y轴的左侧．∴，∴a2k2=2a2﹣8，∴∴∵∴∴即12a2+12a2k2﹣32k2=160∴12a2+12〔2a2﹣8〕﹣32k2=160∴∴，∴9a4﹣80a2+64=0∴〔a2﹣8〕〔9a2﹣8〕=0，∵a＞c=2，∴a2=8∴b2=a2﹣c2=8﹣4=4∴所求椭圆方程为〔3〕由〔1〕可知点E的轨迹是圆x2+y2=1设〔x0，y0〕是圆上的任一点，那么过〔x0，y0〕点的切线方程是x0x+y0y=1①当y0≠0时，代入椭圆方程得：，又∴∴=令那么，∵15≤t＜31∴当t=15时，|PQ|2取最大值为15，|PQ|的最大值为．此时，∴y0=1，∴直线l的方程为y=±1②当y0=0时，求得故：所求|