《平面向量的数量积》同步练习 市赛一等奖

《平面向量的数量积》同步练习1．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＜0，∴cosθ＜0.又θ∈[0，π]，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).答案：C2．已知|a|＝9，|b|＝6eq\r(2)，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为()A．45° B．135°C．120° D．150°解析：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－54,9×6\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝135°.答案：B3．已知两个不共线的单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是()A．e1在e2方向上的投影为cosθB．e1·e2＝1C．eeq\o\al(2,1)＝eeq\o\al(2,2)D．(e1＋e2)⊥(e1－e2)解析：由于e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ，当θ＝0时，有e1·e2＝1，否则e1·e2≠1.故B不正确．答案：B4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2 B．4C．6 D．12解析：a·b＝|a|×4cos60°＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，即|a|2－a·b－6|b|2＝－72，故|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6.答案：C5．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为______．解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＝12，又|b|＝5，∴|a|cosθ＝eq\f(12,5)，即a在b方向上的投影为eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)6．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为______．解析：由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－a2,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，所以向量a与b的夹角θ＝120°.答案：120°7．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4.即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)8．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为eq\f(π,3)，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求k.解：a·b＝|a||b|coseq\f(π,3)＝2×1×eq\f(1,2)＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以(2a＋kb)·(a＋b)＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.9．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则eq\f(|a|,|b|)＝________.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4b2)，|a－2b|＝eq\r(a2＋4b2).∴cos120°＝eq\f(a＋2b·a－2b,|a＋2b||a－2b|)＝eq\f(a2－4b2,\r(a2＋4b2)2)＝eq\f(a2－4b2,a2＋4b2)＝－eq\f(1,2).∴eq\f(a2,b2)＝eq\f(4,3).∴eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)10．若向量a与向量b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72.求：(1)|a|；(2)|a＋b|.解：(1)(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，即|a|2－2|a|－24＝0，得|a|＝6.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋2×6×4×eq\f(1,2)＋16＝76.∴|a＋b|＝2eq\r(19).11．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k＞0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b夹角为60°，求k的值．解：(1)∵|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，且|a|＝|b|＝1.即k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，∴a·b＝eq\f(k2＋1,4k).∵k2＋1≠0，∴a·b≠0，即a与b不垂直．(2)∵a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，∴a·b＝|a||b|cos60°＝eq\f(1,2).∴eq\f(k2＋1,4k)＝eq\f(1,2).∴k＝1.12.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量eq\o(MC,\s\up6(→)).(2)求eq\o(MC,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))的取值范围．解：(1)由已知可得eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))，易得OAMB是菱形，则eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)易知∠DMC＝60°，且|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|，那么只需求MC的最大值与最小值即可，当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝eq\f(\r(3),2)，则eq\o(MC,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)×cos60°＝eq\f(3,8).当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则eq\o(MC,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝cos60°＝eq\f(1,2)，所以eq\o(MC,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(1,2))).1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b