《正弦定理》设计赖启焕

《正弦定理》教学设计福州金山中学赖起焕一、教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修5第一章《解三角形》的内容,本课内容——正弦定理的探究证明和简单应用显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用又十分广泛，起到承上启下的作用。对于正弦定理，首先让学生回忆任意三角形中有“大边对大角，小边对小角的边角关系”，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引出三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很容易得到直角三角形中的正弦定理。这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。二、学情分析

知识层面：初中学生已有三角形的定性关系，在高中阶段学习了三角函数的定义、和运算的有关知识。能力层面：高中生思维活跃,求知欲旺盛,已经具有较强的概括能力，但分类讨论、数形结合的思想仍需强化。情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但合作交流有所不足。三、教学目标1.知识与技能：(1)发现正弦定理的内容，掌握证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形。2.过程与方法：(1)体会发现数学规律的思维方法与能力；(2)体会分类讨论和数形结合的思想方法。3.情感、态度与价值观：(1)体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律；(2)体会数学的应用价值，感受数学中的对称美。四、教学重点、难点教学重点：1.正弦定理的形式和证明.

2.正弦定理的运用教学难点：1.正弦定理中钝角三角形的证明2.正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数五、教学过程教学用具：希沃平台，白板，多媒体（几何画板）教学环节教学内容师生互动设计意图或备注回顾就知引导学生复习三角形中已经学习过的知识，从角与角，边与边，边与角三方面复习，为学习正弦定理做好铺垫。角的关系：三角形内角和为180˚边的关系：两边之和大于第三边，两边之和小于第三边边角关系：大角对大边，小角对小边三角函数（sincostan）请学生回答以下三个问题：1）三角形中三个角之间有什么关系呢？2）三角形中边与边之间有什么关系呢？3）三角形中边与角之间又有哪些对应关系？引出课题：定量研究三角形中边角关系回顾复习已有知识，引出课题，为解决“已知两边和其中一边的对角解三角形”问题做理论铺垫,使用PPT，和白板的批注功能。创设情境提出问题创设情境提出问题：高二（8）班的三角形模型坏了，只剩下如图所示的一部分，班长小王想要修好这个模型，他量得∠A=47˚，∠C=80˚，已知AC的长为1m,但他不知道AB，BC的长度，你能帮助他解决这个问题吗？引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．

师：角B的度数是多少呢？生：180-47-80=53师：在三角形中，我们常用的求长度的方法有哪些？生：勾股定理（直角三角形→作高→三角函数）创设贴近学生生活情境，提出问题，激发学生兴趣引出课题，使用PPT，和几何画板。解决问题引导学生作高，利用直角三角形，用两种方法表示高，列出方程，求解，同时得到a/sinA=b/sinB，引导学生继续探索。师：作CD垂直AB于D，则CD/BC=sinBCD/AC=sinA即CD=asinBCD=bsinA已知角A和B，已知b=1，我们可以列方程求得a，请同学们自己列方程，利用计算器求解。生：asinB=bsinAb=1即a=sinA/sinBa=sin47˚/sin53˚≈师：好的，我们利用高CD，求得BC的长度。那么能否求出AB的长呢？生：作高BE。作AE垂直AC于E，则BE/BC=sinCBE/AB=sinA即AE=bsinCAE=csinBbsinC=csinB即c=bsinC/sinB=sin80˚/sin53˚≈师：很好。我们再来研究一下这两个等式asinB=bsinAbsinC=csinB得到a即a在这个锐角三角形中，这个等式恒成立，但是否在任意的三角形中等式都成立呢？让我们一起来探讨一下。方案一：利用几何画板工具，改变三角形形状，直观演示不管三角形怎么变，都有上式成立；方案二：几何证明直接从解决问题入手，教师先加以引导，有指向性的引导学生，利用做高法解决实际问题，使用白板的批注功能进行讲解。引出探究课题，提出问题，引发悬念。利用几何画板工具，改变三角形形状，直观演示考察直角三角形的边角关系。考虑直角三角形请学生填写以下表格：直角三角形中证明较为简单，请学生自己动手，加以验证。使用白板的批注功能填表。三角形a/sinAb/sinBc/sinC直角三角形填空：ccc证明过程:sinA=a正弦定理及其推导钝角三角形中

作CDAB于D，有师：在锐角三角形和直角三角形中我们已经得到A都成立，那么在钝角三角形中呢？若成立，试证明。生：aaa师：在三角函数中，利用诱导公式，sinB生：相等师：那么在钝角三角形中a依然成立所以，在任意三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a这就是正弦定理将较复杂的问题转化为已经解决的问题，适当降低难度，引导学生通过自主探究、合作交流寻求问题结论和解决办法，使用白板的批注功能。

定理形成深化概念思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形？从方程的角度看问题，知三求一师：利用正弦定理，我们至少需要几个元素才能解三角形？生：三个从引入部分解决实际问题入手，学生已经体会利用正弦定理和方程思想出发．从对称的角度看正弦定理，加强学生对正弦定理的理解。考虑正弦定理的变形情况。a=ksinAb=ksinBc=ksinC正弦定理a比例系数k=？师：直角三角形中，k等于斜边的长度，同时直角三角形外接圆的直径也等于斜边，那k与三角形外界圆有关系吗？让我们来看一下这个实验。利用几何画板工具，改变R的大小，或改变三角形形状，发现k=2R师：请同学们回去自己利用三角形外接圆证明一下正弦定理，并证明k=2R是学生体会数学定理中的对称美，加强记忆和理解，探讨比例系数k值，加深问题深度，启发学生自主探索其他证明方法。此处为多媒体与数学学科的融合点，利用几何画板工具，改变R的大小，或改变三角形形状。

范例教学

（１）正弦定理可以用于解决已知两角和任意一边求另两边和一角的问题．例１：∠A=60°，∠B=45°，解：∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°由正弦定理，得b=c=（２）正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题..变式教学：a=10改为c=10例2a=3，b=4，∠A=30°，求其他边和角。解：由正弦定理得sin所以∠B≈41.8°或∠B≈138.2°当∠B≈41.8°时∠C≈180°-30°-41.8°=108.2°c=asin当∠B≈138.2°∠C≈180°-30°-138.2°=11.8°c=变式训练：1.在△ABC中，∠B=135°，a=2，b=1，求A解：（大边对大角，无解）sinA=√2>12.在△ABC中，∠A=45°，a=2，b=√2，求B解：3.在△ABC中，∠B=45°，a=2，b=√2，求A解：4.在△ABC中，∠B=45°，a=√3，b=√2，求A解：A=60°或120°解决教学难点：教师画图讲解引导学生总结：(1)已知两角一边，解三角形，解的情况唯一；(2)已知两边及一边对角，解三角形，何时有一解？两解？何时无法构成三角形？

教师利用希沃平台的白板功能进行演示讲解。师：请同学们以小组为单位，分别解决这四道变式训练题。学生完成练习后，教师利用希沃平台，将典型的几种答案拍照上传，在平台上同时对比分析学生的不同解法，并利用白板功能实时进行批注讲评，指出学生面对多解性问题时的错误。师生共同填表总结：掌握正弦定理在解三角形问题中的应用，并学会通过作图法判定解的情况．解决教学难点.教师利用希沃平台的白板功能进行演示讲解通过小组合作的方式，提高学生合作能力，共同探讨有助于学生互相学习，发现问题。教师利用希沃平台，将典型的几种答案拍照上传，在平台上同时对比分析学生的不同解法，并利用白板功能实时进行批注讲评，指出学生面对多解性问题时的错误。解决教学难点，培养学生归纳总结，分类讨论以及数形结合的能力。利用白板功能实时进行批注讲评

归纳小结（１）正弦定理：（２）正弦定理的运用师生共同总结(1)正弦定理形式(2)解决两类问题(3)结合图像解决三角形中的问题巩固知识，培养归纳总结能力。使用PPT

课后作业(1)课本练习A1、2(2)用其它方法证明正弦定理（提示：尝试利用圆内接三角形）学生课后完成.巩固知识，培养自主探究能力．六、教学反思本节课是正弦、余弦定理教学的第一街课，重点是正弦定理的探究原因如下：教学的目的不仅是传授知识与技能，更主要的是再此过程中，培养学生的能力，特别是思维能力；素材适合于学生教学“观察与分析”，“归纳与猜想”，“实验与证明”等思维能力的训练，正弦定理的探究包含利用向量方法证明定理。缺点是，课堂思维容量大，教学进度受学生的思维水平的影响；教学中容易出现突发事件影响教学进度；故要求教师灵活处理随机事件的能力高，在组织教学中，采取“让学生走上讲台”、“让学生自学课本”、“师生、生生讨论”等模式，