《抛物线》试卷 全省一等奖

《抛物线》试卷一、抛物线（A）1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4[答案]D2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________．[答案]－eq\f(1,8)3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|P1F|＋|P2F|＝|FPB．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3C．2|P2F|＝|P1F|＋|PD．|P2F|2＝|P1F|·|P[答案]C4．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为()A．45° B．60°C．90° D．120°[答案]C5．抛物线y＝－x2上的点，到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()\f(4,3)\f(7,5)\f(8,5)D．3[答案]A6．已知A、B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是()A．x－p＝0 B．4x－3p＝0C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0[答案]C7．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[解析]如图所示，依题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋eq\f(1,2)p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p,y2＝2px))，消去y得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.二、抛物线（B）1．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq\o(FA,\s\up16(→))＋eq\o(FB,\s\up16(→))＋eq\o(FC,\s\up16(→))＝0，则|eq\o(FA,\s\up16(→))|＋|eq\o(FB,\s\up16(→))|＋|eq\o(FC,\s\up16(→))|等于()A．9B．6C．4D．3[答案]B2．如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。（I）设；则得：点关于轴对称（lfxlby）代入抛物线的方程得：抛物线的方程为（II）设；则过点的切线方程为即令设满足：及得：对均成立以为直径的圆恒过轴上定点3．已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求直线的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，-y1），的方程为x=my-1（m≠0）（Ⅰ）将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0从而y1+y2=4m，y1y2=1直线BD的方程为：y-y2=即y-y2=令y=0，得x=所以点F（1，0）在直线BD上。（Ⅱ）由①知：x1+x2=（my1-1）（my2-1）=4m2-2x1x2=（my1-1）（my2-1）=1因为=（x1-1，y1），=（x