《曲线与方程》试卷 省赛一等奖

《曲线与方程》试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1\f(x2,81)＋eq\f(y2,9)＝1\f(x2,81)＋eq\f(y2,45)＝1\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)＝12．平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)5．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是()A．(±eq\r(3)，0)B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(5)，0)D．(0，±eq\r(5))6．设椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m2－1)＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为()\f(\r(2),2)\f(1,2)\f(\r(2)－1,2)\f(3,4)7．已知双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2mB．4C．a＋mD．2a＋8．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()\f(12,5)\f(6,5)C．2\f(\r(5),5)9．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为()A．－2B．0C．－2或0D．－2或210．从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为()A．5eq\r(6)B．6eq\r(5)C．10eq\r(2)D．5eq\r(2)11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于()A．2或－1B．－1C．2D．1±eq\r(5)12．设F1、F2分别是双曲线eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于()A．3B．6C．1题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k＝________.15．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(p,0)的直线与抛物线交于A、B两点，则·＝________.16．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，并且离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线方程．18．(12分)已知斜率为1的直线l过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．19.(12分)已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．20．(12分)已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)．21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于eq\f(\r(5),5)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点，离心率为eq\f(2\r(5),5).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．曲线与方程1．A[2a＝18，∵∴2c＝eq\f(1,3)×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝a2－c2＝72，故椭圆的方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1.]2．B[点P在线段AB上时|PA|＋|PB|是定值，但点P轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.]3．D4．D[P在以MN为直径的圆上．]5．A6．B[2a＝3＋1＝4.∴a又∵c＝eq\r(m2－m2－1)＝1，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).]7．B[∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋8．A[如图所示过点F作FM垂直于直线3x－4y＋9＝0，当P点为直线FM与抛物线的交点时，d1＋d2最小值为eq\f(|3＋9|,5)＝eq\f(12,5).]9．B[由题意B为抛物线的焦点．令A的横坐标为x0，则|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.]10．A11．C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,y2＝8x))消去y得，k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)>0，解得k>－1，由x1＋x2＝eq\f(4k＋2,k2)＝4，解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2.]12．B[因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，则|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝|F1F2|2＝4c2＝36，故|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝36，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝6.故选B.]\f(\r(2),2)或eq\r(2)－1解析设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(b2＋c2))＝eq\f(c,\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2)；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋eq\r(2))m，所以，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(m,1＋\r(2)m)＝eq\r(2)－1.\r(3)解析设直线l为抛物线的准线，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，由eq\o(AF,\s\up6(→))＝3，∴cos∠BAE＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,2)，∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝eq\r(3).即k＝eq\r(3).15．－p216．2解析设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.17．解由椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝eq\r(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1))＝eq\r(5)，∴焦点是F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(5),c2＝a2＋b2,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1))，故所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.18．解设A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．由椭圆的方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴F(eq\r(3)，0)．直线l的方程为y＝x－eq\r(3).①将①代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，化简整理得5x2－8eq\r(3)x＋8＝0，∴x1＋x2＝eq\f(8\r(3),5)，x1x2＝eq\f(8,5)，∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋1)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),5)))2－4×\f(8,5))＝eq\f(8,5).19．解设动点M的坐标为(x，y)．设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，∴tanα＝tan2β，则tanα＝eq\f(2tanβ,1－tan2β).①(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tanβ＝eq\f(y,x＋1)，tanα＝eq\f(y,2－x)，将其代入①式并整理得3x2－y2＝3(x>0，y>0)；(2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，tanβ＝eq\f(－y,x＋1)，tanα＝eq\f(－y,2－x)，将其代入①式并整理得3x2－y2＝3(x>0，y<0)；(3)当点M在x轴上时，若满足α＝2β，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)，只能有α＝β＝0.综上所述，可知点M的轨迹方程为3x2－y2＝3(右支)或y＝0(－1<x<2)．20．(1)解∵A(0，－2)，B(0,4)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x,4－y)．则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝x2＋y2－2y－8.∴y2－8＝x2＋y2－2y－8，∴x2＝2y.(2)证明将y＝x＋2代入x2＝2y，得x2＝2(x＋2)，即x2－2x－4＝0，且Δ＝4＋16>0，设C、D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有x1＋x2＝2，x1x2＝－4.而y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4，∴kOC·kOD＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－1，∴OC⊥OD.21．解(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋t，,y2＝4x))得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).另一方面，由直线OA到l的距离d＝eq\f(\r(5),5)可得eq\f(|t|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))，解得t＝±1.因为－1∉[－eq\f(1,2)，＋∞)，1∈[－eq\f(1,2)，＋∞)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.22．解(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,