逻辑学课程课件第三章判断

(逻辑学课程课件）第三章判断二、判断的真实性、准确性和恰当性1.判断的真实性问题真判断假判断

判断有真假之分，凡如实地、按照客观事物本来面目反映的，就是真实的判断，或叫做真判断。

凡歪曲地、不按照客观事物本来面目反映的，就是虚假的判断，或叫做假判断。2.判断的准确性问题判断的准确性表现在质、量、关系等各个方面。例如：一切事物必定都是运动发展的。量质这里“一切”，在量上非常准确。这里“必定”，在质上非常准确。例如：只有当月球运行在地球与太阳中间并且三者成一条直线时，地球上才能发生日蚀现象。关系这里“只有当时”，而不是一般的“当时”，在条件与推断的关系上非常准确。所谓准确不准确，是针对具体问题来讲的。例如：你回答说“中国队战胜了美国队。”如果是问：“中美两队谁胜了？”那么准确。如果是问：“中国队胜负如何？”那么不准确。3.判断的恰当性问题其一，用来反映、认识客观现实事物的判断，其恰当性要求真实而准确。

例：任何事物都是发展变化的。其二，针对具体目的、为解决具体任务而运用的判断，它的恰当性不一定要求真实，更不一定要求准确。

例：人是动物。三、判断、语句和命题1.判断与语句判断语句相互联系相互区别判断和其他思维形式一样，也必须依存于语言材料。“语言是思维的直接现实”（马克思）思想“只有要语言材料的基础上，在语言的术语地基础上才能产生和存在”（斯大林）判断离不开语句，必须用语句来表达。但两者不可混淆，判断是思想，语句是表达思想的语言材料。它们的区别在于，二者不是一一对应的。具体来说，这种不对应性表现在：第一，并非所有的语句都表达判断。语句直陈句疑问句祈使句感叹句反问句一般说来，陈述句、反问句表达判断。疑问句、祈使句和感叹句一般不直接表达判断。而那些具有疑问、祈使、感叹等形式，而实质上是有所断定，并且是或真或假的句子是判断。第二，同一语句可以表达不同的判断。语句歧义语句无歧义语句

歧义语句在不同的语境下可以表达不同的判断。自然语言中的语句，不少是歧义语句。因为A.语言中有多义词；B.用语含混；C.标点符号不明确；D.句式结构本身不确定。

例如：A.那是白头翁。

（老人？鸟？植物？）B.（1）这是一个现代派画家的画展。

（可以理解为：这个画展是由某一个现代派画家举办的；也可以理解为：这个画展是由现代派（而不是其他流派）画家举办的。

（2）故事：三考生赴京赶考，遇一算命先生，问其未来情况。算命先生伸出一手指。

C.（1）下雨天留客天天留我不留。

（2）父在母先亡。

（3）人多病少财富。

D.这个工人的作品很好。第三，同一判断可以用不同的语句来表达。例如：“所有的结果都是有原因的”，“没有无因之果”，“难道会有无因之果吗？”表达的就是同一判断。

“对立统一规律”和“事物的矛盾法则”。

再如：甲与乙对弈，甲赢，也可表述为，没有和棋，甲也没输，乙也没赢。A.语种不一可以表达同一判断；B.句式不一可以表达同一判断；C.措词不一可以表达同一判断。2.命题有的语句是表达判断的，有的语句不是表达判断的。表达判断的语句称为命题。命题的基本特征是有真假。任何命题，或者真，或者假，但不能既真又假。命题的真、假二值，统称为命题的真值。真命题的真值为真，假命题的真值为假。例如：“今天是星期几？”这是疑问句而不表达判断，它不是命题。“今天是星期二。”这是一个命题。四、判断的种类判断非模态判断模态判断简单判断复合判断性质判断（直言判断）关系判断联言判断选言判断假言判断负判断第二节性质判断（直言判断）原子命题复合命题原子命题是不包含和自身不同的命题。复合命题在一般意义上是指包含和自身不同命题的命题。复合命题所包含的与自身不同的命题，称为它的支命题。例如：（1）小张今天感冒了。（2）小张昨天去八一湖冬泳过。（3）小张今天感冒了，因为他昨天去八一湖冬泳过。（4）小张今天感冒了并且昨天去八一湖冬泳过。其中，句（1）、（2）是原子命题。句（3）、（4）都包含句（1）、（2）作为自身的支命题，因而都是一般意义上的复合命题。但句（3）和句（4）有着重要的区别：句（3）的真值并不是由它的支命题的真值完全地、惟一地确定的，例如，在句（1）、句（2）都真的情况下，句（3）可能真，也可能假；句（4）的真值则完全地是由它的支命题的真值惟一确定的，例如，句（1）、句（2）都真，则句（4）真；句（1）真而句（2）假，则句（4）假，等等。命题逻辑不研究句（3）而研究句（4）这样的复合命题。在命题逻辑中，复合命题是指这样的命题：第一，它包含与自身不同的命题作为支命题；第二，它的真值由其支命题的真值惟一地确定。显然，句（4）是命题逻辑意义上的复合命题，句（3）则不是。

复合命题的支命题，仍然可以是复合命题，但最终复合命题总是由原子命题依据一定的逻辑关系构成的。表达这类逻辑关系的语词，称作联结词。日常语言中常用的联结词有“并且”、“或者”、“如果……那么……”、“只有……才……”、“并非”等。

因此，也可以说，复合命题是由原子命题和联结词构成的。一、什么是性质判断简单判断性质判断性质判断构成不包含其他判断的判断断定思维对象具有或不具有某种性质的判断主项谓项联项量项表示被断定的思维对象的部分，逻辑学上通常用“S”表示。表示思维对象具有或不具有的性质的部分，逻辑学上通常用“P”表示。表示有所肯定或否定的部分，汉语中，“是”表示肯定联项，“不是”表示否定联项。表示主项所断定的对象的数量的部分。例句：一切事物都是运动、变化、发展的。二、性质判断的种类根据直言判断的质肯定判断性质判断的联项所表示的主、谓项之间的关系，叫做【性质判断的质】。否定判断断定思维对象具有某种性质的判断。断定思维对象不具有某种性质的判断。根据直言判断的量全称判断特称判断单称判断SP某个有所有是不是

任何性质判断都有质和量两个方面，因此，结合质和量两个方面，性质判断可分为6种。

由于单称肯定判断和单称否定判断的主项是一个单独概念，其外延是一，即全部，因而传统逻辑的性质判断只有4种：A（SAP）、E（SEP）、I（SIP）、O（SOP）。

注：字母A是拉丁文中Affirmo这个词的第一个元音字母，这个词作肯定讲。字母E是拉丁文中Nego这个词的第一个元音字母e的大写，这个词作否定讲。I是Affirmo一词的第二个元音字母i的大写，O是Nego一词第二个元音字母o的大写。三、A、E、I、O之间的真假关系

性质判断间存在着一种真假制约关系，即：一个判断的真或假决定着另一个判断的真或假。我们探讨的性质判断是具有相同素材的性质判断。【相同素材（同一素材）】指的是这样的情况：各个性质判断，它们或在质上不同，或在量上不同，或在质和量两个方面都不同，但它们的主项彼此相同，谓项彼此相同。S与P在A、E、I、O四种判断中的关系（1）A判断中S与P的关系SP同一关系SP真包含于关系（2）E判断中S与P的关系SP不相容关系（3）I判断中S与P的关系交叉关系PS真包含关系（4）O判断中S与P的关系SP

综上所述，A、E、I、O四种判断形式中S与P之间的关系不外乎图一至五所示。换言之，只有符合上图所示的各种关系时，各种判断相应来说才是真的，否则就是假的。下表指明了S与P之间的真假情况：ATTFFFEFFFFTITTTTFOFFTTTSPPSSPSPSP

上述关系又叫“对当关系”，可用一方形图表示，亦称“逻辑方阵”（logicalsqure）。AEOI反对关系下反对关系差等关系差等关系矛矛盾盾四、A、E、I、O的主项与谓项的周延问题

周延问题在逻辑学中是一个比较重要的问题，因为它一方面和准确地运用性质判断有关，一方面和三段论推理有关。具体谈一下什么叫做周延？什么叫做不周延？

（1）在一个性质判断中，如果它的主项（或谓项）的全部外延被确定，那么，这个性质判断的主项（或谓项）就是周延的；

（2）如果它的主项（或谓项）被有所断定，但并没被断定全部外延，则这个主项（或谓项）就是不周延的。

以下分别对A、E、I、O四种判断的主项、谓项周延情况作出说明：SPA周延不周延E周延周延I不周延不周延O不周延周延注意事项：（1）周延问题只属性质判断中的问题，非性质判断没有周延和不周延问题；（2）周延问题主要涉及性质判断的主、谓项，任何概念如果不充当性质判断的主谓项，也无所谓周延和不周延问题；（3）周延问题只是就判断的逻辑形式而言，它表现了判断形式本身对主、谓项的外延所做的断定情况，与事实情况是无关的。第三节关系判断一、什么是关系判断关系判断是断定对象之间具有或不具有某种关系的判断。例句：（1）北宋毕升发明的活版印刷术比欧洲的早四百年；（2）金星介于水星和地球之间；（3）2加1，再乘以3，等于9。二、关系判断的组成关系判断关系关系项关系量项是表示思维对象间所具有的某种关系的部分，逻辑学上常用“R”表示。是表示具有某种关系的思维对象的部分，逻辑学上一般以a、b、c……等表示。关系判断中关系项可以是2个，也可以是3个或3个以上。是表示关系项所代表的思维对象的数量部分。有“某个”、“有些”、“所有”等标志。

一个由两个关系项构成的关系判断，其逻辑形式可表示为：R（a，b）或aRb

读作“a与b具有R关系”。

如果要表示a与b不具有R关系，就在“R”的上方加“─”，即：__R（a，b）或aRb

读作“a与b不具有R关系”。【性质判断】与【关系判断】

有些判断（如性质判断）在语言形式上和关系判断很相像，但实际上它们不是关系判断：

如：（1）甲和乙相互指责；

（2）甲和乙都是学生。

（1）是关系判断，（2）不是。（2）可以分解成“甲是学生”和“乙是学生”两个判断，（1）却不能分解成两个判断。一般来说，我们区分像用“和”、“与”等联结词联结两个主项而构成的判断是不是关系判断时，我们就分析它是否能分解成两个意义完整的判断，能分解的，不是关系判断，不能分解的才是关系判断。

在传统的、古典的形式逻辑中是不研究关系判断的。在传统的形式逻辑中，把所有的关系判断都处理成直言判断，就是把所有的关系判断都“化归”或“还原”为性质判断。“化归”的方法就是把两项关系的关系项前项作为主项，把后项及关系作为谓项，然后加联结词“是”而构成性质判断。

如：长江长于黄河。→长江是长于黄河的。

这样存在一定的缺陷。三、关系的逻辑性质二元关系的若干性质对称性传递性自返性对称关系反对称关系（非对称关系）不定对称关系传递关系反传递关系（非传递关系）不定传递关系自返关系反自返关系（非自返关系）不定自返关系对称性对称关系反对称关系不定对称关系（非对称关系）设R为一二元关系。如果∀x∀y（R（x，y）→R（y，x）)（即对任意对象x和y而言，如果x和y有关系R，则y和x有关系R），则称R为对称关系。例如“婚姻”就是一种对称关系。例如：

（1）1米=100厘米。→100厘米=1米；

（2）老张和老李是同学。→老李和老张是同学。设R为一二元关系。如果∀x∀y（R（x，y）→┐R（y，x）)（即对任意对象x和y而言，如果x和y有关系R，则y和x没有关系R），则称R为反对称关系。例如“大于”就是一种反对称关系。例如：（1）7>2；

（2）长江比黄河长；

（3）新生事物战胜旧事物。→旧事物不战胜新生事物。设R为一二元关系。如果∀x∀y（R（x，y）→（◊R（y，x）˄◊R（y，x）))（即对任意对象x和y而言，如果x和y有关系R，则y和x可能有关系R，也可能没有关系R。“◊”读作“可能”，是一种模态算子，详见“模态逻辑”），则称R为不定对称关系（或非对称关系)。例如“尊敬”就是一种不定对称关系。例如：（1）小王认识张老师；

（2）小王喜欢小李。传递性传递关系反传递关系不定传递关系（非传递关系）设R为一二元关系。如果∀x∀y∀z（（R（x，y）˄R（y，z）)→R（x，z）)（即对任意对象x、y、z而言，如果x和y有关系R，y和z有关系R，则x和z有关系R），则称R为传递关系。例如“大于”就是一种传递关系。例如：

（1）100大于90，90大于80，则100大于80；

（2）设R为一二元关系。如果∀x∀y∀z（（R（x，y）˄R（y，z）)→┐R（x，z）)（即对任意对象x、y、z而言，如果x和y有关系R，y和z有关系R，则x和z没有关系R），则称R为反传递关系。例如“年长一岁”就是一种反传递关系。例如：

（1）甲是乙的父亲，乙是丙的父亲，那么，甲就决不是丙的父亲。（而是丙的爷爷）设R为一二元关系。如果∀x∀y∀z（（R（x，y）˄R（y，z）)→（◊R（x，z）)˄（◊┐R（x，z）））（即对任意对象x、y、z而言，如果x和y有关系R，y和z有关系R，则x和z可能有关系R，也可能没有关系R），则称R为不定传递关系（或非传递关系）。例如“尊敬”就是一种不定传递关系。例如：

（1）甲认识乙，乙认识丙，则甲可能认识丙，也可能不认识丙；自返性自返关系反自返关系不定自返关系（非自返关系）设R为一二元关系。如果∀xR（x，x）（即对任一对象而言，该对象与自身具有关系R），则称R为自返关系。例如“相同”就是一种自返关系。例如：

（1）；

（2）设R为一二元关系。如果∀x┐R（x，x）（即对任一对象而言，该对象不与自身具有关系R），则称R为反自返关系。例如“大于”就是一种反自返关系。例如：

（1）；

（2）设R为一二元关系。如果∃xR（x，x）˄∃y┐R（y，y）（即存在对象x，x与自身具有关系R，并且存在对象y，y不与自身具有关系R），则称R为不定自返关系（或非自返关系。例如“自信”就是一种不定自返关系。例如：

（1）有人自信，有人不自信；

（2）第四节联言判断

我们下面要讲的都属于复合判断，即是由其他判断构成的判断，或者说，是可以分解成其他判断的判断。构成复合判断的其他判断，叫做【肢判断】。

具体说来，复合判断具有以下几个特征：一、什么是联言判断【联言判断】是断定若干思维对象情况同时存在的判断。它的结构必须包含若干个反映事物情况的判断以及表达联结关系的联言联结词。

例句：

（1）世界是多样的又是统一的；

（2）红了樱桃，绿了芭蕉。二、联言判断的组成联言判断联言肢联言联结词就是联言判断的肢判断，就是组成联言判断的其他判断，即每一个反映事物情况的判断。从量上说，联言肢最少是两个，但也可以是三个、四个，许多个。联言判断的联言肢一般是性质判断，但也可以是关系判断，也可以在一个联言判断中既包含性质判断，又包含关系判断。例句：黄河位于长江以北，是我国灿烂的古代文明的发祥地。关系判断性质判断就是表达联接关系的词项。汉语里有“和”、“并且”，“不但……而且……”、“既……又……”、“不仅……还……”等等。联言判断的逻辑形式是：p并且q

符号表达式：p˄q（˄读作“合取”）但是有“和”“与”等词不一定就是联言判断：如：“小王和小李是好朋友”就不是联言判断。三、联言判断的值和它的真值表任何判断都或是真的，或是假的，这是判断的特点。一个判断是真的，就说它有真值；一个判断是假的，就说明它有假值。复合判断是由肢判断构成的，所以，肢判断的真假便间接地决定了复合判断的真假。把这种真假制约关系列成一个表，这个表就叫做真值表。所以，可以说，【真值表】（TruthTable）就是表示肢判断和由它们构成的复合判断之间的真假制约关系的表格，或者说图表。联言判断的真值表pqp˄qTTTTFFFTFFFF注意几个问题：第一，它只断定几种情况同时存在，没有考虑其他关系，因此，它不涉及联言肢的先后秩序问题。第二，在一定语境中，要想使联言判断运用适当，就要考虑其他关系。例句：（1）出席会议的有XX、XX同志；（2）我们已取得了胜利，并且还将取得更大的胜利。第三，保留肢判断原型的方式。例如：今天比昨天好，而明天比今天更好。第四，压缩肢判断的方式。（1）直言判断联言肢的主项压缩在一起。例：这小子既坏又贪（s是p1和p2）。（2）直言判断的谓项压缩在一起。例：不论是青年、中年还是老年人，都应当努力学习（s1和s2是p）。第五节选言判断一、什么是选言判断【选言判断】是断定若干思维对象情况中至少有一种可能情况存在的判断。

它的结构必须包含两个部分：一是若干个反映可能情况的判断；二是表达可能为真这样一种关系的选言联结词。

例句：

（1）；

（2）。二、选言判断的组成选言判断选言肢选言联结词就是选言判断中反映可能情况的判断，它是组成选言判断的部分，是组成选言判断的肢判断选言肢最少两个，也可以是许多个。例句：。就是表达可能为真这样一种关系的词项。汉语中用“或”、“要么……要么……”、“不是……就是……”、“是……还是……”等等来表示。选言联结词有两种：一种我们以“或”为代表，以符号“˅”表示（读作“析取”）；另一种以“要么……要么……”为代表，以符号“ṽ”表示（读作“不相容析取”）。因此符号表达式：p˅qpṽq三、选言判断的种类1.相容的选言判断【相容的选言判断】就是断定思维对象的几种可能情况至少有一种是存在的，并且可以同时存在的判断；或说，是选言肢可以同时为真的选言判断。相容的选言判断的真假是由其选言肢的真假来确定的。可以把相容选言判断和它的肢判断之间的真假关系列成真值表，或者说，把相容选言判断的真假和它的选言肢的真值之间的关系列成真值表。此表表明：相容选言判断的选言肢都真，则选言判断真；选言肢中有一个真，选言判断也真；只有当选言肢都假时，选言判断才假。

相容选言判断的真值表pqp˅qTTTTFTFTTFFF2.不相容的选言判断【不相容的选言判断】就是断定思维对象的几种可能情况至少有一种是存在的，并且只有一种情况存在的判断；也可以说，就是含有不相容的选言肢的判断。不相容的选言判断的真假是由其选言肢的真假来确定的。不相容的选言判断有一个肢真，则真；两个肢都真，或两个肢都假，则假。

不相容选言判断的真值表pqpṽqTTFTFTFTTFFF四、选言判断选言肢的穷尽问题一个选言判断的选言肢穷尽问题是指这个选言判断的选言肢包括了所有可能的情况；一个选言判断的选言肢不穷尽是指这个选言判断的选言肢没有包括所有的可能情况。所谓穷尽是指一定范围内的穷尽，一定标准下的穷尽。选言肢穷尽的选言判断才是真的选言判断。而选言肢不穷尽的选言判断就不必然真，因为选言肢不穷尽，就可能恰好漏掉真的肢判断，从而使选言判断选不出真的肢判断。选言肢不穷尽的选言判断不必然真，但可能真。例如：（1）这场足球赛，或者甲队赢，或者乙队赢，或者两队踢平；（穷尽）（2）天体或是行星，或是恒星。（不穷尽，因为还有卫星、彗星、流星、星云物质等等。）注意几个问题：（1）日常生活中，断定p˅q时，一般总是不能断定p和q两种可能中的任一种，如p和q中一个已被断定，人们不再做“p或q”这样的断定；（2）日常生活中两件毫不相干的事，一般也不会用“或”联接。如：我们不会说：2+2=4或者北京是大城市。另如：“伸出你的舌头或空空荡荡”。第六节假言判断一、什么是假言判断【假言判断】是断定思维对象情况之间的条件联系的判断。假言判断的结构必须包含两个部分：一是反映对象情况的判断；二是表达条件和情况间制约关系的假言联结词二、条件联系客观世界中，事物之间存在着各种各样的联系。一个情况出现导致另一情况出现，这也是一种联系。这种联系以不同的方式存在于其他联系之中，所以说，这种联系是其他许多种联系和一个共性。这种联系，我们把它叫做【条件联系】。能导致其他情况出现的现象叫做【条件】，由条件导致的现象叫做【后果】。在假言判断中，反映能导出其他现象的现象，即反映条件的，叫做【前件】，反映由条件导出的现象，即反映后果的，叫做【后件】。形式逻辑主要涉及充分条件、必要条件和充分必要条件这三种联系。三、假言判断的种类1.充分条件假言判断什么是充分条件？某条件出现就必然导致某后果；某条件不出现，后果的情况不定，可能出现，也可能不出现，这样的条件就叫做【充分条件】。或，如果情况p出现，情况q也就出现；p不出现，q不定，q可能出现，也可能不出现，这样，p就是q的充分条件。【充分条件的假言判断】是前件为充分条件的假言判断。充分条件的假言判断的逻辑形式以下列形式为代表：如果p，那么q符号表达式：p→q（其中，p，q分别称作“前件”、“后件”，“→”读作“蕴涵”。）注：多条件联系【多条件联系】就是许多条件当中的任何一个都可单独导致某一相同后果的条件联系。充分条件假言判断就是客观上的多条件联系的概括，它的前件p就是多条件之一。prqs…充分条件假言判断的真值表pqp→qTTTTFFFTTFFT2.必要条件假言判断什么是必要条件？某条件不出现就一定不能导致某后果；而某条件出现，后果的情况不定，可能出现，也可能不出现，这样的条件就叫做【必要条件】。或，如果情况p不出现，情况q也就不出现；而如果p出现，q则不定，可能出现，也可能不出现，这样，p就是q的必要条件。必要条件的假言判断的逻辑形式是：只有p，才q符号表达式：p←q（“←”读作“逆蕴涵”。）注：复条件联系复合条件联系简称复条件联系。【复条件联系】就是许多个条件联合起来才能导致后果的条件联系。或者说，A，B，C，D，E都是客观对象情况，A，B，C，D必须联合起来，才能导致E，缺少其中任何一个都不能导致E。必要条件假言判断就是客观上复条件联系的概括。（p˄r˄s）→q例：只有水分充足适量，小麦才长得好。必要条件假言判断的真值表pqp←qTTTTFTFTFFFT3.充分必要条件假言判断某条件出现，就导致某后果；而某条件不出现，就不能导致这个后果，这样的条件就叫做【充分必要条件】。或者说，如果p出现，q也就出现；而如果p不出现，q也就不出现，p就是q的充分必要条件。在汉语里，以“当，且仅当”为代表（英文ifandonlyif）用以表示充要条件假言联结词。充要条件的假言判断的逻辑形式是：当，且仅当p，则q符号表达式：p↔q（“↔”读作“等值”。）表示充要条件假言联结词的还有：“如果，而且只有，才”、“有，而且只有，才”等。注：一条件联系【一条件联系】一个现象可以同时分别地导致多个并列的后继现象，而这多个并列的后继现象又恰是同一事物的不同表现方面。或者说，A，B，C，D，E都是客观对象情况，如果A同时既导致B，又可导致C，又可导致D，又可导致E，而B、C、D、E又是同一事物的不同表现方面，那么，A与B、C、D、E的联系就叫做一条件联系。例：三角形的三边相等→导致三内角相等、三等高、三中线相等等。充要条件假言判断的真值表pqp↔qTTTTFFFTFFFT第七节负判断一、什么是负判断？【负判断】是由否定一个判断而构成的判断。负判断的逻辑形式是：并非p我们可将“并非”用符号“┐”表示（“┐”读作“非”），因此上述形式也可写作：┐p负判断的肢判断既可以是一个简单判断，也可以是一个复合判断，还可以是更复杂的复合判断。例如：（1）并非所有的s是p；┐（SAP）或┐A

（2）并非（p并且q）；┐（p˄q）

（3）并非(（p并非q）或者（并非p并且并非q）)。┐（(p˄q)˅(┐p˄┐q)）一个负判断的真假是由其肢判断的真假来确定的。由于负判断是对它肢判断的否定，所以负判断与其肢判断的真假值正好相反。负判断的真值表p┐pTFFT需要注意的是：（1）负判断是复合判断的特殊形式。复合判断是由其他判断构成的判断。而负判断正是由一个否定词和一个判断构成，同时，它又不像其他复合判断那样是由逻辑联结词联结两个或两个以上判断所构成，而是由逻辑联结词（即否定词）结合一个判断而构成，所以，它又是复合判断的特殊形式。（2）负判断不同于直言判断中的否定判断，否定的直言判断是判断思维对象不具有某种性质，而负判断是对某个判断的否定。二、与负判断具有等值关系的判断1.我们已经学过的部分判断的负判断（1）并非所有的s是p；即：┐A（2）并非所有的s不是p；即：┐E（3）并非有些s是p；即：┐I（4）并非有些s不是p；即：┐O（5）并非p并且q；即┐（p˄q）（6）并非p或者q；即┐（p˅q）（7）并非p要么q；即┐（pṽq）（8）并非如果p则q；即┐（p→q）（9）并非只有p才q；即┐（p←q）（10）并非p当且仅当q；即┐（p↔q）2.负判断的等值判断每一个负判断都有一个和它等值的判断。【两个判断等值】就是说这两个判断的真假值相等，它们真则同真，假则同假，也就是说，它们所表达的真假值相同。逻辑上，用“↔”表示判断间的等值关系。（有的书上用“≡”表示“等值于”。）（1）┐A↔O例：“并非所有的行星都有卫星”（┐A）↔“有些行星没有卫星”（O）（2）┐E↔I例：“并非所有的科学家都不是自学成才的”（┐E）↔“有些科学家是自学成才的”（I）（3）┐I↔E例：“并非有氢是氧族元素”（┐I）↔“所有的氢都不是氧族元素”（E）（4）┐O↔A例：“并非有的事物不是运动的”（┐O）↔“所有的事物都是运动的”（A）（5）┐（p˄q）↔┐p˅┐q（德摩根律之一）例：“并非他聪明又能干”（┐（p˄q））↔“他不聪明或者不能干”（

┐p˅┐q）（6）┐（p˅q）↔（┐p˄┐q）（德摩根律之二）例：“并非今天是星期一或星期二”（┐（p˅q））↔“今天既不是星期一，也不是星期二”（┐p˄┐q）（7）┐（pṽq）↔（（p˄q）˅（┐p˄┐q））例：“并非武松打死老虎要么老虎吃掉武松”（┐（pṽq））↔“武松打死老虎并且老虎吃掉武松，或者武松没有打死老虎并且老虎没有吃掉武松”（（p˄q）˅（┐p˄┐q））（8）┐（p→q）↔（p˄┐q）例：“并非受灾就要减产”（┐（p→q））↔“受灾而不减产”（p˄┐q）（9）┐（p←q）↔（┐p˄q）例：①“并非只有女同志才下厨房”（┐（p←q））↔“不是女同志但下厨房”（┐p˄q）②“并非只有天才才能发明创造”（┐（p←q））↔“不是天才，也能发明创造”（┐p˄q）（10）┐（p↔q）↔（（p˄┐q）˅（┐p˄q））例：①“并非一个整数的末位数是0当仅且当它能被5整除”（┐（p↔q））↔“一个整数的末位数是0但它不能被5整除，或者一个整数末位数不是0但它能被5整除”（（p˄┐q）˅（┐p˄q））②“并非只要而且只有风调雨顺才能增产”（┐（p↔q））↔“风调雨顺但没有增产，或者没有风调雨顺但也增了产”（（p˄┐q）˅（┐p˄q））第八节多重复合判断一、什么是多重复合判断【多重复合判断】就是以复合判断作为肢判断的判断。我们学过的一些复合判断的联结词有：“并且”（˄）、“或者”（˅）、“要么”（ṽ）、“如果……那么……”（→）、“只有……才……”（←）、“当且仅当”（↔）、“并非”（┐）。“多层次”是指：（1）至少含有两个联结词；（2）如果所含的联结词都相同，必须有括号标明判断的联结次序；如果所含的联结词不相同，也必须有括号标明肢判断的联结次序；（3）如果没有括号，则按下述结合力由强到弱的顺序，来确定肢判断的联合次序。结合力程度强弱联结词类型┐，˄，˅，ṽ，→（←），↔二、常见的几种多重复合判断1.以联言判断为前件或后件的充分条件假言判断（1）以联言判断为前件的充分条件假言判断

其逻辑形式为：p1˄p2→q例句：如果加强物质文明和精神文明建设，就有利于社会的安定团结。

（2）以联言判断为后件的充分条件假言判断

其逻辑形式为：p

→q1˄q2例句：如果党风端正了，那么就能调动党员的积极性并且有助于社会风气的好转。（3）以联言判断为前件、后件的充分条件假言判断

其逻辑形式为：p1˄p2

→q1˄q2例句：如果强加党的领导并且调动广大知识分子的积极性，那么，科学文化事业就会兴旺并且将取得前所未有的成就。2.以选言判断为前件或后件的充分条件假言判断（1）以选言判断为前件的充分条件假言判断

其逻辑形式为：p1˅p2→q例句：

（2）以选言判断为后件的充分条件假言判断

其逻辑形式为：p

→q1˅q2例句：（3）以选言判断为前件、后件的充分条件假言判断

其逻辑形式为：p1˅p2

→q1˅q2例句：3.以联言判断为前件或后件的必要条件假言判断（1）以联言判断为前件的必要条件假言判断

其逻辑形式为：p1˄p2←q例句：

（2）以联言判断为后件的必要条件假言判断

其逻辑形式为：p

←q1˄q2例句：（3）以联言判断为前件、后件的必要条件假言判断

其逻辑形式为：p1˄p2

←q1˄q2例句：三、多重复合判断真值的确定日常思维中的命题推理，并不都是以联言、选言或假言这几种基本类型的命题推理的单纯形式出现的，而往往是以它们的综合形式出现的，也就是说，是以一般命题推理的形式出现的。例如：如果地球围绕太阳公转，但是并不围绕自己的轴线自转，那么地球上就没有白天和黑夜，因为事实是地球上有白天和黑夜，所以，或者地球并不公转，或者地球既公转又自转。这就是一般命题推理。判定这样的推理的有效性，光依据前面给出的那些规则显然是有困难的。一般命题推理的判定，包括两个步骤：第一，写出所要判定的倒是命题推理的真值形式。方法是：先分别写出各前提和结论的真值形式；用“˄”号将各前提的真值形式联结起来；用“→”号将前提的合取式和结论联结起来。所得的蕴涵式即为所要判定的命题推理的真值形式。第二，寻求一些方法来判定命题推理的蕴涵式是否为重言式。下面介绍判定命题推理的几种基本方法：它们是：真值表方法、归谬赋值法、范式方法和自然推理方法。1.真值表方法真值表可以判定任一真值形式是否为重言式，或矛盾式，或可真式，因此，自然也可以判定任一命题推理的蕴涵式是否为重言式。下面举例说明如何运用真值表方法来判定命题推理。【例1】下面两个推理是否有效：（1）或者甲是罪犯，或者乙是罪犯。已查明甲是罪犯。所以，乙不是罪犯。（2）或者甲是罪犯，或者乙是罪犯。已查明甲不是罪犯。所以，乙是罪犯。解：令p表示“甲是罪犯”，q表示“乙是罪犯，则推理（1）的真值形式是(（p˅q）˄p)→┐q；推理（2）的真值形式是(（p˅q）˄┐p)→q。构成它们的真值表如下：pq(（p˅q）˄p)→┐q(（p˅q）˄┐p)→q1101101101110011上述真值表说明，推理（2）的真值形式为重言式，因此，推理有效。推理（1）的真值形式不是重言式，因此，推理无效。【例2】用真值表判定下述推理：或者逻辑难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么学数学并不太容易。解：令p表示“逻辑难学”，q表示“许多学生喜欢逻辑”，r表示“数学容易学”。则该推理的真值形式是：(（p˅┐q）˄（r→┐p)）→（q→┐r）。构选它的真值表如下：pqr(（p˅┐q）˄（r→┐p)）→（q→┐r）11111101101110010111010100110001

所以，该推理有效。2.归谬赋值法从理论上说，对于任意的真值形式，用真值表都可以加以判定，但实际上，像前面例2这样的包含3个命题变项的真值形式，它的真值表已经显得臃肿、繁杂；如果一个推理包括更多的命题变项，那么构造它的真值表就非常麻烦。这就使我们考虑寻找其他的判定方法。归谬赋值法就是一种判定方法，它是真值表方法的简化运用。因此，也称为简化真值表法。归谬赋值法的基本思想是：为了证明一个蕴涵式是重言式，必须证明它不可能前件真且后件假。先假设所要判定的蕴涵式前件真且后件假，并根据这个假设，给每个命题变项赋值，使其满足前件真且后件假。在这样的赋值过程中，如果出现矛盾赋值，即必须同时给同一命题变项既赋真，又赋假，那么，这说明原假设不能成立，因而它是重言式；反之，如果不出现矛盾赋值，则说明存在一组赋值满足前件真且后件假，因而不是重言式。【例1】试判定下列推理是否有效：如果地球围绕太阳公转，但并不围绕自己的轴线自转，那么，地球上就没有白天和黑夜。因为事实是地球上有白天和黑夜。所以，或者地球并不公转，或者地球既公转又自转。解：令p表示“地球绕太阳公转”，q表示“地球绕自己的轴线自转”，r表示“地球上有白天和黑夜”，则上述推理的真值形式及归谬赋值如下：（（（p˄┐q）→┐r）˄r）→（┐p˅（p˄q））10111100归谬赋值的过程是：假设前件真，后件假，并根据这一假设给各命题变项赋值。后件是析取式，为使后件假，必须使“┐p”和“p˄q”这两个析取支都假。为使“┐p”假，必须给p赋真；为使“p˄q”假，必须给q赋假（因为p已赋真）。前件是合取式，为使前件真，两个合取支“（p˄┐q）→┐r”和“r”必须都真，即必须给r赋真，因为p已赋真而q已赋假，所以“p˄┐q”真，为使“（p˄┐q）→┐r”真，r必须赋假。而r已赋真，矛盾！所以原假设不成立，该真值形式是重言式，推理有效。【例2】试判定下列推理是否有效：事实上我的勺是干的，所以我没有在自己的咖啡中加糖，因为如果我搅动了咖啡，我的勺一定是潮的。然而我不会搅动咖啡，除非我给它加糖。（注意：该推理的结论是“我没有在自己的咖啡中加糖”，其余的都是前提。解：令p表示“我的勺是干的”，q表示“我给自己的咖啡加糖”，r表示“我搅动了自己的咖啡”，则上述推理的真值形式及归谬赋值如下：（（r→┐p）˄（┐q→┐r）˄p）→┐q011011

归谬赋值的过程是：假设前件真，后件假，并根据这一假设给各命题变项赋值。后件是析取式，为使后件假，必须使q赋真。前件是合取式，为使前件真，三个合取支“r→┐p”，“┐q→┐r”和“p”必须都真，即给p赋真，因为p已赋真，所以为使r→┐p真，必须给r赋假；而在q赋真、r赋假的情况下，第二个合取支┐q→┐r也是真的。赋值完毕，没有出现矛盾赋值。也一句话说，在p真、q真、r假这组赋值下，原真值形式满足前件真，后件假，因此不是重言式。原推理无效。3.范式方法常用重言式（1）p→p这是同一律。（2）（（p→q）˄p）→q这是分离律。它可以刻画充分条件假言推理的肯定前件式。（3）p˅┐p这是排中律。（4）┐（p˄┐p）这是矛盾律。（5）（（p→q）˄┐q）→┐p这称为否定后件律。它可以刻画充分条件假言推理的否定后件式。（6）（（p˅q）˄┐p）→q

（（p˅q）˄┐q）→p这两个重言式称为析取否定肯定律。可以刻画选言推理。（7）（p˄q）→p

（p˄q）→q这两个重言式称为合取分解律。可以刻画联言推理的分解式（8）（（p→q）˄（q→r））→（p→r）这是连锁蕴涵。（9）（p→（r˄┐r））→┐p这是归谬律。它的涵义是：如果从一个命题可以推出矛盾，那么这个命题就是假的。（10）p→（p˅q）这是析取添加律。以上（5）~（10）式是重言蕴涵式。以下是一些重要的重言等值式。（11）q↔┐┐q这是双重否定律。（12）a.┐（p˄q）↔（┐p˅┐q）b.┐（p˅q）↔（┐p˄┐q）这两个重言式称为德摩根律。它说明“˄”和“˅”可以互相定义：p˄q可以定义为┐（┐p˅┐q）；p˅q可以定义为┐（┐p˄┐q）。（13）a.（p˄q）↔（q˄p）b.（p˅q）↔（q˅p）这分别是合取交换律和析取交换律。（14）a.（p˄（q˅r））↔（（p˄q）˅（p˄r））（合取分配律，析取范式）b.（p˅（q˄r））↔（（p˅q）˄（p˅r））（析取分配律，合取范式）这两个重言式称为分配律。（15）（p→q）↔（┐p˅q）这是蕴涵析取律。它说明“→”和“˅”可以互相定义。（16）a.p↔（p˄（q˅┐q））b.p↔（p˅（q˄┐q））这两个重言式称为加元律。（17）a.（p↔q）↔(（p→q）˄（q→p））b.（p↔q）↔(（p˄q）˅（┐p˄┐q））这两个重言式称为等值律。它说明“↔”可以用其他联结词定义。（18）a.（p˅p）↔pb.（p˄p）↔p这称为简化律。这些重言式要经常用到，必须熟记。范式合取范式和析取范式设A为一真值形式，A’为它的范式。A’具有如下特点：第一，A↔A’；第二，A’直观可判定。也就是说，A’是否为重言式或矛盾式通过对其相应的规范形式的观察即可直接判定。因此，对真值形式的判定，可以归结为求它的范式。范式分为【合取范式】和【析取范式】。为了定义什么是合取范式和析取范式，先引入一些概念。【简单析取式】简单析取式是这样一种析取式，它的任一析取支是一命题变项或其否定。如：p˅q、p˅┐q˅r等是简单析取式，p˅（┐q˄r）则不是。一简单析取式是重言式当且仅当存在一命题变项及其否定同时是它的析取支。如：p˅q˅┐q是重言的简单析取式，而┐p˅q˅r则不是。显然，一个简单析取式是否为重言式，根据其形式即可直观判定。为什么一简单析取式是重言式当且仅当存在一命题变项及其否定同时是它的析取支呢？因为在任意赋值下，一命题变项及其否定总有一真，而一析取式只要有一析取支真，它的值就真，因此，如果一命题变项及其否定同时作为析取支出现，这样的析取式总是真的；另一方面，如果不存在一命题变项及其否定同时作为析取支出现，那么这样的简单析取式就一定存在一组赋值使其每个析取支都假，因而不是重言式。【简单合取式】简单合取式是这样一种合取式，它的任一合取支是一命题变项或其否定。如p˄q、┐p˄q˄┐r等是简单合取式，而p˄（┐q˅r）则不是。类似的道理证明，一简单合取式是矛盾式当且仅当存在一命题变项及其否定同时是它的合取支。如p˄┐q˄┐p是矛盾的简单合取式。同样显然，一简单合取式是否为矛盾式，也是直观可判定的。我们约定，单个命题变项及其否定，如p、┐q等，既可看作简单析取式，也可看作简单合取式。定义了简单析取式和简单合取式以后，就可以定义合取范式和析取范式了。【合取范式】合取范式是这样一种合取式，它的任一合取支都是简单析取式。如（p˅q）˄（┐p˅r）、p˄（p˅┐q）˄r等是合取范式，（p˅（q˄┐r））˄（p˅┐q）则不是。【析取范式】析取范式是这样一种析取范式，它的任一析取支都是简单合取式。如（p˄┐q）˅（┐p˄r）、p˅（q˄┐r）等是析取范式，p˅（q˄（p˅┐r）则不是。一合取范式是重言式，当且仅当它的任一合取支都是重言的简单析取式，而一个简单析取式是否为重言式是直观可判定的，因此，一合取范式是否为重言式也是直观可判定的。一析取范式是矛盾式，当且仅当它的任一析取支都是矛盾的简单合取式，而一个简单合取式是否为矛盾式是直观可判定的，因此，一析取范式是否为矛盾式也是直观可判定的。由于一个真值形式和它的范式是等值的，因此，判定一真值形式是否为重言式，可以归结为求它的合取范式；判定一真值形式是否为矛盾式，可以归结为求它的析取范式。现在的的问题是，任一真值形式是否一定存在？如何求一个真值形式的范式？求范式的方法范式的存在性求一个真值形式的范式的方法，包括这样几个具体步骤：第一，先将真值形式中的“↔”和“→”完全消去。即用（p˄q）˅（┐p˄┐q）置换p↔q，（见（17）b）用┐p˅q置换p→q。（见（15））第二，将“┐”逐步内移至命题变项之前，消去双重否定号。即用┐p˄┐q置换┐（p˅q），（见（12b））用┐p˅┐q置换┐（p˄q），（见（12a））用p置换┐┐p。经过上述两个步骤后，真值形式中只有命题变项及其否定以及“˄”和“˅”。第三，在上述步骤的基础上，运用合取分配律并加以简化就得原真值形式的析取范式；运用析取分配律并加以简化就得原真值形式的合取范式。任何真值形式，运用上述方法，都能在有限步内得到一个与之等值的范式。这也就是说，任一真值形式的范式是存在的。【例1】用范式方法判定以下真值形式是否为重言式：（p˄（p→q））→q解：判定该式是否为重言式，须求它的合取范式：消去“→”：┐（p˄（┐p˅q））˅q（1）

内移“┐”：（┐p˅（┐┐p˄┐q）˅q（2）消去“┐┐”：（┐p˅（p˄┐q）˅q（3）展开：（┐p˅p˅q）˄（┐p˅┐q˅q）

（4）（4）式即为原式的合取范式，显然为重言式。因此，原式是重言式。【例2】用范式方法判定以下真值形式是否为矛盾式：（p˅q）↔（┐p˄┐q）解：判定该式是否为矛盾式，须求它的析取范式：消去“↔”：（（p˅q）˄（┐p˄┐q））˅（┐（p˅q）˄┐（┐p˄┐q））

（1）

内移“┐”：（（p˅q）˄（┐p˄┐q））˅（（┐p˄┐q）˄（┐┐p˅┐┐q））

（2）消去“┐┐”：（（p˅q）˄（┐p˄┐q））˅（（┐p˄┐q）˄（p˅q））（3）化简：（p˅q）˄（┐p˄┐q）（4）展开：（p˄┐p˄┐q）˅（q˄┐p˄┐q）（5）（5）式即为原式的析取范式，显然为矛盾式。因此，原式是矛盾式。范式方法在命题推理判定中的运用下面通过实例来说明范式方法在命题推理判定中的运用。一命题推理有效，当且仅当它的真值形式是重言式。因此，一命题推理的判定，可归结为求它的真值形式的合取范式。【例1】试判定下面两个推理的有效性：（a）与人民为敌，而又不受历史的惩罚，这是妄想。因此，要想不受历史的惩罚，只有不与人民为敌。（b）与人民为敌，而又不受历史的惩罚，这是妄想。因此，只要不与人民为敌，就能不受历史的惩罚。解：令p表示“与人民为敌”，q表示“受历史的惩罚”，则推理（a）的真值形式是：┐（p˄┐q）→（p→q）推理（b）的真值形式是：┐（p˄┐q）→（┐p→┐q）先求┐（p˄┐q）→（p→q）的合取范式：消去“→”：┐┐（p˄┐q）˅（┐p˅q）（1）消去“┐┐”：（p˄┐q）˅（┐p˅q）（2）展开：（p˅┐p˅q）˄（┐q˅┐p˅q）（3）（3）式即合取范式，显然是重言式。因此，推理（a）有效。再求┐（p˄┐q）→（┐p→┐q）的合取范式：

消去“→”：┐┐（p˄┐q）˅（┐┐p˅┐q）（1’）

消去“┐┐”：（p˄┐q）˅（p˅┐q）（2’）

展开：（p˅p˅┐q）˄（┐q˅p˅┐q）（3’）

（3’）式即为合取范式。显然不是重言式。因此，推理（b）无效。

这里说明一下，为什么推理（a）的结论“要想不受历史的惩罚，只有不与人民为敌”的真值形式是“p→q”。我们知道，必要条件假言命题“只有A，才B”的真值形式是“┐A→┐B”，因此，“只有不与人民为敌，才能不受历史惩罚”的真值形式是“┐┐p→┐┐q”，即“p→q”。【例2】试判定下面推理的有效性：如果你喜欢逻辑而不喜欢数学，那么，你并不是真喜欢逻辑。因此，如果你真喜欢逻辑，那么一定也喜欢数学。解：令p表示“你喜欢逻辑”，q表示“你喜欢数学”，则上述推理的真值形式是：（（p˄┐q）→┐p）→（p→q）求它的合取范式：消去“→”：┐（┐（p˄┐q）˅┐p）˅（┐p˅q）（1）内移“┐”：（┐┐（p˄┐q）˄┐┐p）˅（┐p˅q）（2）消去“┐┐”：（p˄┐q）˄p）˅（┐p˅q）（3）展开、化简：（p˅┐p˅q）˄（┐q˅┐p˅q）（4）（4）式是重言的合取范式。所以，推理有效。注意：一个真值形式的范式不是惟一的，也就是说，同一真值形式可以求得不同的范式。当然，这些范式都是等值的。因此，范式虽然不具有惟一性，但用范式方法进行判定所得出的结论具有惟一的确定性。4.命题自然推理自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性。也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，如果依据推理规则，能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。自然推理区别于一般的公理化推理之处在于，作为推理出发点的只有推理规则，没有公理。这似乎更符合人们日常思维的习惯，因此称之为自然推理。自然推理可用于判定命题推理，但本章只讨论判定命题推理，称之为命题自然推理。（1）命题自然推理的基本规则命题自然推理的基本规则：规则P：在一个推导的任意一步都可引入一个新前提。规则T：如果在一个推导中有一些先行命题的合取重言地蕴涵命题A，则可以在该推导中引入命题A。规则D：如果从一前提集和命题A能推出命题B，那么，从该前提集可推出“A→B”。可以证明，这些规则都具有保真性。规则T的运用要求熟练地掌握常用的重言蕴涵式和重言等值式，这点必须注意。下面通过实例说明如何依据这些规则来构造命题自然推理。【例1】饥饿或是胃部引起，或是大脑中的血液循环引起，或是全身的神经引起。如果饥饿由胃部引起，那么切断兔子胃部的神经联系就会阻止正常的进食；但进行这样的实验并没有阻止兔子的正常进食。大脑的活动总是开始于神经末梢的被刺激。如果这样，饥饿就不会是大脑中的血液循环引起。因此，饥饿是由全身的神经引起的。【例1】饥饿或是胃部引起，或是大脑中的血液循环引起，或是全身的神经引起。如果饥饿由胃部引起，那么切断兔子胃部的神经联系就会阻止正常的进食；但进行这样的实验并没有阻止兔子的正常进食。大脑的活动总是开始于神经末梢的被刺激。如果这样，饥饿就不会是大脑中的血液循环引起。因此，饥饿是由全身的神经引起的。解：令：p表示“饥饿由胃部引起”，q表示“饥饿由大脑中血液循环引起”，r表示“饥饿由全身的神经引起”，s表示“切断兔子胃部的神经联系会阻止正常的进食”，t表示“大脑的活动总是开始于神经末梢的被刺激”。构造自然推理如下：该推理共五个前提。先依据规则P在推导中把它们依次引入。然后设法依据规则导出结论。注意推导格式：（1）{1}p˅q˅r规则P（2）{2}p→s规则P（3）{3}┐s规则P（4）{4}t规则P（5）{5}t→┐q规则P（6）{2、3}┐p规则T用于（2）、（3）（7）{4、5}┐q规则T用于（4）、（5）（8）{2、3、4、5}┐p˄┐q规则T用于（6）、（7）（9）{2、3、4、5}┐（p˄q）规则T用于（8）（10）{1、2、3、4、5}r规则T用于（1）、（9）最后一行即为预期的结论。因此，推理有效。以上的推导格式包括四列数字、符号或文字。第一列数字表示推导的步骤。第二列数字表示前提的编号，它用以说明右边的命题是哪一个前提或是依赖于哪些前提所推出的结论。例如第（1）行的{1}说明“p˅q˅r”是一个前提，该前提的编号是1；第（6）行的{2、3}说明“┐p”是依赖于前提2、3所推出的结论；第（10）行的{1、2、3、4、5}说明r是依赖于前提1、2、3、4、5所推出的结论。事实上，这也是整个推理的结论。第三列是表示命题的符号公式，它表示从前提到中间结论再到最终结论的推导过程。第四列的文字说明每一行的推导所依据的规则。例如，第（1）行的前提“p˅q˅r”的引入是依据规则P，第（6）行“┐p”的导出是依据运用规则T于第（2）、（3）行，即因为p→s和┐s重言地蕴涵┐p。在以后的推导中，规则P、规则T和规则D分别简写为P、T和D。有时，我们需要推出的结论是个蕴涵式，不妨记为“A→B”。这时，就需要运用规则D。方法是：将A作为一个新前提引入，如果A和原前提集一起能推出B，那么，根据规则D，从原前提集就能推出“A→B”。

【例2】主犯或者是张三（p），或者是李四（q）。如果王五也参与了作案（r），那么主犯决不会是张三。因此，如果李四不是主犯，那么，王五就不会参与作案。解：（符号设定如括号中所示）（1）{1}p˅qP（2）{2}r→┐pP（3）{3}┐qP（4）{1、3}pT（1）、（3）（5）{1、2、3}┐rT（2）、（4）（6）{1、2}┐q→┐r

T（3）、（4）推理有效。在该推导中，前提1、2是原推理的前提，前提3是运用规则P所引进的前提，它不能作为最后结论所依赖的前提。第（5）行所导出的“┐r”依赖的是前提1、2、3；第（6）行所导出的“┐q→┐r”依赖的是前提1、2，前提3在运用规则D时消去了。为什么可以消去呢？因为根据规则D，从前提1、2和附加前提3（即“┐q”）既然已经导出“┐r”，那么，从前提1、2就能导出“┐q→┐r”。所以，第（5）行的“┐r”是从前提1、2、3导出的；而

“┐q→┐r”则是从前提1、2导出的。规则D能在推理中消去前提。（2）归谬规则归谬法是一种