大学物理第三章-刚体的转动

三个基本物理量：三个定理：三条守恒定理的条件：华理生活网第三章刚体的转动转动：连结刚体内两点的直线方向在运动过程中改变。两种基本形式通常用物体质心的运动来代表。平动:连结体内两点的直线在空间指向保持平行。OOOOO华理生活网

刚体:

彼此间距离保持不变的“质点系”即运动中形状、大小不变。

（理想化模型）基本研究方法：质点运动规律＋微积分刚体基本运动规律（大量质点运动的总效应）华理生活网定轴转动:刚体上各质元均做圆周运动，各圆的圆心都在转轴上,是最简单的转动。rOdm一、特征：3.角量与线量Ox2.ω＋：刚体逆时针转－：刚体顺时针转

§3-1刚体的定轴转动华理生活网二、匀变速转动华理生活网一、力矩是改变刚体转动状态的原因

§3-2刚体的转动定律1.力在转动平面内FrMdjMF=dsin=Frj※定轴转动：M＋：刚体逆时针转－：刚体顺时针转当M=0时，刚体匀速转动或静止华理生活网FM=r×F=12rF×)(+在定轴转动问题中，若不讨论轴上受力，则所考虑的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。转动平面2.力不在转动平面内FrFF21变形，对转动无贡献。F只能引起轴的1r×F+=21rr×F×华理生活网二、转动定律

ω,α定轴刚体zθFimiΔrifiiΔ对m质点iF外力if内力应用牛顿第二定律：华理生活网θ

ω,α定轴刚体zFimiΔrifi对所有质点列出此式，并求和0M外Ja转动定律：三、转动惯量（J）是转动惯性大小的量度华理生活网1.定义式:2.转动惯量的计算示例1.均匀细棒m,l(1).绕过中心与棒轴的转动惯量ox解:dm=dxx=x2dxdJ0=x2dm

华理生活网A(2).绕过棒端与棒轴的转动惯量xdm=dxx平行轴定理:其中:JO:刚体对过质心轴的转动惯量JO’:刚体对平行于过质心轴的轴的转动惯量d:两平行轴间的距离od华理生活网2.均匀园环m,R解:(1)绕过中心与环面轴的转动惯量R(2)绕沿直径轴的转动惯量dlθdθrdm=dl华理生活网3.均匀盘m,R绕过中心与环面轴转动惯量dm=2rdrrdrJ的大小与有关ïîïíì转轴的位置质量的分布物体的质量华理生活网oRm解：由同轴转动惯量的可加性华理生活网oRm华理生活网[例题]已知：M=2Kg,m=5Kg,R=0.1m,0=10rad/s,

(1)求、T,

(2)=0时,m上升h。Mm•R0(2)解:(1)M,m受力如图所示mgTTaα华理生活网刚体：彼此间距离保持不变的“质点系”刚体运动：大量质点运动的总效应刚体的定轴转动：力矩是改变刚体转动状态的原因转动惯性大小的量度华理生活网定轴O·Rthmv0=0绳解：轮与m为联结体,轮为定轴转动、m为平动,但二者用绳联系起来。m的速度大小与轮边缘线速度大小相等。对轮：对m:mgT'=-Tm例.己知：定滑轮上绕一细绳，绳一端固定在盘上，另一端挂重物m。绳与轮无相对滑动，绳不可伸长。轮半径R=0.2m，m=1kg,m下落时间t=3s，v0=0,h=1.5m。求：轮对O轴

J=?华理生活网运动学关系：a=aRhat=122(3)(4)联立解得：定轴O·Rthmv0=0绳华理生活网R1R2MAB已知：A轮：R1,m1,受恒力矩M.B轮：R2,m2

轮与皮带间无滑动。求：两轮的角加速度。（1）（2）正确解：T1T2关键点：两轮的α不同华理生活网

§3-3刚体转动中的功能关系一、定轴转动中动能定理zOrF质元的动能：ΔimOrimi刚体的转动动能：华理生活网——合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增量刚体的重力势能：Ep=0×Czc※二、定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：华理生活网若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时三、机械能守恒定律包括刚体在内的体系，若只有保守内力（力矩）作功则系统机械能守恒华理生活网[例题]已知均质棒m,l,半径忽略的小球m组成图示系统，求图(1);图(2)棒中心atan

60°图(1)图(2)mgmg解(1)II态I态mgmg(2)I态II态,E守恒华理生活网一般情况：求：α用M=Jαω用动能定理或E守恒定律

at、an、v用线量和角量关系式图(2)II态mgmg60°华理生活网hmRrmkJ已知：J、K、m、r、R

开始时m静止，弹簧处于自然长度求：释放m后，m下落h时a=?,v=?T2mgT1aV华理生活网

§3-4刚体的角动量和角动量守恒定律一、刚体定轴转动的角动量zOirivimi单个质点：方向：沿Z轴正向方向：沿Z轴正向整个刚体：即刚体绕定轴转动角动量为绕该轴的转动惯量与角速度之乘积。华理生活网二、刚体定轴转动的角动量定理※定轴转动：1）若质点系为刚体（J为常数）2）若质点系不是刚体（J变化）华理生活网刚体定轴转动的角动量定理(积分式)作用于刚体上冲量矩等于刚体角动量的增量三、角动量守恒由角动量定理可知，当M=0，则：Jω=J0ω0即若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。讨论：1.J、

ω均不变，Jω=常数2.J、

ω都改变，但Jω不变华理生活网ω花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速华理生活网华理生活网猫的下落（A）猫的下落（B）华理生活网华理生活网克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消华理生活网,[例]人和转盘的转动惯量为J0,哑铃的质量为m，初始转速为ω1。求：双臂收缩由r1变为r2时的角速度及机械能增量。rr12mmJ0ω1解：由角动量守恒非保守内力作正功华理生活网AR1BR2例：（1）（2）（3）（4）（5）（6）frfr华理生活网AR1BR2frfr（3）（4）（5）（6）华理生活网3.系统角动量守恒的条件:a).系统中各物体均绕同一转轴转动条件:∑M外力=0b).系统中各物体均绕不同转轴转动条件:∑M外力=0,且∑M内力=0华理生活网例：mrRJ4.角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需相对同一惯性参照系。华理生活网odxx由（1）、（2）、（3）、（4）得华理生活网华理生活网例：一细杆质量为m,长为l,其一端可绕o轴在竖直平面内转动。开始时杆从水平位置静止释放，当杆摆到竖直位置时，杆下端恰好与墙上的小钉子碰撞，碰后杆能弹至与竖直方向成600角的位置，求：碰撞时钉子受到的冲量多大？600o（＋）华理生活网（1）（2）（3）vcLθL2mm0v0c例：N华理生活网LθL2mm0v0c(1)(2)vcLθ2mm0v0c(1)(2)vc华理生活网Lθ2mm0v0c若需求子弹穿出棒后的速度v(1)(2)v结论：质点与转动刚体碰撞，由于存在约束力，所以系统动量不守恒，但系统角动量守恒。e=1e=0v0<e<1华理生活网

§3-6进动刚体在绕自身对称轴转动同时，对称轴还绕某轴回转的现象称为进动。zoA一、进动的概念二、动力学解释BAROr回转仪华理生活网枪炮膛中的来复线四、进动原理的应用举例枪炮膛中的来复线四、进动原理的应用举例弹道三、进动角速度华理生活网华理生活网华理生活网刚体定轴转动动能定理既有质点平动又有刚体定轴转动的系统：刚体定轴转动角动量定理系统角动量守恒的条件:a).系统中各物体均绕同一转轴转动条件:∑M外力=0b).系统中各物体均绕不同转轴转动条件:∑M外力=0,且∑M内力=0华理生活网定轴转动动能定理既有质点平动又有刚体定轴转动的系统：——系统的动能定理——系统的功能原理——系统机械能守恒华理生活网定轴转动的角动量定理三、角动量守恒由角动量定理可知，当M=0，则：Jω=J0ω0即若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。讨论：1.J、

ω均不变，Jω=常数2.J、

ω都改变，但Jω不变华理生活网刚体：彼此间距离保持不变的“质点系”刚体运动：大量质点运动的总效应刚体的定轴转动：力矩是改变刚体转动状态的原因定轴转动动能定理华理生活网华理生活网定轴转动动能定理既有质点平动又有刚体定轴转动的系统：——系统的动能定理——系统的功能原理——系统机械能守恒华理生活网解：由角动量守恒得：、ωωωJJJ=+12211J2ωωωJJJJ=+111222)([例]若对接前两轮的角速度分别为ω1、ω2求：1.对接后共同的角速度ω

2.对接过程中的机械能损失1ωω221JJω1ω++1)(1JJ22ΔEk11222(JJ1ωω2222)=J=++2((JJJ1ωω22))112＜0摩擦力矩作负功，有机械能损失。华理生活网刚体定轴转动的角动量定理(积分式)刚体定轴转动的角动量:(微分式)系统角动量守恒的条件:a).系统中各物体均绕同一转轴转动条件:∑M外力=0b).系统中各物体均绕