信号与系统 拉普拉斯变换分析法(二)

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信号与系统(Signal&system)

教师：徐昌彪

xucb@2004-12-7电路基础教学部24.8系统函数的零、极点对系统特性的影响

4.8.1零点与极点的概念

4.8.2系统函数的极点分布与响应模式的关系

4.8.3从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性电路基础教学部2004年12月7日11时17分=H(s)===H0kjbm34.8.1零点与极点的概念(1)H(s)=N(s)bmsm+bm−1sm−1+L+b1s+b0D(s)ansn+an−1sn−1+L+a1s+a0零点（Zero）：分子多项式N(s)=0的根

极点（Pole）：分母多项式D(s)=0的根

N(s)bm(s−z1)(s−z2)L(s−zm)

D(s)an(s−p1)(s−p2)L(s−pn)

zj(j=1,2,L,m)系统函数的零点

pk(k=1,2,L,n)系统函数的极点H0=标量系数

an

m

∏(s−z

j=1

n∏(s−p

k=1) )电路基础教学部2004年12月7日11时17分jωj(2)44.8.1零点与极点的概念(2)

零、极点图：把系统函数的零点与极点表示在S平面上的图形零点有O表示，极点用X表示。若为n重零点或极点，则注以(n)如H(s)=

s2(s+3)(s+1)(s+2+j)(s+2−j)研究零、极点的意义：

从系统函数的极点分布可以知道系统响应具有的模式，从而可以了解系统是否稳定。 从系统函数的零、极点分布可以求得系统的频−3−2−1

0−jσ率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。电路基础教学部2004年12月7日11时17分54.8.2系统函数的极点分布与响应模式的关系

jω0t0t

00tσ0

t系统稳定0t

0系统不稳定t

系统临界稳定／不稳定 （单极点／重极点）零点对响应模式无影响，只影响响应的幅度与相位电路基础教学部2004年12月7日11时17分jω−z1H(ω)=H0N1N10164.8.3从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性(1)

稳定系统（H(s)极点均位于s平面左半平面）

H(ω)=H(s)|s=jω=|H(ω)|ejθ(ω)以H(s)=H0

(s−z1)(s−p1)(s−p2)为例来说明频率响应性质的确定

(jω−p1)(jω−p2)

→

H(ω)=H0→→

M1M2|H(ω)|=H0θ(ω)=ϕ1−ψ1−ψ2

M1M2p1p2

→

M1

→M2

ψ2ψ1jω

→

N1ϕ

z1σ电路基础教学部2004年12月7日11时17分U(s)Rjω1N74.8.3从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性(2)

例：分析如图所示RC高通滤波器的频率响应特性解：H(s)=2=

U1(s)R+1

sC H(ω)=

jω+

RC=s+

jωs

1

RC

° +U1(s)

− °

11/2

1

sC|H(ω)|R

° +U2(s)

− °

|H(ω)|=

Mθ(ω)=ϕ−ψ

→M

ψ

→N

0ϕσ

090°45°

1/(RC)θ(ω)ω01/(RC)ω电路基础教学部2004年12月7日11时17分N84.8.3从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性(3)例：系统函数的零、极点图如图示，求系统的频率响应特性。解：

→Mpψ

jω0

→NzϕσH0

0|H(ω)|ω

|p|=|z||H(ω)|=H0

M

θ(ω)=ϕ−ψ180°

0θ(ω)ω电路基础教学部2004年12月7日11时17分*ω94.8.3从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性(4)例：系统函数的零、极点图如图示，求系统的频率响应特性。解：p1

→M1

jω

→N zH02σ0|H(ω)|

ω0ω一般情况下，可以认为，若系统有一对非常靠近虚轴的共轭极点p1,2=−σ±jω0，则在ω=ω0附近处，幅频

→M20σθ(ω)特性出现峰值，相频特性迅速减小。

p2p1=−σ+jω0=p2

(σ<<ω0)

90°

0−90°ω0若系统有一对非常靠近虚轴的共轭零点z1,2=−σ±jω0，则在ω=ω0附近处，幅频特性出现谷值，相频特性迅速上升。电路基础教学部2004年12月7日11时17分104.9系统稳定性判别(1)

稳定系统的含义

对于有界的激励产生有界的响应的系统称为稳定系统。

系统稳定性

稳定系统：H(s)的极点全部位于s左半平面（不包括虚轴） 不稳定系统：H(s)的极点至少有一个位于s右半平面，或在 虚轴上有重极点 临界稳定系统：H(s)的极点位于虚轴上，且为单极点。

系统稳定的充要条件

H(s)的极点全部位于s左半平面（不包括虚轴）电路基础教学部2004年12月7日11时17分D114.9系统稳定性判别(2)稳定系统性判别H(s)=N(s)D(s)

劳斯—霍尔维茨准则

若系统的特征方程为：(s)=ansn+an−1sn−1+L+a1s+a0=0

则特征方程的根全部位于s左半平面的充要条件是

D(s)的全部系统为正，且不为零;

劳斯表（劳斯阵列）中第1列元素的符号相同。对于二阶系统，系统稳定的充要条件：D(s)各次系数为正。电路基础教学部2004年12月7日11时17分n−1124.9系统稳定性判别(3)

劳斯表（劳斯阵列）D(s)=ansn+an−1sn−1+L+a1s+a0=0第1行sn第2行s第3行sn−2第4行sn−3第5行sn−4直到n+1行

anan−1cn−1dn−1en−1

Man−2an−3cn−3dn−3en−3

Man−4Lan−5Lcn−5Ldn−5Len−5L MOcn−1=−cn−3=−

Mdn−1=−dn−3=−

M

1anan−1an−1

1anan−1an−1

1an−1

cn−1cn−1

1an−1

cn−1cn−1an−2an−3an−4an−6

an−3

cn−3

an−5

cn−5如果劳斯表中第1列各元素的符号不尽相同，则称号改变的次数即为系统特征方程的根位于s右半平面的数目。电路基础教学部2004年12月7日11时17分D2=00134.9系统稳定性判别(4)例：已知某系统的特征方程为：(s)=2s4+s3+3s2+5s+10=0，试判断该系统的稳定性。解：排出劳斯表第1行s第2行s432135100第3行s−2315=−7−21010=100第4行s1−115457−710700第5行s0−

7−710 4545 7=100第1列元素中有两次改变符号，故该系统的特征根有两个位于s右半平面，为不稳定系统。电路基础教学部2004年12月7日11时17分144.9系统稳定性判别(5)

劳斯表排写过程中的两种特殊情况及其处理

劳斯表中出现某一行的第1列元素为零，而其余元素又不 全为零。可以将第1列中出现的零用一个任意小的正数ε来 代替，然后继续排写下去。 劳斯表尚未排写完时出现一行元素全为零。利用全零行 的前一行的元素组成一个辅助多项式，用辅助多项式导数 的系数来代替全零行，再继续排写下去。电路基础教学部2004年12月7日11时17分154.9系统稳定性判别(6)例：某系统的特征方程为：D(s)=s5+s4+4s3+4s2+2s+1=0，试判断该系统的稳定性。解：排出劳斯表第1行s5第2行s4第3行s3第4行s2第5行s1第6行s011(0代之以ε

4ε−1

ε

−ε2+4ε−1 4ε−11424110)100000当ε→0＋时，第1列元素中有两次改变符号，故该系统的特征根有两个位于s右半平面，为不稳定系统。电路基础教学部2004年12月7日11时17分432164.9系统稳定性判别(7)例：已知某系统的特征方程为：D(s)=s4