渗流理论基础

第一章渗流理论基础肖长来吉林大学环境与资源学院2006-3第一章渗流理论基础1.1渗流的基本概念1.2渗流基本定律

1.3岩层透水特征及水流折射定律1.4流网及其应用 1.5渗流连续方程 1.6渗流基本微分方程1.7数学模型的建立及求解1.1渗流的基本概念1.多孔介质及其特性1)多孔介质的概念

多孔介质(Porousmedium)：地下水动力学中具有空隙的岩石。广义上包括孔隙介质、裂隙介质和岩溶不十分发育的由石灰岩和白云岩组成的介质，统称为多孔介质。

孔隙介质：含有孔隙的岩层，砂层、疏松砂岩等；裂隙介质：含有裂隙的岩层，裂隙发育的花岗岩、石灰岩等。

(1)孔隙性：有效孔隙和死端孔隙。

孔隙度（Porosity）是多孔介质中孔隙体积与多孔介质总体积之比（符号为n），可表示为小数或百分数，n=Vv/V。

有效孔隙（Effectivepores）是多孔介质中相互连通的、不为结合水所占据的那一部分孔隙。

有效孔隙度（EffectivePorosity）是多孔介质中有效孔隙体积与多孔介质总体积之比（符号为ne），可表示为小数或百分数，ne=Ve/V。

死端孔隙（Dead-endpores）是多孔介质中一端与其它孔隙连通、另一端是封闭的孔隙。2)多孔介质的性质Porosity—thepropertyofcontainingopeningsorinterstices.Inrockorsoil,itistheratio

ofthevolumeofopeningsinthematerialtothebulkvolumeofthematerial.Porosity,Effective—Theamountofinterconnectedporespaceinamaterialavailableforfluidtransmission;expressedasapercentageofthetotalvolumeoccupiedbytheinterconnectinginterstices.Porositymaybeprimary,

formedduringdepositionorcementationofthematerial,orsecondary,formedafterdepositionorcementation,such

asfractures.

2)多孔介质的性质(2)连通性：封闭和畅通，有效和无效。(3)压缩性：固体颗粒和孔隙的压缩系数推导。(4)多相性：固、液、气三相可共存。其中固相的成为骨架，气相主要分布在非饱和带中，液相的地下水可以吸着水、薄膜水、毛管水和重力水等形式存在。 固相—骨架matrix

气相—空气，非饱和带中

液相—水：吸着水

Hygroscopicwater

薄膜水 pellicularwater

毛管水 capillarywater

重力水 gravitationalwater 包括两大类，运动特点各不相同，分别满足于孔隙水和裂隙岩溶水的特点。

(1)第一类为地下水在多孔介质的孔隙或遍布于介质中的裂隙运动，具有统一的流场，运动方向基本一致；

(2)另一类为地下水沿大裂隙和管道的运动，方向没有规律，分属不同的地下水流动系统。3)多孔介质中的地下水运动2渗透与渗流1)渗透:地下水在岩石空隙或多孔介质中的运动，这种运动是在弯曲的通道中，运动轨迹在各点处不等。为了研究地下水的整体运动特征，引入渗流的概念。图1-2岩石中的渗流（a）实际渗透(b)假想渗流2)渗流（seepageflow）：具有实际水流的运动特点（流量、水头、压力、渗透阻力），并连续充满整个含水层空间的一种虚拟水流；是用以代替真实地下水流的一种假想水流。其特点是： （1）假想水流的性质与真实地下水流相同； （2）充满含水层空隙空间和岩石颗粒所占据的空间； （3）运动时所受的阻力与实际水流所受阻力相等； （4）通过任一断面的流量及任一点的压力或水头与实际水流相同。

渗流场（flowdomain）：假想水流所占据的空间区域，包括空隙和岩石颗粒所占的全部空间。Seepage

—(1)Thepassageofwaterorotherfluidthroughaporousmedium,suchasthepassageofwaterthroughanearthembankmentormasonrywall.(2)Groundwateremergingonthefaceofastreambank.(3)Theslowmovementofwaterthroughsmallcracks,pores,Interstices,etc.,ofamaterialintooroutofabodyofsurfaceorsubsurfacewater.(4)TheInterstitialmovementofwaterthatmaytakeplacethroughadam,itsfoundation,oritsAbutments.(5)Thelossofwaterbyinfiltrationintothesoilfromacanal,ditches,laterals,watercourse,reservoir,storagefacilities,orotherbodyofwater,orfromafield.Seepageisgenerallyexpressedasflowvolumeperunitoftime.

典型单元体（REV，RepresentativeElementaryVolume）又称代表性单元体，是渗流场中其物理量的平均值能够近似代替整个渗流场的特征值的代表性单元体积。

REV具备两个性质：

(1)其体积和面积，大于个别空隙而小于渗流场，其中的渗流可以从一点连续运动到另一点；

(2)通过单元体的运动要素（流量Q、水头h、压力p、实际水头受到的阻力R）与真实水流相等，运动要素是连续变化的。

REV的作用：

(1)把物理性质看作是坐标的函数，孔隙度n、导水系数T、给水度和渗透系数均连续。

(2)渗流的要素可以微分、积分，可以用微分方程来描述渗流要素。3)典型单元体4)渗流速度

（1）过水断面（Cross-sectionalarea）是渗流场中垂直于渗流方向的任意一个岩石截面，包括空隙面积（Av）和固体颗粒所占据的面积(As)，A=Av+As。渗流平行流动时为平面，弯曲流动时为曲面。

（2）渗流量（Seepagedischarge）是单位时间内通过过水断面的水体积，用Q表示，单位m3/d。图1-3渗流过水断面(a)实际渗透(b)假想渗流

（3）渗流速度（Specificdischarge/seepagevelocity）又称渗透速度、比流量，是渗流在过水断面上的平均流速。它不代表任何真实水流的速度，只是一种假想速度。它描述的是渗流具有的平均速度，是渗流场空间坐标的连续函数，是一个虚拟的矢量。单位m/d，表示为:

（4）实际平均流速（Meanactualvelocity）是多孔介质中地下水通过空隙面积的平均速度；地下水流通过含水层过水断面的平均流速，其值等于流量除以过水断面上的空隙面积，量纲为L/T。记为。它描述地下水锋面在单位时间内运移的距离，是渗流场空间坐标的离散函数。表示为：渗流速度=n实际平均流速（1-1）（1-1a）若确定渗流场中任一点的渗流速度，可以按以下方法进行讨论： 设以P点为中心的REV的平均渗流速度矢量为v，令REV的体积为V0，其中空隙体积为nV0，在空隙中的不同地点，流速u不同，将u在全部空隙体积nV0中求积分，再除以REV体积V0，即为渗流速度，表示为:

可得V=n（1-3）（1-4）

3地下水的水头与水力坡度

(1)地下水水头（hydraulichead）：渗流场中任意一点的总水头近似等于测压水头(piezometrichead)，即:

通常称为渗流水头。 在水力学中定义总水头(totalhead):

式中右端三项分别称为位头（potentialhead）、压头(pressurehead)和速头(velocityhead)。

总水头（Totalhead）为测压管水头和流速水头之和。（1-5）（1-6）

测压管水头（Piezometrichead）为位置水头与压力水头之和，。

压力水头（pressurehead）：含水层中某点的压力水头（h）指以水柱高度表示的该点水的压强，量纲为L，即：h=P/g，式中P为该点水的压强；为水的容重。速度水头（velocityhead）：在含水层中的某点水所具有的动能转变为势能时所达到的高度，量纲为L，即，式中u为地下水在该点流动的速度；g为重力加速度。 由于在地下水中水流的运动速度很小，故速头可以忽略，所以h近似等于H，即:

意义：渗流场中任意一点的水头实际上反映该点单位质量液体具有的总机械能，地下水在运动过程中不断克服阻力，消耗总机械能，因此沿地下水流程，水头线是一条降落曲线。（1-7）Head,Total

—ThesumoftheElevationHead(distanceofapointabovedatum),thePressureHead(theheightofacolumnofliquidthatcanbesupportedbystaticpressureonlyatthepoint),andthevelocityHead(theheighttowhichtheliquidcanberaisedbyitsownkineticenergy.AlsoseeHydraulicHead.HydraulicHead

—(1)Theheightofthefreesurfaceofabodyofwateraboveagivenpointbeneaththesurface.(2)Theheightofthewaterlevelattheheadworksoranupstreampointofawaterway,andthewatersurfaceatagivenpointdownstream.(3)Theheightofahydraulicgradelineabovethecenterlineofapressurepipe,atagivenpoint.PiezometricHead

—SynonymouswithHydraulicHead,whichisnowcommonlyused.

(2)水力坡度[水力梯度]（hydraulicgradient）：在渗流场中大小等于梯度值，方向沿等水头面的法线并指向水头下降方向的矢量，用J表示。式中——法线方向单位矢量。在空间直角坐标系中，其三个分量分别为：

(3)等水头面与等水头线

等水头面：渗流场中水头值相同的各点相互连接所形成的一个面。可以是平面也可为曲面。

等水头线（groundwatercontour）：等水头面与某一平面的交线。 等水头面上任意一条线上的水头都相等。等水头面（线）在渗流场中是连续的，不同大小的等水头面（线）不能相交。（1-8）（1-9）HydraulicGradient(I)

—(1)Theslopeofthewatersurface.(2)ThegradientorslopeofawatertableorPiezometricSurfaceinthedirectionofthegreatestslope,generallyexpressedinfeetpermileorfeetperfeet.Specifically,thechangeinstaticheadperunitofdistanceinagivendirection,generallythedirectionofthemaximumrateofdecreaseinhead.Thedifferenceinhydraulicheads(h1–h2),dividedbythedistance(L)alongtheflowpath,or,expressedinpercentageterms:

I=(h1–h2)/LX100Ahydraulicgradientof100percentmeansaonefootdropinheadinonefootofflowdistance.

4地下水运动特征分类（1）渗流运动要素(Seepageelements)是表征渗流运动特征的物理量，主要有渗流量Q、渗流速度V、压强P、水头H等。地下水运动方向（Groundwaterflowdirection）为渗透流速矢量的方向。

(2)层流与紊流

层流（laminarflow）：水流流束彼此不相混杂、运动迹线呈近似平行的流动。

紊流（turbulentflow）：水流流束相互混杂、运动迹线呈不规则的流动。LaminarFlow

—Aflowinwhichfluidmovessmoothlyinstreamlinesinparallellayersorsheets.Thestreamlines

remaindistinctandtheflowdirectionsateverypointremainunchangedwithtime.Itischaracteristicofthe

movementofgroundwater.Contrastswithturbulentflow.SynonymouswithStreamlineFlowandViscousFlow.TurbulentFlow

—(1)(Physics)Themotionofafluidhavinglocalvelocitiesandpressuresthatfluctuaterandomly.

(2)Themechanismbywhichafluidsuchaswatermovesneararoughsurface.Fluidnotincontactwiththe

irregularboundaryoutrunsthatwhichisslowedbyfrictionordeflectedbytheunevensurface.Fluidparticlesmove

inaseriesofeddiesorwhirls.Moststreamflowisturbulent,andturbulentflowisimportantinbotherosionand

transportation.ContrastwithLaminarFlow.

根据Reynoldsnumber判别地下水流态，通常

式中：—地下水的渗流速度(cm/s)；

d—含水层颗粒的平均粒径(cm)；

d0—含水层颗粒的有效粒径(cm)；

—地下水的运动粘度（粘滞系数）(cm2/s)。图1-4空隙岩石中地下水的层流和紊流（1-10）

通常，确定d的方法有：（1）d=d10；（2）Collins(1961)：；（3）Ward(1964)：

,其中n为孔隙度。若Re<Re临界，则地下水处于层流状态，此时液体质点互不混杂，呈有秩序地层状运动；若Re>Re临界，则地下水处于紊流状态，此时液体质点无秩序地相互混杂地流动。

Re临界≈150~300。天然地下水多处于层流状态。

(2)稳定流与非稳定流 根据渗流运动要素是否与时间有关而进行的划分。

稳定流（steadyflow）：渗流运动要素不随时间变化；在一定的观测时间内水头、渗流速度等渗透要素不随时间变化的地下水运动。

非稳定流（unsteadyflow）：渗流运动要素随时间变化；水头、渗透速度等任一渗透要素随时间变化的地下水运动。

（3）一、二、三维流 根据渗流方向与所选坐标轴方向之间的关系来划分。

一维流运动：当地下水沿一个方向运动，将该方向取为坐标轴，此时地下水的渗透速度只有沿该坐标轴的方向有分速度，其余坐标轴方向的分速度为0。

一维流（one-dimensionalflow），也称单向运动，指渗流场中水头、流速等渗流要素仅随一个坐标变化的水流，其速度向量仅有一个分量、流线呈平行的水流。

二维流运动：若地下水的渗透速度沿两个坐标轴方向都有分速度，仅一个坐标轴方向的分速度为0。SteadyFlow

—Flowinwhichtherateremainsconstantwithrespecttotimeatagivencross-section.UnsteadyFlow

—Flowthatischangingwithrespecttotime.

二维流（two-dimensionalflow），也称平面运动，地下水的渗透流速沿空间二个坐标轴方向都有分速度、仅仅一个坐标轴方向的分速度为零的渗流；水头、流速等渗流要素随两个坐标变化的水流，其速度向量可分为两个分量，流线与某一固定平面呈平行的水流。

平面二维流（Two-dimensionalflowinplane），由两个水平速度分量所组成的二维流。图1-5承压水的一维流动

剖面二维流（two-dimensionalflowinsection），由一个垂直速度分量和一个水平速度分量组成的二维流。

单宽流量（Dischargeperunitwidth）：渗流场中过水断面单位宽度的渗流量，等于总流量Q与宽度B之比。即

q=Q/B。（1-11）

总渗流量Q为单宽流量q与宽度B的乘积，Q=qB。图1-6渠道向河流渗漏的地下水二维流动（a）平面图(b)剖面图

三维流运动：地下水的渗透流速沿空间三个坐标轴的分量均不为0。

三维流（three-dimensionalflow），也称空间运动，地下水的渗透流速沿空间三个坐标轴的分量均不等于零的渗流；水头、流速等渗流要素随空间三个坐标而变化的水流。图1-7河弯处潜水的三维流动（a）平面图(b)剖面图图1-8均质各向同性含水层中潜水井抽水时的地下水运动(a)平面图(b)剖面图1达西定律（线性渗透定律）1.2渗流基本定律图1-9Darcy实验装置（1）达西定律表达式

实验条件：定水头、定流量、均质砂。此时地下水做一维均匀运动，渗流速度与水力坡度的大小和方向沿流程不变。

达西定律(1856年)表达式：其中:

Q——渗透流量（出口处流量），亦即通过过水断面（砂柱各断面）A的流量(m3/d)；volumetricflowrate. K——多孔介质的渗透系数(m/d)；

A——过水断面面积(m2)；cross-sectionalareaofflow. H1、H2——上、下游过水断面的水头(m)；

L——渗透途径(m)；

J——水力梯度（J=(H1-H2)/L），等于两个计算断面之间的水头差除以渗透途径，亦即渗透路径中单位长度上的水头损失。（1-12）（1-13）达西定律的微分形式：达西定律的矢量形式：（1-14）（1-15）（1-16）

（2）达西公式讨论达西定律反映了能量转化与守恒。

V与I的一次方成正比；当K一定时，当V增大时，水头差增大，表明单位渗透途径上被转化成热能的机械能损失越多，即V与机械能的损失成正比关系；当V一定时，K越小，水头差越大，即K与机械能的损失成反比关系。

(3)

达西公式适用范围(2006-2-28)Re<1-10，层流，适用,地下水低速运动，粘滞力占优势；

Re>10-100，层流，不适用，地下水流速增大，为过渡带，由粘滞力占优势的层流转变为以惯性力占优势的层流运动；

Re>100，紊流，不适用。

达西定律的下限：地下水在粘性土中运动时存在一个起始水力坡度J0。当时及水力坡度J<J0时，几乎不发生运动。粘性土的渗透规律为：v=k（i-i0）图1-10渗透系数与水力坡度的实验关系（J.Bear）

2渗透系数、渗透率与导水系数

(1)渗透系数（K）(hydraulicconductivity)V=KI，当I=1时，V=K，即K在数值上等于渗流速度，具有速度的单位，它又可以称为水力传导系数，反映含水介质对渗流阻力大小的系数。常用单位：m/d，cm/s。

渗透系数是反映岩石透水性的指标，可以根据渗透系数的大小进行岩石透水性分级（表1-1）。表1-1岩石透水性划分岩土渗透性分级G50287-1999水利水电工程地质勘察规范岩体的结构分类PermeabilityCoefficient—Therateofflowofwaterthroughaunitcross-sectionalareaunderaUnitHydraulicGradientattheprevailingtemperature),oradjustedto15EC(59EF).[1]VerySlow–lessthan0.05inchperhour;[2]Slow–0.05to0.20inchperhour;[3]ModeratelySlow–0.20to0.80inchperhour;[4]Moderate–0.80to2.50inchesperhour;[5]ModeratelyRapid–2.50to5.0inchesperhour;[6]Rapid–5.0to10.0inchesperhour;and[7]VeryRapid–Morethan10.0inchesperhour.HydraulicConductivity(Ê)——thevolumeofwaterattheexistingkinematic

viscositythatwillmove,inunittime,underaunitHydraulicGradientthroughaunitareameasuredatrightangles

tothedirectionofflow,assumingthemediumisisotropicandthefluidishomogeneous.IntheStandard

InternationalSystem,theunitsarecubicmetersperdaypersquaremeterofmedium(m3/day/m2)orm/day(forunit

measures).

K的影响因素：①岩石的性质：粒度、成分、颗粒排列、充填状况、裂隙性质及其发育程度等，空隙大小起主导作用；②流体的物理性质：容重、粘滞性等。

(2)渗透率（intrinsicpermeability）

达西定律可表示为：式中——液体的密度(density)；

g

——重力加速度；

——动力粘度；thedynamicviscosityofthefluid——测压水头；（1-17）

k——描述多孔介质本身的渗透性能的常数，表示介质能使流体通过其本身的性能，它不随渗透液体的物理、力学性质而变化。表征岩层渗透性能的参数；渗透率只取决于岩石的性质，而与液体的性质无关，记为k。单位为cm2或D，1D=9.8697×10-9cm2。

管流公式：；缝流公式：

多孔介质：；裂隙介质：于是有：或（1-18）

达西（D）的定义：当液体的动力粘滞度为0.001Pa·s，压强差为101325Pa的情况下，通过面积为1cm2、长度为1cm岩样的流量为1cm3/s时岩样的渗透率，记为D。

尺度效应是指渗透系数与试验范围有关，随着试验范围的增大而增大的现象，K=K(x)。亦即抽水时间t长、降深s大的群孔抽水试验所得K较抽水时间t短、降深s小的抽水试验所得K大。

(3)导水系数（transmisivity）

Q=KMBJ Q=Q/B=KMJ=TJ（1-19）

式中T=KM，称为导水系数，反映含水层出水能力的水文地质参数，其物理意义是水力坡度为1时，通过整个含水层厚度上的单宽流量。它是定义在一维或二维流中的水文地质参数。单位：m2/d。图1-11导水系数的概念Transmissivity,alsoCoefficientofTransmissivity(ô)—Theabilityofanaquifertotransmitwater.TherateatwhichwateroftheprevailingkinematicviscosityistransmittedthroughaunitwidthoftheaquiferunderaunitHydraulicGradient.Itisequaltoanintegrationofthehydraulicconductivitiesacrossthesaturatedpartoftheaquiferperpendiculartotheflowpaths.Also,therateatwhichwateristransmittedthroughaunitwidthofanaquiferunderaunithydraulicgradient.Transmissivityvaluesaregiveningallonsperminutethroughaverticalsectionofanaquifer1footwideandextendingthefullsaturatedheightofanaquiferunderahydraulicgradientofoneintheEnglishEngineeringSystem;intheStandardInternationalSystem,transmissivityisgivenincubicmetersperdaythroughaverticalsectionofanaquifer1meterwideandextendingthefullsaturatedheightofanaquiferunderhydraulicgradientofone.Itisafunctionofpropertiesoftheliquid,theporousmedia,andthethicknessoftheporousmedia.AlsoseeCoefficientofTransmissivity.

3非线性运动方程

(1)Re>1-10，P.Forchheimer（1901）公式:

或式中的a，b由实验确定的常数,1.6≤m≤2。

(2)当a=0时，有Chezy公式：

（3）Ward（1964）公式：

式中，其中d2是颗粒直径。（1-20）（1-20a）（1-21）（1-22）1.3岩层透水特征及水流折射定律

1岩层透水特征分类(2006-3-3)（1）均质与非均质 根据岩层透水性随空间坐标的变化情况划分，若渗流场中，任意点都具有相同的渗透系数，或渗透系数不随空间坐标的变化而变化，则该岩层是均质的，反之则为非均质。岩石的非均质分两类，一类是渐变的，另一类是突变的。

均质岩层（Homogeneousstrata/aquifer）：渗流场中所有点都具有相同参数的岩层。

非均质岩层（inhomogeneous/heterogeneousstrata/aquifer）：渗流场中所有点不都具有相同参数的岩层，渗透系数K=K(x,y,z)，为坐标的函数。非均质分为两类，即渐变的和突变的。Homogeneity—Characteristicofamediuminwhichmaterialpropertiesareidenticalthroughout.Amaterialishomogeneousifitshydrologicpropertiesareeverywhereidentical.Althoughnoknownaquiferishomogeneousindetail,modelsbasedontheassumptionofhomogeneityhaveproventobevaluabletoolsforpredictingtheapproximaterelationshipinaquifersbetweendischargeandpotential.ContrastwithHeterogeneityHeterogeneity—Characteristicofamediuminwhichmaterialpropertiesvaryfrompointtopoint.ContrastwithHomogeneity.Ifhydraulicconductivityisconsistentthroughoutaformation,regardlessofposition,theformationishomogeneous.Ifhydraulicconductivitywithinaformationisdependentonlocation,theformationisheterogeneous.Whenhydraulicconductivityisindependentofthedirectionofmeasurementatapointwithinaformation,theformationisisotropicatthatpoint.Ifthehydraulicconductivityvarieswiththedirectionofmeasurementatapointwithinaformation,theformationisanisotropicatthatpoint.

（2）各向同性与各向异性根据岩层透水性与渗流方向的关系划分，若渗流场中，某一点的K与渗流方向无关，则该岩层是各向同性的，反之则为各向异性。

各向同性岩层（Isotropicstrata/aquifer）：渗流场中某一点的渗透系数不取决于方向，即不管渗流方向如何都具有相同渗透系数的岩层。

各向异性岩层（anisotropicstrata/aquifer）：渗流场中某一点的渗透系数取决于方向，渗透系数随渗流方向不同而不同的岩层。Isotropy

—Thatconditioninwhichamediumhasthesamepropertiesinalldirections.Anisotropy

—(1)Theconditionofhavingdifferentpropertiesindifferentdirections.(2)Theconditionunderwhichoneormoreofthehydraulicpropertiesofanaquifervaryaccordingtothedirectionoftheflow.

2渗透系数张量岩石的透水性是用渗透系数来衡量的。渗透系数实际上是个张量。

(1）对于各向同性介质，其中任一点的渗透系数值与渗流方向无关，是一个标量，水力坡度与渗流方向是一致的。此时，可以表示为如下表达式：

(2)对于各向异性介质，K与渗流方向有关，K不再是标量，水力坡度与渗流方向一般是不一致的。此时，可以表示为如下表达式：即可写成:（1-23）（1-24a）在二维空间中，即有v=K·J渗透系数是对称张量，即Kxy=Kyx，Kxz=Kzx，Kyz=Kzy。在各向异性介质中，水力坡度与渗流方向不一致，但在三个方向上两者是平行的，而且这三个方向称为主方向。主渗透系数（主值）是指沿主方向测得的渗透系数，用K1、K2、K3表示，有Kxx=K1，Kyy=K2，Kzz=K3，此时：（1-24b） （1-25）（1-26）3

层状岩层的等效渗透系数

(1)水流平行层面特点：水流为稳定流，岩层水平分布，各段流量之和等于各部分流量之和，且各段具有统一的水头，各段具有相同的水力坡度。在自然界中很常见的非均质岩层多是由许多透水性各不相同的薄层相互交替组成的层状岩层。当每一分层的渗透系数Ki和厚度面Mi已知时，可求出平行于层面的渗透系数Kp和垂直于层面的渗透系数Kv。图1-11层状岩层中平行于层面的渗流根据达西定律有：若把其视为整体时，有故水平岩层的等效渗透系数为：等效导水系数为垂直方向岩性渐变时，有（1-27）（1-28）

1-12层状岩层中垂直于层面的渗流

（1-29）

(2)水流垂直层面 特点：水流垂直层面运动，每段水流具有相同的单宽流量，且每段水力坡度不同。 由，由此推导出， 依次类推，有可见，取决于Ki最小的分层（阻力最大），Ki=0，则Kv=0。 另外，总是有。（1-30）

4突变界面的水流折射定律根据水流连续性条件，当水流斜向由一种介质进入另一种介质时，会发生折射。 如图所示：水流由K1介质进入

K2介质中，二者交界面上某一点的渗流速度和水头在两介质中的值依次为V1、V2和H1、H2。对于界面上的任一点应满足以下条件：由图中(见下页）几何条件有：

则有

（1-31）

讨论上式可以的出以下结论：（1）若K1=K2，则，表明在均质介质中水流不发生折射。 （2）若K1≠K2，而且K1，K2均不为0时，如，表明水流垂直通过界面时水流不发生折射。因为，则得到水流折射定律（渗流折射时必须满足的方程）：（1-32）（3）若K1≠K2，且K1，K2均不为0，，表明水流平行于界面时水流不发生折射。（4）当水流斜向通过界面时，介质的渗透系数越大，θ值也越大，流线也越靠近界面。介质相差越大，两角的差值也越大。 根据水流折射原理和达西定律，可以帮助分析流场的水动力条件的变化。Theanglesofrefraction(andthespacingofflowlinesinadjacentaquifersandconfiningbeds)areproportionaltothedifferencesinhydraulicconductivities(K)suchthat

1.4流网及其应用

1流网的概念

(1)流网：渗流场中由一组流线与由一组等势线（当容重不变时为一组等水头线）相交组成的网格。对各向同性介质组成正交网。FlowNet—AgraphicalrepresentationofflowlinesandEquipotentialLinesfortwo-dimensional,steady-stateground-waterflow.

流线（Streamline）渗流场内处处与渗流速度矢量相切的曲线。Streamline(Flowline)—(1)Alinethatisparalleltothedirectionofflowofafluidatagiveninstant.(2)Thepathfollowedbyaparticleofwaterasitmovesthroughasaturatedsoilmass.

地下水动力学中流线的概念和水力学中的概念是完全一致的。流线应是一根处处和渗流速度矢量相切的曲线。因此，流线簇就代表渗流区内每一个点的水流方向。2流函数方程

(1)流线的方程 根据上述定义，没有水流穿越流线。现在来研究描述流线的方程式。如图，在任一流线上取任意两点M(x,y)和M'(x+dx,y+dy)。M点的渗流速度矢量为v，它与它的两个分量Vx，Vy构成一个三角形MAB。自M'点作垂线Mb，并延长至a。图1-13流线当M与M'无限逼近时，弧线MM’

可用切线Ma来代替，故有Mb=dx，ab=dy。因为

MAB≈Mab，有以下等式成立流线方程

：(1-33a)

M和M’是任意流线上任选的两点。因此，上式对流线上的任一点都是正确的，可以把它看成是流线的方程，用它来描述流线。上面的流线方程无论对各向同性和各向异性介质都是适用的。在各向异性介质中，如果选取的坐标轴(直角坐标系)的方向分别与渗透系数的主方向一致，则上式变为：

对于各向同性介质，则式中的Kxx=Kyy=K。由于（1-33b）式只涉及一个点的水流情况，故也适用于非均质介质。

(1-33b)

(2)流函数方程设有二元ψ函数Ψ(x,y)，其全微分为:

若取这样一种函数，使

对其积分得：c=常数。表明沿同一流线，函数为常数，不同的流线则有不同的函数值。称函数c为流函数，又称Lagrange流函数，量刚为[L2T-1]。

(1-34)则(1-35)（3）流函数的物理意义 在无限接近的两条流线和上沿某等水头线取两个点a(x,y)和b(x+dx,y+dy)。自a、b分别做垂线和水平线，相交于c。见下图1-14。把式（1-34）和（1-35）代入上式，则得到：

通过两流线之间的单宽流量dq可看作是通过ac和bc的流量的代数和。将渗流速度分解则有：dq=vxac+vybc，但ac=dy，bc=-dx，所以有dq=vxdy-vydx(1-36)将（35）式在C1和C2区间积分得：由（1-37）可以得出：在平面运动中，两流线之间的单宽流量等于和这两条流线相应的流函数之差。在同一条流线上，dψ=0，q=0，C=常数。由达西定律和（1-34）式，有：将（1-38）中第一式对y求导，第二式对x求导，得到：

(1-37)(1-38)整理得：

(1-39)表明在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程，而在其他情况下，流函数均不满足该方程。

(4)流函数的特性①对于一给定的流线，流函数是常数。不同的流线有不同的常数值。流函数决定于流线。Y=c②在平面运动中，两流线之间的单宽流量等于和这两条流线相应的流函数之差。q=Y2-Y1③在均质各向同性介质中，流函数满足Laplace方程；而在其他情况下，流函数均不满足该方程。④在非稳定流中，流线不断地变化，只能给出某一瞬时的流线图。只有对不可压缩的液体的稳定流动，流线才有实际意义。

2.流网的性质

（1）在各向同性介质中，流线与等水头线处处垂直，流网为正交网格。由（1-38）式，得：消去K，得：等水头线

流线式中i，j——单位矢量。

(1-40)(1-41)在非均质各向同性介质中，上式亦成立。（2）在均质各向同性介质中，流网中每一网格的边长比为常数。

式中dl——相邻流线的间距；

ds——等势线的间距。通常取ds/dl=1，流网为曲边正方形。(1-42)(1-43)

(1-44) （3）若流网中各相邻流线的流函数差值相同，且每个网格的水头差值相等时，通过每个网格的流量相同。式中——网格相邻两等势线间的平均长度；

——网格相邻两流线间的平均宽度。 若上下游总水头差Hr=H1-H2，则m个水头带中每一网格的水头差为(1-45)

(1-46)(1-47)（4）若两个透水性不同的介质相邻时，在一个介质中为曲边正方形的流网，越过界面进入另一个介质时则变成曲边矩形。当，且时，3流网的绘制与应用a.流网的绘制可采用解析法、各种模型试验法、徒手绘渐进法绘制流网。（1）确定边界条件①河渠的湿周为一条等水头线。②平行于隔水边界可绘制流线。③无入渗补给及蒸发排泄，有侧向补给，做稳定运动时，地下水面是一条流线。④有入渗补给时，地下水面既不是流线也不是等水头线。（2）根据已经确定的边界条件，根据流网的性质可以判定另一条件，作出流网。（3）根据流网的性质绘制，各向同性含水层中，流线与等水头线处处正交，网格边长比为常数。（4）在同一渗流区内，除奇点外，流线与等水头线各自不能相交；如遇透水性大的透镜体时，则流线向该点汇集，反之则绕行。流线穿越突变界面时，应用水流折射定律绘制。b.流网的应用（1）定量计算渗流区中的渗流运动要素①水头H、渗透压强P②水力梯度J、渗流速度v

(1-48)(1-49)③流量q

式中m、n——水头带数目、流带的数目。

（2）定性分析渗流区的水文地质条件及其变化。

（3）主要用于解决稳定渗流问题。(1-50)Figure.Gravitydamonperviousfoundationoffinitedepth(CourtesyofMcGraw-HillBookCompany)FromSeepageAnalysisandControlforDams，EngineerManual，19931.5渗流连续方程

1含水层的状态方程

含水层的状态方程主要包括地下水的状态方程和多孔介质的状态方程。

1）地下水的状态方程

Hooke定律：

式中：E——体积弹性系数（体积弹性模量），20℃时，

E=2.1×105N/cm2。其倒数为压缩系数。 等温条件下，水的压缩系数(coef.ofcompressibility)为（1-51）CompressibilityofWaterFluidsarecompressible,e.g.,anincreaseinpressuredp

willleadtoadecreaseinthevolumeofagivenmassofwater(Vw).Thecompressibilityofwater(β)isdefinedas:wheredVw

isthechangeinthevolumeofthewater,Vw

istheoriginalvolumeofthewater,anddp

isthechangeinpressure.Thenegativesignisnecessarytoensureapositive积分（p→p0，V→V0）改写得：体积：密度：按Taylor级数展开，得到近似方程：和因（质量守恒），故有（1-52）（1-53）（1-54）（1-55）

（1-56）

2）多孔介质的状态方程

多孔介质压缩系数（Coefficientofcompressibility）表示多孔介质在压强变化时的压缩性的指标，用表示。多孔介质压缩系数的表达式为：式中，Vb＝Vs+Vv——多孔介质中所取单元体的总体积；

Vs——单元体中固体骨架（solidmatrix）体积；

Vv——为其中的孔隙（voids）体积。——介质表面压强；

（1-57）CompressibilityofaPorousMediumThecompressibilityofaporousmedium,α,isdefinedaswhereVT

isthetotalvolumeoftheporousmedium,dVT

isthechangeinthevolumeoftheporousmedium,anddσe

isthechangeineffectivestress.RecallthatVT=Vs+Vv,whereVs

isthevolumeofthesolidsandVv

isthevolumeofthewater-saturatedvoids.Anincreaseineffectivestressdσe

leadstoareductiondVT

inthetotalvolumeoftheporousmedium.Ingranularmaterialsthereductioninthetotalvolumeoftheporousmediumisalmostentirelyduetograinrearrangement.Ingeneral,VT=Vs+Vvbutthevolumechangeforindividualgrainsduetothechangeineffectivestressisnegligible(inotherwords,individualgrainsarealmostincompressible).Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb式中——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标，s<<p；

——多孔介质中孔隙压缩系数（Compressibilityoftheporesofaporousmedium），表示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。

n——多孔介质的孔隙度。因，故。

(1-58)

(1-59)

3贮水率和贮水系数考虑承压含水层受力情况，取一水平横截面AB，按Terzaghi（1883~1963）观点：式中——上覆荷重引起的总应力（totalstress）；

——作用在固体颗粒上的粒间应力(intergranularstress)；

——横截面面积中颗粒与颗粒接触面积所占的水平面积比；

p——水的压强。Terzaghi令

=称为有效应力（effectivestress）。很小，(1-)p≈p，因此有：（1-60）（1-61）图1—1一个可压缩的承压含水层（J.Bear）在水位下降为H时，有。即作用于固体骨架上的力增加了H。作用于骨架上力的增加会引起含水层的压缩，而水压力的减少将导致水的膨胀。含水层本来就充满了水，骨架的压缩和水的膨胀都会引起水从含水层中释出，前者就象用手挤压充满了水的海绵会挤出水—样。因Vs=constant，故只在垂直方向上有压缩，故上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关系。水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚度为lm(即体积为lm3)的含水层，考察当水头下降1m时释放的水量。此时，有效应力增加了H＝g×1=g。介质压缩体积减少所释放出的水量（dVb）为与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和（1-62）（1-63）上述二者之和所释放出的水量为或式中s——贮水率[释水率]（specificstorativity），量纲[L-1]，为弹性释水[贮水]；式中M——含水层厚度(m)； *——贮水系数（storativity）。 *=sM贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水动力学计算中具有重要的意义。（1-64）贮水率表示含水层水头变化一个单位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）以及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储存）的弹性水量。单位1/L。贮水系数又称释水系数或储水系数，为含水层水头变化一个单位时，从底面积为一个单位，高度等于含水层厚度的柱体中所释放（或贮存）的水量；指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。

贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的水文地质参数，既适用于承压水也适用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究整个含水层厚度上的释水情况时，用贮水系数来体现。

*范围值：n×10-3~n×10-5；

范围值：0.05~0.30。实际测出的值往往小于理论值。

Storativity

—Thevolumeofwaterthatapermeableunit,i.e.,aquifer,willabsorborexpelfromstorageperunitsurfaceareaperunitchangeinhead.Inanunconfinedaquifer,thestorativityvalueisequaltotheSpecificYield.Thespecificyieldoftheaquifercanbeusedtoestimatethetimebetweenwhenpumpingbeginsandequilibriumgroundwaterconditionsarereached.

上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现象。弹性释水与重力给水:对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给出存在着不同。潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降部位引起重力排水，用给水度表示重力排水的能力；在下部饱水部分则引起弹性释水，用贮水率*表示这一部分的释水能力。必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。 承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这一过程是瞬时完成的。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数*表示这种释水的能力。

4.导压系数描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等于含水层的导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。量纲为L2T-1。

2.渗流连续方程由于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。 在渗流场中任意取一点P(x,y,z)，以P为中心沿直角坐标轴取一微小的六面体，体积为，称为特征单元体，设单元体无限小，但保证单元体穿过介质骨架和空隙。设vx，vy，vz分别为该点在X、Y、Z方向上的渗流速度。Abcd面中点。沿X轴方向流入：流出：利用Taylor级数展开，略去二阶导数以上的高次项，有：单元体本身水质量在Δt时间内的变化量为液体密度。由质量守恒定律,得到渗流的连续性方程:=同理

或上式即为非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场中任意体积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于该体积中水质量的变化量。它表达了渗流区内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律。若把含水层看作刚体，=constant，n不变，即水和介质没有弹性变形或渗流为稳定流，则渗流连续性方程为（1-65）（1-66）

上式表明，在同一时间内流入单元体的水体积等于流出的水体积，即体积守恒。连续性方程是研究地下水运动的基本方程，各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程和反映质量守恒定律的方程建立起来的。1.6渗流基本微分方程1.承压水运动的基本微分方程基本假设：（1）单元体体积无限小，为承压含水层；（2）含水层侧向受到限制，x、y为常量,z为变量,存在垂向压缩，水的密度、孔隙度n和随压力p而变化；（3）由引起的变化

远小于单元体内液体质量的变化量（含），可忽略不计；（4）水流服从Darcy’sLaw；（5）K不因的变化而变化；（6）s和K也不受n变化（由于骨架变形）的影响。流体的质量：由于含水层的侧向受到限制，可假设x、y为常量，只考虑垂向压缩。于是，只有水的密度.孔隙度n和单元体高度z三个量随压力而变化，于是有：由含水层状态方程，==（1-67）因为所以有，Z为定值，则则可得到：于是连续性方程（1-65）变为：又则（1-68）（1-69）（1-70）令则根据连续性原理有：则有：即：将代入整理得：所以有上式为三维流微分方程，也可写成：