六年级数学小学数学教材教法第一册1

小学数学教材教法(第一册)说明教材是主要指教材如何编写，教法是指如何教，当然还有学法，就是如何学。学习小学数学所必须掌握的整数、整数的性质、分数、小数、百分数和量的计算等根底理论知识。是小学一至三年级或主要是第一学段的内容。不是按小学的学习方式来学这些内容，是小学学的关于数的根底理论知识，也称算术理论。根本不涉及如何教的问题。〔这在“小学数学课程与教学论〞这门课讲授〕

看小学数学课程内容的构成

我国传统的小学数学内容

１、认数与计算２、量与计量３、几何初步知识４、代数初步知识５、统计初步知识６、比与比例７、应用题

1。数、算与关系：认数、写数、数位、位值、小数、分数、百分数、代数、比例、＋－×÷、负数；比大小、因数倍数质数合数2。计量：时间、人民币、长度面积体积、重量3。空间图形：认、观察、测量、画、形、体4。方法：运算律、规律、生活问题5。统计：分类、可能性、大小、统计表

数与代数空间与图形统计与概率实践与应用新课程的小学数学内容数与代数

新课程中小学数学的

一、内容结构

第一学段〔1～3年级〕第二学段〔4～6年级〕第三学段〔7～9年级〕

●数的认识●数的认识●数与式

●数的运算●数的运算●方程与不等式

●常见的量●常见的量●函数

●探索规律●探索规律

在第一学段中，学生将学习万以内的数、简单的分数和小数、常见的量，体会数和运算的意义，掌握数的根本运算，探索并理解简单的数量关系。在第二学段中，学生将进一步学习整数、分数、小数和百分数及其有关运算，进一步开展数感；初步了解负数和方程；开始借助计算器进行复杂计算和探索数学问题；获得解决现实生活中简单问题的能力。在第三学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，开展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。二、教学内容的变化与传统内容相比，“数与代数〞局部加强的内容：1)强调通过实际情境使学生体验、感受理解数与代数的意义。2)增强应用意识，渗透数学建模思想。3)加强学生的自主活动，重视对数与代数规律和模式的探求。4)重视计算器和计算机的使用，并提出了加强对近似计算和估算的要求。“通过实际情境使学生体验、感受理解数与代数的意义〞第一学段案例例1对于50，98，38，10，51这些数，请用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用“＞〞或“＜〞表示它们的大小关系。例21200张纸大约有多厚？1200名学生大约能组成多少个班级？1200步大约有多长？例3估计一张报纸一个版面的字数。例4请你说出与日常生活密切相关的一些数及其作用。例1一个正常人心跳100万次大约需要多长时间？100万小时相当于多少年？100万张纸有多厚？例2某学校为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生；9713321表示“1997年入学的一年级三班的32号同学，该同学是男生〞。那么，9532021表示的学生是哪一年入学的？几年级几班的？学号是多少？是男生还是女生？例3你是否喜欢数学？如果用5，4，3，2，1分别代表从最喜欢到最不喜欢之间的5种程度，你选哪个数？说明理由。如果小明选择2，说明什么？如果小立比较喜欢数学，他最可能选几？“通过实际情境使学生体验、感受理解数与代数的意义〞第二学段案例例3在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫的次数，用这个次数除以7，然后再加上3，就得到当时的温度。温度〔℃〕与蟋蟀每分叫的次数之间的关系是：温度=蟋蟀每分叫的次数÷7＋3。试用字母表示这一关系。例5对代数式3a作出解释。“通过实际情境使学生体验、感受理解数与代数的意义〞第三学段案例“对数与代数规律和模式的探求〞案例例8在以下横线上填上适宜的图形或数字，并说明理由。1，1，2，1，1，2，____，_____，____；例9

完成序列，并说明理由。

0.5,1.5,4.5，_____。例10

联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？“对数与代数规律和模式的探求〞案例例4观察以下图形并填表:

梯形个数123456...n周长581114...“运用计算器探索数学规律〞案例1.任意给定四个互不相同的数字，组成最大数和最小数，并用最大数减去最小数。对所得结果的几个数字重复上述过程，你会发现什么规律？2.计算：9999999999×9999999999+9999999999“近似计算和估算〞案例例7估计每分脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。例6

估测一粒花生的质量。说明可以通过称50粒花生的质量进行估测，也可以通过数100克花生的粒数进行估测。例2估计与0.5哪个大。

减弱的方面：1)降低运算的复杂性、技巧性和熟练程度的要求。2)减少公式，降低对记忆的要求。3)降低了对于一些概念过分“形式化〞的要求。

小学数学课程内容的根底理论第一章整数的概念及其四那么运算一、整数的概念和计数法

〔一〕整数的概念1．自然数的产生和概念自然数是在人类的生产和生活的实践中逐渐产生的，具体经历了以下过程：一一对应→等价集合→标准集合→使用符号定义：自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。与小学数学中自然数的含义一样。自然数表示有限集合中元素的个数零是一切空集的标记。说明：一个物体也没有，就有零表示。但数系进一步扩大以后，零不仅表示没有，还可以作为某些数量的界限。

A与B等价的概念

任给两个集合A和B，如果存在规那么f，根据f，对于每个a∈A，都对应于唯一确定的b∈B；反之，对于每一个b∈B，根据f，有唯一确定的a∈A与之对应，那么称集合A与B的元素之间在f之下建立了一一对应关系。或称A与B是等价集合，简称A与B等价(等势)，记为A～B。2。自然数的大小定义设自然数a和b分别表示有限集合A和B的元素的个数，那么〔1〕假设A～B，那么a=b;〔2〕假设A´是A的真子集，A´～B，那么a﹥b;(3)假设B´是B的真子集，A～B´，那么a﹤b;3。自然数列及其性质零添上一就得到一，一再添上一就得到二，二再添上一就得到三，等等。所以一是自然数的单位。从零起，依次添上一个单位，就得到从小到大顺序排列着的一列数：零、一、二、三……定义：由全体自然数依次排列的一列数叫做自然数列性质：〔1〕有始最前面。。。〔2〕有序前仆后继。。。〔3〕无限无限、大小。。。4．基数和序数自然数作为一类等价的有限集合的标记，可以表示集合中元素的个数，通常称为基数。另一方面，由于自然数在自然数列里是有序的，所以自然数还可以用来给集合中的元素编号，表示某个有序集合中每个元素所占的位置，通常称为序数。自然数有两种意义：一个数当用来表示集合中元素的个数时，用的是基数的意义；一个数当用来表示集合中元素的排列次序时，用的是序数意义。即：基数意义：用来表示集合中元素的个数。序数意义：用来表示集合中的元素排列次序。(二)十进制计数法1．十进制计数法“满十进一〞的计数方法，就是十进制计数法。P41〔2〕按照十进制计数法，我国是这样给自然数命名的：(1)自然数列的前十个数中，从第一个到第十个各给一个单独的名称，即零、一、二、……、九。(2)按照“满十进一〞四位一级规定计数单位，个级：个，十，百，千；万级：万，十万，百万，千万；亿级：亿，十亿，百亿，千亿。(3)其他自然数的命名，都由十个有单位名称的自然数和计数单位组合而成。如：一个数含有五个万，二个千，四个百，三个十，七个一，就读做：五万二千四百三十七；对于个级以上的数，每一级的级名只在这一级的末尾给出。如：一个数含有六个千万，四个百万，三个十万，一个万，就读做：六千四百三十一万。一个数除每一级末尾有空单位外，中间的几个单位如果是空的就称“零〞。无论空几个都只读一个零。如一个数含有五个亿，六个千万，二个万，三个十，就读作五亿六千零二万零三十。世界上许多国家的命数法不是四级一位，而是三位一级。从低到高依次是：个级：个，十，百；千级：千，十千，百千；密级：密，十密，百密等等。通俗地说：十进制计数法就是数数的方法。2．用书写符号表示数的方法。数字：用来记数的符号，也称为数码。阿拉伯数字共以下十个0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。位值原那么：用阿拉伯数字记数是把所用的数字排成一横行，每个数字所在的位置不同，表示所含的计数单位就不同，从右起第一位上的数字表示几个一，这一位叫做个位；第二位上的数字表示几个十，这一位叫做十位；以下依次是百位、千位、万位--------用这种方法记数，每个数字除了他本身表示的数值以外，还有位置值，这就是记数的位置原那么。数位：应用位置原那么记数时，数字所占的位置：个位、十位、百位……统称为数位位数：用几个数字写出的自然数(最左端数字不是零)就叫做几位数。一般地说，记数法就是用阿拉伯数字写数的方法。除了国际通用的阿拉伯数字外，我们通常见到其他的数字。如：中国数字、罗马数字。教材P6根据十进制的记数法和我国的命数法，可以得到如下的读数法：教材P7(1)四位和四位以内的数，从最高位起，顺着位次一位一位读出来，如：483读作＿＿＿＿2596读作＿＿＿＿＿＿(2)四位以上的数，先从右向左四位分级，再从最高位起，顺次读出各级里的数和它们的级名。如：24543698读作＿＿＿＿＿＿3572834512读作＿＿＿＿＿＿〔3〕一个数末尾的“0〞不读出来，每一级末尾的零也不读出来；其他的数位上有一个“0〞或连续几个“零〞，都只读一个“零〞，如：350020800040300505040025000分别读作3。数的大小比较根据位值原那么教材P7作业P101，4，5，6，9二、整数的四那么运算(一)整数的加法1、加法定义(1)定义：设A，B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是数a和数b，如果集合A与B的并集是C，那么并集C的基数c就叫做a与b的和，求两个数的和的运算叫做加法，记作：a+b=c。读作“a加b等于c〞。特别地：a+0=a

0+a=a

0+0=0说明：如何加，就是数集合中元素的个数，加法的封闭性，和的唯一性。(2)加法定义的推论：a+b≥aa+b≥b两个数的和不小于每一个加数。分析：用加法的定义，并集、数的大小定义证明：因为A∪B包含A，包含B所以a+b≥aa+b≥b(3)几个数的和：求几个数的和，就是先求出第一个数与第二个数的和，再求所得的和与第三个数的和，等等，如：a+b+c+d=[(a+b)+c]+d这样可将任意一个多位数写成不同计数单位的数的和的形式，如：456=4百+5十+6=3百+15十+6=3百+14十+16等等。2．加法的运算性质(1)加法交换律：a+b=b+a。(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。证明：用加法的定义、并集的运算性质即有：假设干个数相加，任意交换加数的位置，或选取其中的任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相加，它们的和不变。(3)加法交换律和结合律推广到假设干个数相加，证明：用数学归纳法略例试证a+b+c+d=b+[(c+a)+d]证明：a+b+c+d=[(a+b)+c]+d()=[a+(b+c)]+d()例试证a+b+c+d=b+[(c+a)+d]=[(b+c)+a]+d()=[b+(c+a)]+d()=b+[(c+a)+d]()进一步可以得到如下性质：

(a1+a2+---+an)+(b1+b2+---+bn)=(a1+b1)+(a2+b2)+---+(an+bn)3.加法的运算法那么(1)一位数的加法：两个一位数相加，可以用数数的方法求出和。通常是把两个一位数相加的结果编成加法表，在计算时直接使用这些结果。(2)多位数的加法：多位数加法的竖式运算法那么是：数位对齐，个位加起，满十进一。例：456+917---------1373例：456+917---------1373法那么的依据说明如下：456+917=(4百+5十+6)+(9百+1十+7)=(4百+9百)+(5十+1十)+(6+7)=(4百+9百)+(5十+1十)+(1十+3)=(4百+9百)+(5十+1十+1十)+3=(1千+3百)+7十+3=1千+3百+7十+3=1373见教材P14类似的例子由此可看出来，(1)多位数加法的法那么是根据加法交换律和结合律推出的，而进行多位数加法的根底那么是一位数加法，(3)竖式是多位数加法的简便形式。(2)多位数相加时,是分别把相同的计数单位的数相加,哪一个计数单位上的数满十,就向高一级的计数单位进一.(二)整数减法1．减法的定义(1)定义两个数a，b，求一个数c，使c与b的和等于a，这种运算叫作减法，读作“a减b等于c〞记作：a-b=c。a叫做被减数，b叫做减数，c叫做a与b的差，符号〞-〞叫做减号。集合的观点看。。。，差集，减法与加法的关系特别地：当b=a时因为0+a=a所以a-a=0当b=0时因为a+0=a所以a-0=a当a=b=0时因为0+0=0所以0-0=0从定义可以看出，整数集对于减法是不封闭的。(2)减法定义的推论：(a-b)+b=a(c+a)-a=c证明见教材P162．减法的运算性质(1)a-(b+c)=a-b-c(2)a-(b-c)=a-b+c或a-(b-c)=a+c-b(3)假设ai≥bi(i=1，2，---n，ai，bi可以是0)那么有(a1+a2+---+an)-(b1+b2+---+bn)=(a1-b1)+(a2-b2)+---+(an-bn)用数学归纳法证明见教材P17证明见教材P163．减法的运算法那么(1)一位数或两位数减去一位数且一位数的减法，一般是根据减法定义，利用加法来计算。如：根据5+4=9得出9-4=5(2)多位数减法多位数竖式运算法那么是数位对齐，个位减起，哪一位不够减向前一位借一再减。例：485-169---------316法那么的依据说明如下：485-169=(4百+8十+5)-(1百+6十9)=(4百+7十+15)-(1百+6十+9)=(4百-1百)+(7十-六十)+(15-9)=3百+1十+6=316由此可见，多位数减法的法那么是根据减法运算性质(3)推出的，一位数减法是多位数减法的根底，竖式是多位数减法的简便形式。多位数相减时,是分别把相同的计数单位的数相减,哪一个计数单位上的数不够减,就从高一级的计数单位上的数退一再减.作业P201，2，3〔1〕，5〔1〕(三)整数乘法1．乘法的定义。(1)定义：b(大于1的整数)个相同加数a的和c叫做a与b的积，就是：c=a+a+a+---+a(b个a)求两个数的积的运算叫做乘法，记作：a×b=c或a·b=c也可记作b×a=c或b·a=c读作“a乘b等于c〞或“b乘a等于c〞说明：以前大纲和教材中，有乘数与被乘数之分，现在新课程中没有了，但在初中有“乘以〞和“乘〞的区别。补充：当b=1时，a×1=a当b=0时，a×0=0(2)几个数的积。abcd=[(ab)c]d

2．乘法的运算性质(1)乘法交换律：a×b=b×a(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)(3)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc或c(a+b)=ca+cb(4)其他性质：乘法交换律，结合律的推广；乘法分配律的推广；假设干个数的和与假设干个数的和相乘的性质；(a-b)c=ac-bc或c(a-b)=ca-cb证明见教材P22-P243．乘法的运算法那么(1)表内乘法两个一位数相乘，可以根据乘法的定义用同数连加的方法求出它们的积，通常是把所有两个一位数相乘和它们的结果编成乘法口诀或乘法表，计算时直接利用这些结果求出结果。(2)多位数乘法多位数乘一位数的法那么：先用一位数去乘多位数每一位上的数，哪一位上乘得的数满几十，就向它的前一位进几，最后把每次乘得的结果相加。如：364×2--------728法那么的依据说明如下：364×2=(3百+6十+4)×2=6百+12十+8=6百+(1百+2十)+8=(6百+1百)+2十+8=728由此可知，多位数乘一位数的法那么是乘法分配律推广的应用，归结为表内乘法来计算为了简便，通常来用竖式来计算。多位数乘一个数字后面带有假设干个零的数的乘法法那么：先用这个因数中零前面的一位数去乘多位数，再在所得的积后面填写因数末尾所有的零。如：234×300=234×〔3×100〕=〔234×3〕×100=702×100=70200

多位数乘多位数：先用其中一个因数各个数位上的数去乘另一个因数的每一位，再把所得的结果相加。如：532×461=532×〔400+60+1〕=532×400+532×60+532×1=212800+31920+532=245252写成竖式532461×——————53231922128———————245252(四)整数除法1．除法的定义(1)定义：两个数a，b，求一个整数q，使q与b的积等于a，这种运算叫作除法，记作：a÷b=q。读作“a除以b〔b除a〕等于q〞，a叫做被除数，b叫做除数，q叫做的商，符号“÷〞叫做除号。特别地：当b=a≠0时，因为a×1=a所以a÷a=1。当b=1时，因为1×a=a所以a÷1=a。当a=0，b≠0时，因为b×0=0所以0÷b=0。(规定除数b不能够为0。)(2)除法定义的推论(a÷b)×b=a(a×b)÷b=a。2．有余数的除法

定义：两个数a，b(b是正整数)，要求两个整数q，r，使q，r满足以下条件：a=bq+r，且r<b。这样的运算叫作有余数除法，记作：a÷b=q(余r)或a÷b=q------r。关于带余除法的定理，在数论中已讲除法与减法的关系，可由a=bq+r，得a-bq=r说明3．除法的运算性质(1)a÷(b·c)=a÷b÷c(bc︱a)(2)a÷(b÷c)=(a·c)÷b或a÷(b÷c)=(a÷b)·c(b|a)(3)(a·b)÷c=(a÷c)·b(c|a)或(a·b)÷c=a·(b÷c)(c|b)(4)(a÷b)÷c=(a÷c)÷b(bc|a)(5)假设b|ai，i=1，2，3,-----n，那么(a1+a2+---+an)÷b=a1÷b+a2÷b+---+an÷b改错：500÷150=500÷(50×3)=500÷50÷3=10÷3=3(余1)4．除法的运算法那么(1)表内除法被除数，除数都是一位数，或被除数是两位数，除数和商都是一位数的除法，可以用乘法口诀直接求出商。例如6÷2，因为二三得六，所以商3，即6÷2=3；又如32÷8，因为四八三十二，所以商4，即32÷8=4。(2)多位数除法法那么是：从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位，如不够商1，就多看一位；除到被除数哪一位，就把商写在哪一位的上面，如不够商1，就在这一位上商0，每次除得的余数必须比除数小。法那么的依据说明如下：2496÷24=(2千+4百+9十+6)÷24=(24百+96)÷24=24百÷24+96÷24=1百+4=104作业P361，4，7，10，11〔1〕。〔五〕整数四那么应用题1.四那么应用题的一般概念四那么混合运算式题加、减、乘、除四种运算，统称为四那么运算。分级，混合运算顺序，大中小括号的应用的顺序。〔1〕根据日常工作和生产中实际问题，用文字、语言、图形述出一些数量和未知数量，以及它们之间的关系，运用四那么运算求出未知数量的数学题，叫做四那么应用题。〔2〕应用题满足的条件每个应用题都由条件和问题两局部组成。1〕当条件是必要且充分的时候，应用题就有一个确定的答案。实际问题数学问题或数学模型〔四那么混合运算式〕转化————2〕当条件不充分时，应用题就没有确定的答案。如：“小红和田力共做红花12朵，问小红做红花几朵？〞“船上有6头牛，40只羊，问船长多少岁？〞3〕当应用题的条件过剩时，假设这些条件不矛盾，就有确定的答案；假设条件之间有矛盾，就得不到答案。2。解容许用题的过程小学生解容许用题的思维过程，就是先要把实际问题抽象为数学模型，再由数学模型的解得出实际问题的解。例如，“有15条金鱼，每个鱼缸里放5条，要用几个鱼缸?〞解答此题首先要把实际问题“要用几个鱼缸?〞抽象成为数学问题：“15里面有几个5〞(把实际问题数学化)，再根据除法的意义转化成除法算式：“15÷5〞(得到一个具有一般意义的数学模型)。即：“有15条金鱼，每个鱼缸里放5条，要用几个鱼缸?〞————实际问题15里面有几个5？—————数学化15÷5—————数学模型=3〔个〕—————数学模型的解答：要用3个鱼缸—————实际问题的解〔1〕理解题意〔2〕分析〔3〕列式计算〔4〕检验作答解应用题一般步骤例新兴农具厂装配车间要完成690个喷雾器的装配任务，前8天每天装配45个。经过技术改革，剩下的任务6天就完成了，这6天平均每天装多少个？〔1〕理解题意这题讲的是农具厂装配喷雾器的事，需要完成的任务是690个，前8天已经完成了一局部，剩下的6天完成，问的这6天平均每天装多少个。可以摘录条件和问题如下：690个{前8天每天45个后6天完成剩下的每天？个〔2〕分析要求后6天平均每天装多少个，就必须知道这6天一共要装多少个。这可以从总任务中去掉前8天已经装的个数来求得。根据题中给出的条件，可以求出前8天已经装的个数。因此，这道题可以从这里开始逐步得到解答。〔3〕列式计算分步列式：1〕前8天装了多少个？45×8=360〔个〕2〕还剩下多少个没有装？690-360=330〔个〕3〕后6天平均每天装多少个？330÷6=55〔个〕列综合算式：〔690-45×8〕÷6=〔690-330〕÷6=330÷6=55〔个〕4〕检验作答在计算出结果之后，可以根据前面的分析检查一遍每一步的列式和计算是否都正确，也可以把求得的结果作为条件，按照原题给的数量关系，倒过来计算，检查得数是否和其他条件相符。55×6=330〔个〕690-330=360〔个〕360÷8=45〔个〕答：后6天平均每天装配55个。3。简单应用题〔1〕直接根据运算的意义列式解答的简单应用题

例1小青有5本图书，小红有7本图书。他们一共有多少本图书？例2~例5，教材P48说明以上是求两数的和；两个加数的和与一个加数，求另个加数；求假设干个相同数量的和；两个因数的积和其中的一个因数求另一个因数；〔2〕通过转化，归结成与四那么运算的意义相同的数量关系，再根据运算的意义列式解答的简单应用题。教材P48~494。复合应用题复合应用题是指需要两步或两步以上计算才能得答案的应用题。解题的思路概括起来可分一般和特殊两种解题思路。教材P50~52例鸡兔同笼，头共有8个，脚共有26支，问鸡兔分别有多少只。解析假设让全部兔举起前脚，那么踩在笼底的共有脚2×8=16〔支〕，举起来的脚共有26-16=10〔支〕，所以兔共有10÷2=5〔只〕，鸡共有8-5=3〔只〕。此题属特殊的解题思路。如教材P53，例2作业P563，4，8小学数学课程内容的根底理论第二章分数和小数的概念及其四那么运算一、分数1．分数的定义〔1〕分数的产生：度量与整数除法的需要〔2〕分数的定义：形如〔m和n都是正整数，且n>1〕的数叫做分数。分数在度量中的实际含义是：把B作为单位“1〞平均分成n份，这样的一份叫做B的n分之一，记作；再用作为新的度量单位去度量A，如果A中恰好含有m个，度量的结果就是。我们把叫做分数的分数单位。如果把度量单位看作单位“1〞，那么分数可以理解成：把单位“1〞平均分成n份，表示m个这样的一份的数。其中，分母n表示把单位“1〞平均分的份数，分子m表示有这样的多少份。这与小学数学教材中关于分数的定义是一致的。分数还有另一种含义，就是表示两个数相除的结果。例如：把3个同样的饼平均分给4个人，求每人分得多少个。这时由于每人分不到1整个，我们可以先把每个饼平均分成4份，每份是1个饼的；再依次把每个饼平均分给4个人。使得每人每次都得1个饼的，3次就分得3个，也就是1个饼的。这就是说分数是3÷4的结果。因此，分数还可以理解为：把m个单位平均分成n份，表示这样一份的数，也就是说可以表示m除以n的结果。〔3〕分数与除法的关系：=m÷n即：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数的值相当于商，在除法中除数不能是零，在分数中分母也不能为零。分数与除法既有联系又有区别，除法是一种运算，而分数是数。由此可见，从整数到分数是数系的一次扩充，根据数系扩充的原那么(教材P98)，应对分数定义做如下补充：当n=1时，==m；当m=0时，==0。这样，分数的定义可以扩充为：形如〔m和n都是整数，且n≠0〕的数叫做分数。2。分数的相等与不等定义见教材P98即有两个分数和，如果，那么。定义见教材P99即有两个分数和，如果，那么如果，那么。例1比较和，的大小。解3．分数的根本性质如果分数的分子和分母同时乘〔或除以〕一个不等于零的数，分数的大小不变。即：〔1〕=〔m是正整数〕

〔2〕=(m是正整数，且m|a，m|b)

证明4。约分和通分〔1〕约分把一个分数的分子、分母分别除以它们的公约数〔1除外〕，叫做约分。分子和分母互质的分数叫做既约分数〔或最简分数〕。约分时，通常要约成既约分数。约分有逐次约分法和一次约分法两种。〔2〕通分把几个数化成分母相同的分数，而不改变每个分数的大小，叫做通分。公分母真分数和假分数与小学教材中的定义一致。通分涉及求最小公倍数一次约分涉及求最大公约数。3．分数的四那么运算分数四那么运算的含义与整数四那么运算相同，整数四那么运算的性质可以推广到分数四那么运算，但是需要说明的是：〔1〕分数四那么运算的定义方式与整数四那么运算不同，在定义里包含了运算法那么。例如：分数加法的定义：如果有两个分数和，那么+=求两个分数和的运算叫做分数加法。分数的加法法那么、带分数、分数的减法及减法法那么见教材P104~110〔2〕分数乘法和除法有其特殊的含义。一个数与分数相乘可以表示求这个数的几分之几。

一个数除以分数，如，就是求一个数使得：•=或•=。因此，计算÷，就是一个数的是，求这个数；或求是的几分之几。自学教材P110~118作业P1023，4，8P1231，5，84。分数的应用题通常说的分数应用题是随着分数乘法的含义而扩展产生的分数应用题，而要从分数乘法的含义和乘、除法的关系入手来解。〔1〕根本的分数应用题这类题，一是知道一个数乘分数的含义就是求这个数的几分之几；二是根据分数除法是分数乘法的逆运算，可以反过来用除法解决一个数的几分之几是多少求这个数的问题和求一个数是另一个的几分之几的问题。见教材P127例1，2，3其他再复杂的分数应用题大都是以上为根底开展而来。〔2〕稍复杂的分数应用题这类题形式上是多了一种或几种运算。在解答这类题时，最重要的是在每一步计算中弄清以哪个数量作为单位1，以及题中的数量或要求的数量是单位1的几分之几。见教材P127~129例4，5，6〔3〕特殊的分数应用题就是所谓的工程问题，把工作量看着单位1见教材P129例1~2作业P1301，3，7

二、小数1．小数的概念〔1〕十进分数：分母是10n〔n为自然数〕的分数，叫做十进分数。例如。。。十进制的分数单位自然数的计数单位1，10，102，103，。。。个，十，百，千。。。。单位序列。。。，103，102，10，1，〔就是特殊的分数〕十进制分数，可表为不同计数单位和的形式。如=32.156(采用十进制的位值原那么，可写成如下)整数与分数局部之间用“.〞〔2〕小数的定义：根据十进位制的位值原那么，把十进分数改写成不带分母的形式的数叫做小数。从定义可以看出：

a.小数是十进分数的特殊形式，即它们是等价的。

b.定义不包括无限循环小数。

2．小数的性质性质一：在小数的未尾添上或去掉几个零，小数的大小不变。

性质二：把小数点向右〔左〕移动n位，小数就扩大〔缩小〕10n倍。举例说明教材P138,P139例3．小数的四那么运算由于小数是特殊的分数，因此小数四那么运算含义与分数四那么运算含义相同，整数四那么运算性质也可推广到小数四那么运算。〔1〕小数加减法法那么：把加数〔或被减数、减数〕的小数点上下对齐，然后按照整数加〔减〕法的法那么计算，并在所得的结果里对着加数〔或被减数、减数〕的小数点，点上小数点。〔1〕小数加减法法那么：例教材P141例1~4〔2〕小数乘法法那么设两个小数α、β，且α有m位小数，β有n位小数，即α=，β=那么α•β=•=由此可知，两个小数相乘，先不管他们的小数点，按照整数乘法计算，然后在所得的积里记上小数点，使积的小数局部的位数等于两个因数里小数局部的位数的和。例教材P142例1~3〔3〕小数除法法那么小数除法同样可以仿照整数除法的法那么进行，但仍需解决小数点的问题。a.小数除以整数设有小数α=(有m位小数)和正整数B,α除以B，即α÷B=÷B=A÷10m÷B=(A÷B)÷10m

这样，小数α除以B，可以把α扩大10m倍化成整数A除法整数B，再把所得的结果缩小10m倍，而A÷B的结果有三种情况，教材P143。如：3.5÷7=〔35÷7〕÷10

3.64÷5=(3640÷5)÷102+1学习教材P143例1和最后，体会除法竖式的本质。

b.小数除以小数设有小数α和β，β=(有n位小数),用β去除α,α÷β=α÷=α÷(B÷10n)=(α•10n)÷B所以，小数除以小数，可以化为小数除以整数，就是把除数的小数点去掉化成整数，再把被除数的小数点向右移动相同的n位，然后按照小数除以整数的法那么计算。教材P144例2~4.作业P1401(1)(2)，2，9.P146,1,3

三、整数、分数、小数的关系整数可以表示成分数的形式，即可看作分母为1的分数；有限小数是十进分数；分数都可化为小数，有限小数和循环小数可以化成分数。1。化分数为小数〔1〕化分数为有限小数1〕分数能够化成有限小数的充要条件定理1一个既约真分数能化为有限小数的充要条件是，分母b只含有质因数2、5。分析有限小数就是十进制分数，,b只含有质因数2、5，