等差数列的前n项和教学课件

等差数列的前n项和【知识提炼】1.数列的前n项和(1)定义：对于数列{an}，一般地，称_____________为数列{an}的前n项和.(2)表示：常用符号Sn表示，即Sn=_____________.a1+a2+a3+…+ana1+a2+a3+…+an2.等差数列的前n项和公式应用条件公式首项、末项与项数___________首项、公差与项数______________【即时小测】1.思考下列问题(1)若数列{an}的前n项和为Sn，则a1与S1有什么关系？提示：a1=S1.(2)等差数列{an}的前n项和公式(包含首项、公差和项数)是关于n的二次函数吗？提示：不一定.当d≠0时，Sn=na1+d=n2+(a1-)n是关于n的二次函数；当d=0时，Sn=na1=a1n是关于n的一次函数.2.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2，则a10的值为(

)A.19

B.20

C.100

D.102【解析】选A.a10=S10-S9=(102+2)-(92+2)=19.3.等差数列{an}中首项a1=1，公差d=-2，则前10项的和S10=(

)A.-20B.-40

C.-60

D.-80【解析】选D.S10=10×1+×(-2)=-80.4.等差数列{an}中，若a1=-2，a9=12，则S9=______.【解析】S9==45.答案：455.2+6+10+14+…+(4n+2)+(4n+6)=______

【解析】数列2，6，10，14，…，4n+2，4n+6是首项为2，公差为4的等差数列，共有n+2项.所以原式==2n2+8n+8.答案：2n2+8n+8【知识探究】知识点1等差数列的前n项和公式观察图形，回答下列问题：问题1：等差数列前n项和公式的两种形式中，一共涉及哪几个量？怎样由已知量求未知量？问题2：等差数列前n项和公式的两种形式分别适合在什么情况下使用？【总结提升】1.等差数列前n项和公式的结构2.等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和.(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.(3)当已知首项、末项和项数时，用Sn=较为简便；当已知首项、公差和项数时，用Sn=na1+较好.知识点2数列的通项an与前n项和Sn的关系观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：当n≥2时，数列{an}的前n项和Sn与an有怎样的关系？问题2：数列的通项公式何时采用分段形式？【总结提升】1.an与Sn的关系当n≥2时，有Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1，所以Sn-Sn-1=an.当n=1时，a1=S1.综上可知，an=2.对an与Sn的关系的两点说明(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若由an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)也适合n=1的情况，数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示.若由an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1不相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)不适合n=1的情况，数列的通项公式采用分段形式即an=类型一等差数列前n项和的有关计算【典例】1.(全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=(

)A.5

B.7

C.9

D.112.(安徽高考)已知数列{an}中，a1=1，an=an-1+(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________.3.根据下列条件，求相应的等差数列{an}的有关未知数：(1)d=，an=，Sn=-，求a1及n.(2)a1=，a15=-，Sn=-5，求n和d.【解题探究】1.典例1中，为了简化计算可以利用等差数列的什么性质？提示：利用等差数列的性质得2a3=a1+a5，所以S5=5a3，即可求解.2.典例2中，数列{an}是等差数列吗？若是，其首项和公差分别是什么？提示：数列{an}为等差数列，其首项为1，公差为.3.典例3中，解题的依据是什么？用到什么数学思想？提示：依据是以下三个公式an=a1+(n-1)d，Sn=，Sn=na1+d.解题基本思想是方程的思想.【解析】1.选A.因为a1+a3+a5=3a3=3，所以a3=1，所以S5==5a3=5.2.当n≥2时，an=an-1+且a2=a1+，所以{an}是首项为1，公差是的等差数列，所以S9=9×1+×=9+18=27.答案：273.(1)方法一：由题意得由①得a1=2-，代入②整理得n2-7n-30=0解得n=10或n=-3(舍去)，所以a1=2-=-3.方法二：a1=an-(n-1)d=-(n-1)×=2-，所以Sn=整理得n2-7n-30=0，下同方法一.(2)因为a15=+(15-1)d=-，所以d=-.又Sn=na1+·d=-5，解得n=15，或n=-4(舍).【方法技巧】等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.类型二an与Sn关系的应用【典例】数列{an}的各项都为正数，且满足Sn=(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.【解题探究】本例中如何消去Sn？消去Sn后，为求an应整理为何种形式？提示：先根据Sn=得出4Sn+1=(an+1+1)2，然后作差消去Sn.应整理为an+1-an=f(n)或=g(n)的形式.【解析】由Sn=得4Sn=(an+1)2①所以4Sn+1=(an+1+1)2②②-①得4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2，4an+1=+2an+1--2an，(-)-2(an+1+an)=0，(an+1+an)(an+1-an-2)=0，因为an>0，所以an+1-an=2，又4S1=4a1=(a1+1)2得a1=1，故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an=2n-1.【延伸探究】1.(变换条件)本例中的条件Sn=改为log2(Sn+1)=n+1，其他条件不变，结果又如何？【解析】因为log2(Sn+1)=n+1，所以Sn=2n+1-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n，当n=1时，a1=S1=22-1=3不适合上式，所以an=2.(改变问法)本例条件不变，试证明数列是等差数列.【证明】由已知得2=an+1，所以2=Sn-Sn-1+1(n≥2)，化简可得(-1)2=Sn-1，(+-1)(--1)=0，又S1=1，{an}的各项都为正数，所以-=1(n≥2)，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.3.(变换条件、改变问法)本例条件Sn=改为Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，其他条件不变，求证：数列{an}是等差数列.【证明】因为Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，n∈N*，所以令n=1得S12-(-1)·S1-6=0，即a12+a1-6=0，解得a1=2或a1=-3，由于数列{an}各项为正数，所以a1=2.由Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，因式分解得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0，由数列{an}各项为正数可得Sn-n2-n=0，即Sn=n2+n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n，当n=1时，a1=2也适合上式，所以an=2n，n∈N*因为an+1-an=2(n+1)-2n=2，n∈N*，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列.【方法技巧】1.由Sn求通项公式an的步骤第一步：令n=1，则a1=S1，求得a1；第二步：令n≥2，则an=Sn-Sn-1；第三步：验证a1与an的关系：(1)若a1适合an，则an=Sn-Sn-1.(2)若a1不适合an，则an=2.Sn与an的关系式的应用(1)“和”变“项”.首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式.(2)“项”变“和”.首先将an转化为Sn-Sn-1，得到Sn与Sn-1的关系式，然后求Sn.类型三等差数列前n项和的最值问题【典例】1.已知数列{an}为等差数列，若<-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为________.2.(长春高一检测)已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.(1)求{an}的通项an.(2)求{an}前n项和Sn的最大值.【解题探究】1.典例1中，如何判断a6与a7的符号？进一步可判断前多少项和的符号？提示：由Sn有最大值可知公差d<0，所以a6>a7，所以a6>0，a7<0，进一步可判断S11>0，S12<0.2.典例2中，(1)关键是计算等差数列的哪些关键量？(2)求Sn的最大值的基本方法是什么？提示：(1)关键是计算等差数列的首项和公差.(2)求Sn的最大值的基本方法：①分析项的符号变化规律；②类比二次函数求最值的方法.【解析】1.因为<-1，且Sn有最大值，所以公差d<0，a6>0，a7<0，a6+a7<0，所以当1≤n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0，S1<S2<S3<…<S6>S7>S8>…，又因为S11==11a6>0，S12==6(a6+a7)<0，所以使Sn>0的n的最大值为11.答案：112.(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1=3，d=-2.所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)方法一：因为an=-2n+5=2(-n)，所以当1≤n≤2时，an>0；当n≥3时，an<0，所以n=2时，Sn取到最大值4.方法二：Sn=na1