流体力学第三章

第3章

流体动力学

及其工程应用

1．教学目的和任务1）教学目的使学生掌握研究流体运动的方法，了解流体流动的基本概念。通过分析得到理想流体运动的基本规律，为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础。

2）基本内容（1）正确使用流体流动的连续性方程式；（2）弄清流体流动的基本规律——伯努利方程，得出比较符合客观实际的计算公式；掌握伯努利方程的物理意义、几何意义、使用条件及其应用（3）动量方程的应用2．重点、难点重点：连续性方程、伯努利方程和动量方程。难点：应用三大方程联立求解工程实际问题。一、流体运动要素及研究流体运动的方法

二、流体流动的一些基本概念

三、流体流动的连续性方程(thecontinuityequation)

四、理想流体的运动微分方程及伯努利积分

流体动力学（Hydro-dynamics）：

是研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学。

研究方法：实际流体→理想流体→实验修正→实际流体第3章流体动力学及其工程应用3.1流体运动要素

及研究流体运动的方法一、流体运动要素

包括：表征流体运动状态的物理量，一般包括等。研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。

1）每一运动要素都随空间与时间在变化；

2）各要素之间存在着本质联系。**流场——充满运动的连续流体的空间。在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。二、研究流体运动的两种方法

研究流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。（1）拉格朗日法（Lagrangemethod）—（“跟踪”的方法）拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象，研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流体质点运动的总和。质点的运动要素是初始点坐标和时间的函数。用于研究流体的波动和震荡等拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。

1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。

1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。

近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

（2）欧拉法（Eulermethod）—（“站岗”的方法）

欧拉法是以流场中每一空间位置作为研究对象，而不是跟随个别质点。其要点：分析流动空间某固定位置处，流体运动要素随时间的变化规律；分析流体由某一空间位置运动到另一空间位置时，运动要素随位置的变化规律。表征流体运动特征的速度、加速度、压强、密度等物理量均是时间和空间坐标的连续函数。

在研究工程流体力学时主要采用欧拉法。一、定常流动(steadyflow)和非定常流动(unsteadyflow)

二、流线与迹线

三、流管、流束与总流

四、过水断面、流量及断面平均流速

3.2流体流动的一些基本概念3.2流体流动的一些基本概念一、定常流动(steadyflow)和非定常流动(unsteadyflow)1．定常流动

在流场中，流体质点的一切运动要素都不随时间改变而只是坐标的函数，这种流动为定常流动。表示为，流体运动与时间无关。即p=p(x,y,z)u=u(x,y,z)

例如离心式水泵，如果其转速一定，则吸水管中流体的运动就是定常流动；恒位水箱出水口的稳定泄流也是定常流动。定常流动的流场中任何点的流动参量不随时间改变，但不同点的流动参量可以不同。

2．非定常流动

运动要素是时间和坐标的函数，即

p=p(x,y,z,t)

u=u(x,y,z,t)

如水箱中的水位随着水的泄出而不断下降的孔口出流就是非定常流动。二、流线与迹线

1、流线(streamline)在自然科学中，准确而又简单地描述自然现象是很重要的。以流线来描述流动是最合适的。为使某瞬间流场的流动状况一目了然，采用流线这个概念。（1）Conception：流线就是在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使这一瞬间在该曲线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。

流线仅仅表示了某一瞬时，许多处在这一流线上的流体质点的运动情况。

2、迹线(pathline)

迹线——流场中，流体质点在某一段时间间隔内的运动轨迹。

二者区别：流线是某一瞬时处在流线上的无数流体质点的运动情况；而迹线则是一个质点在一段时间内运动的轨迹。

定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。在非定常流动中，流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。流线的性质：1.一般情况下，流线与流线不能相交；2.对非定常流动，流线随时间而改变；3.在指定时刻，过流场内任一点均有一条流线，大量流线组成了流线簇；

三、流管、流束与总流1.流管(streamtube)

在流场中画一封闭曲线(不是流线)，它所包围的面积很小，经过该封闭曲线上的各点作流线，由这无数多流线所围成的管状表面，称为流管。

2.流束(streamflux)

充满在流管中的全部流体，称为流束。断面为无穷小的流束——微小流束。微小流束的断面面积A→0时，微小流束变为流线。流束流管

3.总流(flow)

无数微小流束的总和称为总流。水管中水流的总体、风管中气流的总体均为总流。如图。按周界性质：①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如自来水管、矿井排水管、液压管道。②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触——无压流。如河流、明渠。③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管嘴出流。四、过水断面、流量及断面平均流速1.过水断面

与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称为此微小流束或总流的过水断面(又称有效断面)，过水断面有平面或曲面；如图。2.流量

流量可分为体积流量Q(volumetricflowrate)和质量流量M(massflowrate)两类。单位时间内流过过水断面的流体体积，称为体积流量Q。单位时间内流过过水断面的流体质量，称为质量流量M，其单位是kg/s。体积流量与质量流量的关系为Q=M/ρ总流的流量等于同一过水断面上所有微小流束的流量之和，即

如果知道流速u在过水断面的分布，则可通过上式积分求得通过该过水断面的流量。

3.断面平均流速(meanvelocity)

根据流量相等原则确定的均匀速度v——断面平均流速（假想的流速）实际流速和平均流速其实质是同一过水断面上各点流速u对A的算术平均值。工程上常说的管道中流体的流速即是v。（可进而理解：就是体积流量被过水断面除得的商。）3.3

流体流动的连续性方程

(thecontinuityequation)流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不形成空隙，这就是流体运动的连续性条件。根据流体运动时应遵循质量守恒定律(conservationofmass)，将连续性条件用数学形式表示出来，即连续性方程。在管路和明渠等流体力学计算中得到极为广泛的应用

对不可压缩流体，由于ρ为常数，其定常流动和非定常流动的连续性方程为

方程给出了通过一固定空间点流体的流速在x、y、z轴方向的分量ux、uy、uz

沿其轴向的变化率是互相约束的，它表明对于不可压缩流体其体积是守恒的。对于流体的二维流动，不可压缩流体二维定常流动的连续性方程为

3.3流体流动的连续性方程(thecontinuityequation)1、微小流束连续性方程

如图所示，在总流上取一微小流束，过水断面分别为dA1

和dA2，相应的速度分别为u1和u2

，密度ρ1

和ρ2

。由于微小流束的表面是由流线围成的，所以没有流体穿入或穿出流束表面，只有两端面dA1

和dA2有流体的流入和流出。由于流体做定常流动，则根据质量守恒定律得

dM=0则——可压缩流体微小流束的连续性方程。则有对不可压缩流体的定常流动，

——不可压缩流体微小流束定常流动的连续性方程。其物理意义是：在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水断面的流量均相等。或者说，在任一流束段内的流体体积(或质量)都保持不变。2.总流的连续性方程将微小流束连续性方程两边对相应的过水断面A1及A2

进行积分可得上式整理后可写成

它说明可压缩流体做定常流动时，总流的质量流量保持不变。对不可压缩流体，ρ为常数，则——不可压缩流体定常流动总流的连续性方程，其物理意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过水断面面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓处，流速↑。——总流的連续性方程，3.4理想流体的运动微分方程及伯努利积分

讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程如图示，从运动的理想流

体中取一以C（x、y、z）点为中心的微元六面体1－2－3－4，作用于其上的力有质量力和表面力，一、理想流体的运动微分方程分析方法同连续性方程的建立，只是这是一个运动的流体质点。3.4理想流体的运动微分方程及伯努利积分

根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。一、理想流体的运动微分方程——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。

如果流体处于平衡状态，则

欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。

二、理想流体运动微分方程的伯努利积分

积分的前提条件：（1）流体是均匀不可压缩的，即

（2）定常流动，即（3）质量力定常而有势，设W=W（x、y、z）是质量力的势函数，则

X=Y=Z=

（4）沿统线积分，由于是定常流动，流线与迹线重合，则

在上述四个条件的限制下，将欧拉运动微分方程的三个等式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，进行整理并沿一条流线进行积分，最后可得

——理想流体运动微分方程的伯努利积分。