2013年普通高等学校招生全国统一考试数学大纲全国卷文

大纲全国文科一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国，文1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则［U\=().A.{1,2} B.{3,4,5}TOC\o"1-5"\h\zC.{1,2,3,4,5} D.答案:B解析:由题意得[Ui={3,4,5}.故选B.2.(2013大纲全国，文2)已知a是第二象限角,sina=台则cosa=().B「13 M噂答案:A解析:•・力是第二象限角,/.cosa=-J1-sin2a=-J1-信了二1!.解析:•・力是第二象限角3.(2013大纲全国，文3)已知向量m=(入+1,1),n=(入+2,2)，若(m+n)±(m-n)，则为=( ).A.-4 B.-3 C.-2 D.-1答案:B解析：•「(m+n)±(m-n),/.(m+n),(m-n)=0./.Iml2-^n\2=0,即仕+1)2+1-。+2)2+4]=0.・•.入=-3.故选B.4.(2013大纲全国，文4)不等式Ix2-2I<2的解集是().A.(-1,1) B.(-2,2)C.(-1,0)U(0,1)D.(-2,0)U(0,2)1/13答案:D解析：反2-21<20-2<x2-2<200<x2<4=0<lxl<20-2<x<0或0Vx<2.故选D.5.(2013大纲全国，文5)(x+2)8的展开式中x6的系数是().A.28 B.56 C,112 D.224答案:C解析:T2+1=C2x8-2•22=112x6.故选C..(2013大纲全国，文6)函数f(x)=log2(1+X)(x>0)的反函数f-1(x)=().A.’(x>0) B.’(xW0)2x-1 2x-1C.2x-1(xGR) D.2x-1(x>0)答案:A解析:由y=f(x)=log2(1+1)=1+1=2yOx=-1-.2 x， x 2y-1Vx>0,Ay>0..•.f-1(x)=’(x>0).故选A.2x-1.(2013大纲全国，文7)已知数列｛an｝满足3an+1+an=0,a2=3，则｛an｝的前10项和等于().A.-6(1-3-10) B.?1-310)C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析::3%+1+”=00an+1=-jan，...^"是以-1为公比的等比数列.2/13又曾2=-4'・.・%二4.AS10:AS10:11\1041-传)1+3=3(1-3-10).故选C..(2013大纲全国，文8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点，且IABI=3，则C的方程为( ).崎+y2=1 归*=1CD"詈1答案:答案:C解析:如图,IAF2I=||ABI=|,IF1F2I=2,由椭圆定义得IAFJ=2a-3.®1 2在RtAAF1F2中,IAF1I2=IAF2I2+IF1F2I2=g)2+22.②由①②得心，『心3..•・椭圆由①②得心，『心3..•・椭圆C的方程为『『,应选C.9.(2013大纲全国，文9)若函数y=sin®x+q)®>0)的部分图像如图，则3=().A.53/13432答案:B解析:,•,由题中图象可知x+--x=T.AT=-. =-.；.但4.故选B.TOC\o"1-5"\h\z0402 2 3 210.（2013大纲全国，文10）已知曲线y=x4+ax2+1在点（-1,a+2）处切线的斜率为8,则a=（ ）.A.9 B.6 C.-9 D.-6答案:D解析:由题意知y'L1=（4x3+2axJx=1=-4-2a=8,则a=-6.故选D.11.（2013大纲全国，文11）已知正四棱柱ABCD-A]B1clD[中,AA]=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）.TOC\o"1-5"\h\zA.2 B,3 3@ D.133答案:A解析:如图，设AA1=2AB=2,AC交BD于点O,连结OC#过C作CH±OC1于点H,连结DH.BD±AC,BD±AA1,ABD，平面ACC1Al.「CHu平面ACC1A1,4/13

•・CH，BD..，・CH，平面C1BD.Z.ZCDH为CD与平面BDC1所成的角.OC1=JCC2+OC2=，4+(应)2=-3.2 V2由等面积法得OC1•CH=OC•CC1,•・-3•CH=V2x2,ACH=2.CD1 3•・sinZCDH=CH=&=2.故选A.CD1 312.(2013大纲全国，文12)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MA-MB=0,则k=( ).D.2A.D.2答案:D解析:设人8:丫=卜(乂-2),代入y2=8x得:k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),^x1x2=4.(*)VMA•MB=0,.\(x1+2,y1-2)•(x2+2,y2-2)=0,即(xj+ZXxz+ZHGj-ZXyz-ZAO.5/13，x1x2+2(x1+x2)+4+y1y22yl+y2)+4=0.①；"H，・yi+y2=k(xi+x2-4)，②y1•y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4].③由(*)及①②③得k=2.故选D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分..(2013大纲全国，文13)设f(x)是以2为周期的函数，且当x£[1,3)时,f(x)=x-2，则f(-1)=.答案：-1解析:•・丫仪)是以2为周期的函数，且x£[1,3)时,f(x)=x-2,贝f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1..(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)答案:60解析:分三步:第一步,一等奖有4种可能的结果;第二步，二等奖有《种可能的结果;第三步，三等奖有6 50种可能的结果.故共有《彳。3=60(种)可能的结果.x>0,.(2013大纲全国，文15)若x,y满足约束条件卜+3y>4,则z=-x+y的最小值为 .(3x+y<4,答案:0解析:z=-x+y=y=x+z,z表示直线y=x+z在y轴上的截距,截距越小,z就越小.画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A(1,1)时,z.二0.it+M.(2013大纲全国，文16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径,OK号,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于.答案：16n6/13解析:如图，设MN为公共弦,长度为R,E为MN中点，连结OE,EK,则OE±MN,KE±MN.Z.ZOEK为圆O与圆K所在平面的二面角..•・NOEK=60。.又4OMN为正三角形,・•・OE=V3R.2,?OK=3,AOK±KE,2AOE•sin60°=3..•.退R•q=3.22 22AR=2.AS=4nR2=16n.三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤..(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列｛an｝中,a7=4,a19=2a9.⑴求｛an｝的通项公式；(2)设b=上，求数列｛bj的前n项和S.nnan n n解：(1)设等差数列｛an｝的公差为d,则an=a1+(n-1)d.,a=4,因为｛ 7o1a19=2a9,圻/ a1+6d=4,所以1al+18d=2(a]+8d).解得口叱.7/13所以住"的通项公式为afn+C(2)因为bn=2

(2)因为bn=2

n(n+1)nn+1所以Sn=(2-2)+(2-M+(；nS=2n

n+1.(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sinAsinC』3」,求C.解：(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cosB-a2+c2-b2—1,2ac2因此B-120°.(2)由(1)知A+C-60°,所以cos(A-C)-cosAcosC+sinAsinCcosAcosC-sinAsinC+2sinAsinCcos(A+C)+2sinAsinC|+2x^34-1五2，故A-C-30°或A-C--30°,因此C-15°或C-45°.19.(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,NABC-NBAD-90°,BC-2AD,APAB和^PAD都是边长为2的等边三角形.8/13(1)证明:PB，CD;(2)求点A到平面PCD的距离.⑴证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO,平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由4PAB和4PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点，故OELBD,从而PBXOE.因为O是BD的中点,E是BC的中点，所以OE〃CD.因此PBXCD.(2)解:取PD的中点F,连结OF,则OF〃PB.由(1)知,PB，CD,故OFLCD.又OdWbdHJopHpD?-OD2=V2,2故APOD为等腰三角形，因此OFLPD.又PDnCD=D，所以OF,平面PCD.因为AE〃CD,CDu平面PCD,AE平面PCD,所以AE〃平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而OF=1PB=1,2所以A到平面PCD的距离为1.9/1320.(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为1,各局比赛的结2果相互独立，第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”贝A=A1•A2.P(A)=P(A1-A2)=P(A1)P(A2)=1，(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”则B=B1•B3+B1•B2•B3+B1•B2.p(B)=p(b1•b3+b1•b2•b3+b1•b2))=p(b1•b3)+p(b1•b2•B>p(B1•B；)=P(B1)P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)+P(B1)P(B；)111=—।—।—4 8 45二.821.(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.⑴当a=-V2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x£[2,+8)时,f(x)三0,求a的取值范围.10/13解：(1)当a=-V2时,f(x)=x3-3V2x2+3x+1,f(x)=3x2-6V2x+3.令f(x)=0，得x1=V2-1,x2=V2+1.当x£(-8,J2-1)时,f(x)>0,f(x)在(-8,J2-1)是增函数；当x£(V2-1,V2+1)时,f(x)<0,f(x)在(V2-1,V2+1)是减函数；当x£(V2+1,+8)时f(x)>0,f(x)在(夜+1,+8)是增函数.(2)由f(2)三0得aN-5.4当aN-：,x£(2,+8)时，f(x)=3(x2+2ax+1)三3(x2-|x+1)=3(x-1)(x-2)>0,所以f(x)在(2,+8)是增函数,于是当x£[2,+8)时,f(x)Nf(2)三0.综上,a的取值范围是[-5,+8).422.(2013大纲全国，文22)(本小题满分12分)已知双曲线。丘-丘=13>0力>0)的左、右焦点分别为a2 b2可丹,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为遥.⑴求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点，且|AF1|=|BF]|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.(1)解:由题设知口3,即次锂=9,故b2=8a2.a a2所以C的方程为8x2-y2=8a