数理方程与特殊函数-第三章

第三章

分离变量法

在微积分学中，多元函数的微分和重积分经常要转化为一元函数的相应问题来计算，例如偏导数、累次积分等。类似地，偏微分方程的定解问题的常用解法是设法转化为常微分方程的定解问题。下面介绍的分离变量法就是这样一种转化的方法。

理论基础:叠加原理设

L是线性微分算子，若满足线性方程（或线性定解条件）则它们的线性组合必满足方程（或定解条件）其中要求级数收敛，且满足“L

中出现的求导与求和可交换”的条件。

的特征值问题(§3.6)Sturm-Liouville理论

对于二阶线性齐次常系数常微分方程§3.1有界弦的自由振动

研究两端固定弦的自由振动。定解问题为：特点：方程和边界条件都是线性齐次的。思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(1)的满足边界条件(2)的足够多个具有简单形式(变量被分离)的特解,再对它们作线性组合使得线性组合满足初始条件(3)。思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t，即每个单音可表示为设且不恒为零，代入方程得①

由不恒为零，有：

这个式子的左端是x的函数,右端是t的函数，何时恒等？④

④利用边界条件②

…..……..③思考：先解哪一个方程？则

⑤

特征值问题分三种情形讨论特征值问题的求解：相应的非零解X(x)

称为特征函数。由边值条件(i)方程通解为(ii)时，通解由边值条件得：C1=C

2=0从而，无意义。

无意义。

由边值条件：从而(iii）时，通解即：故而得再求解T：其解为所以两端固定弦的特征振动未必满足初始条件(3)

受叠加原理启发

代入初始条件得：………………...⑥补充：傅立叶(Fourier)级数两种推广将展开为Fourier正弦级数，比较系数得由叠加原理，如果上式右端的无穷级数是收敛的，并且关于

x，t

能逐项微分两次，则和式u(x,t)确实是问题(1)-(3)的解（经典解）。

其中和由上页给出。如果(*)定义的函数u(x,t)不具备经典解的要求，则称为问题(1)-(3)的形式解。则无穷级数解上，，且定理：若在区间为混合问题(1)-(3)的经典解,其中注1:本书不讨论所求形式解是否满足经典解要求的条件，只要求得了形式解，就认为定解问题得到了解决。注2:用分离变量法求解定解问题的关键是确定特征函数和运用叠加原理，这些运算能够进行,是因为方程以及边界条件都是线性齐次的。

⑵弦上各点振幅因点而异在处，振幅永远为0二、解的物理意义节点腹点角频率初位相在处，振幅最大,为nN⑴弦上各点的角频率和初位相都相同，因而没有波形的传播现象。特点n＝1的驻波称为基波,n>1的驻波叫做n次谐波。u(x,t

)是由无穷多个振幅、角频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。

（特征值问题）齐次边界条件（特征函数）

分离变量法图解

例1

设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦做微小横向振动时的位移，其中与弦的材料和张力有关。解

设位移函数为，则需要求解下列定解问题因此，所求的解为：解：令,得化简:引入参数得例2：研究两端为自由端的弦的自由振动问题。第二类边界条件得C1=C

2=0从而，无意义分离变量：

时，由边值条件(ii) 时,,(iii)时,则而由边值条件由边值条件从而特征值

特征函数

T的方程其解为

所以代入初始条件: