中学阶段方程总讲

中学阶段方程总讲一次方程(组)复习等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），等式仍旧成立如果a=b,那么a±c=b±c如果a=b,那么ac=bc或（c≠0），什么叫方程？含有未知数的等式叫做方程。注意：

判断一个式子是不是方程，要看两点：一是等式；二是含有未知数。二者缺一不可。什么叫方程的解？使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程。1.什么是一元一次方程？2.一元一次方程的一般式是什么？

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程.

ax+b=0(a≠0,a、b为常数）想一想2.若是一元一次方程，则。3.若方程是一元一次方程，则应满足。4.若是方程的解，则代数式。21a≠3练一练1.若关于的方程是一元一次方程，求这个方程的解.解：根据题意可知，∴即又∵∴∴当m=－2时，原方程为解得，拓展思维3.解一元一次方程的一般步骤是什么？（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1①不能漏乘不含分母的项。②分子是多项式时应添括号。①不要漏乘括号内的任何项。②如果括号前面是“－”号，去括号后括号内各项变号。①从方程的一边移到另一边注意变号。①把方程一定化为ax=b(a≠0)的形式①方程两边除以未知数的系数。②系数只能做分母，注意不要颠倒。说一说解：动手做一做(1)二元一次方程:含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程(2)二元一次方程的解:①适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.②任何一个二元一次方程的解都有无数多个解；1.写出方程4x+3y=16的一个解

。(1)二元一次方程组:由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组方程组里各个方程的公共解。(2)二元一次方程组的解:下列是二元一次方程组的是（）+y=3x12x+y=0(A)3x-1=02y=5(B)x+y=73y+z=4(c)5x-y=-23y+x=4(D)2B1、已知是方程3x-3y=m和2x+y=n的公共解，则m2-3n=.-3一元二次方程的解法二元一次方程的解法解二元一次方程组的基本思想是什么？二元一次方程一元一次方程消元转化消元的方法有哪些？代入消元法、加减消元法例1

解方程组：

说明：要判断结果是否正确，应像解一元一次方程那样进行检验，检验时，注意要把未知数的值代入方程组中的每一个方程，能使每一个方程都成立的一对数才是方程组的解。例2解方程组：(1)直接开平方法ax2=b(a≠0)(2)因式分解法1、提公因式法，平方差公式，完全平方公式2、十字相乘法(3)配方法当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方(4)公式法当b-4ac≥0时，x=一直接开平方法依据：平方根的意义，即如果x2=a,那么x=这种方法称为直接开平方法。解题步骤：1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。2，利用平方根的意义，两边同时开平方。3，得到形如：x=的一元一次方程。4，写出方程的解x1=?,x2=?1、（3x-2）²-49=02、（3x-4）²=（4x-3）²解：移项，得：（3x-2）²=49两边开平方，得：3x-2=±7

所以：x=所以x1=3，x2=-解：两边开平方，得：3x-4=±（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或7x=7x1=-1，x2=1例题讲解二因式分解法1提公因式法=0（2）解：提公因式得：2平方差公式与完全平方公式形如

运用平方差公式得：

形如的式子运用完全平方公式得：或例题讲解例1解下列方程（1）解：原方程变形为：直接开平方得：（2）解：原方程变形为：3十字相乘法1二次项系数为1的情况：将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p,q的乘积的形式，且p+q=一次项系数。步骤：2二次项系数不为1的情况：将二次项系数分成两个数（式）a,b的乘积的形式，常数项分解成p,q的乘积的形式，且aq+bp=一次项系数。PQABPQ分解结果为（x+p）(x+q)=0分解结果为（ax+p）(bx+q)=011例题讲解用十字相乘法解下列方程x2－３x－28=0(x－7)(x+4)=0x－7=0或x+4=0x1=7,x2=-4例题讲解例2三配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法平方根的意义:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2.如果x2=a,那么x=用配方法解一元二次方程的方法的助手:用配方法解一元二次方程：

2x2-9x+8=01.化1:把二次项系数化为1;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边构成平方式,右边合并同类;5.开方:两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;例题讲解例1.用配方法解下列方程

x2+6x-7=0例题讲解例2.用配方法解下列方程2x2+8x-5=0四公式法一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一元二次方程。2.b2-4ac≥0.例1用公式法解方程

2x2-9x+8=01.变形:化已知方程为一般形式;3.计算:b2-4ac的值;4.代入:把有关数值代入公式计算;5.定解:写出原方程的根.2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;例题讲解例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:∵a=2b=5c=-3∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=49∴

x===即x1=-3x2=例题讲解例3：解：化简为一般式：这里a=1,b=,c=3.∵b2-4ac=()2-4×1×3=0,即：x1=x2=例题讲解1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值，将其与0比较。3、代入求根公式:用公式法解一元二次方程的一般步骤：4、写出方程的解：x1=?,x2=?(a≠0,b2-4ac≥0)X=请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程1、3x²-1=02、x（2x+3）=5（2x+3）3、x²-4x-2=04、2x²-5x+1=01、形如（x-k）²=h的方程可以用直接开平方法求解；2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了。要利用因式分解法求解；3、当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；4、当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。练一练点评分式方程的解法分式方程像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程。下列方程中，哪些是关于x的分式方程？哪些是整式方程.关于x的分式方程整式方程解得,下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：方程两边同乘以（20+v）（20-v），得在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。探究检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原分式方程的解。解分式方程：解：方程两边同乘(x-5)(x+5)，得x+5=10解得：x=5检验：当x=5时，(x-5)(x+5)=0，

所以x=5是增根。∴原分式方程无解。为什么会产生增根？增根产生的原因？对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。产生的原因：想一想？具备什么条件的根才是分式方程的增根？解：去括号，得3x-9=2x移项，得3x-2x=9解得x=9解分式方程和解整式方程有什么区别？方程两边同乘以X(X-3)得：3X-9=2X解得X=9检验：X=9时X(X-3)≠0

所以X=9是原方程的解想一想？解分式方程的步骤是什么？(1)3(X-3)=2X解分式方程的一般步骤1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.（转化思想）2、解这个整式方程.3、检验4、写出原方程的根.解分式方程的思路是：分式方程整式方程去分母一化二解三验四答为什么要检验？增根解方程：得（x－1）+2（x+1）=4。所以原方程无解。解得x=1。检验：当x=1时，（x+1)(x－1)=0，所以x=1是增根。练习解：方程两边都乘以

解：方程两边同时乘以2(x+1)(x－1)，得12所以原方程的根是x=．化简，得3–2x2–2x=–2x2+212检验：当x=时，2(x+1)(x－1)≠0解方程：3–2x(x+1)=–2(x2–1)，解得x=.12解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，没有注意添括号．(因分数线有括号的作用）(3)增根不舍掉，不写答．例题：关于x的方程的解为正数，求a的取值范围．解：方程两边同乘x(x–1)，得x(x–a)–3(x–1)=x(x–1)化简得，x²–ax–3x+3=x²–x

(a+2)x=3解得，x=

又∵x＞0，且x≠1解得，a＞–2且a≠1∴a的取值范围是a＞–2且a≠1例题：关于x的方程的解为正数，求a的取值范围．变式1：当方程有增根x=1，求a的值．变式2：当方程有增根，求a的值．变式3：当方程无解，求a的值．变