甘肃省庆阳市 2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

第14页/共14页高二数学第一次月考试题一、单选题（每题只有一个选项为正确答案.每题5分，8题共40分）1.数列后，3，，，…，则是这个数列的第（）A.8项 B.7项 C.6项 D.5项【答案】B【解析】【分析】根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于的方程，解方程得到答案．【详解】解：数列，3，，，，可化为：数列，，，，，则数列的通项公式为：，当时，则，解得：，故是这个数列的第7项.故选：B．2已知等比数列中，，，则公比（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比中项的性质可求得的值，再由可求得结果.【详解】由等比中项的性质可得，解得，又，，故选：C.3.已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由数列，，，成等差数列，可求出的值，再由，，成等比数列，可求出的值，从而可求得答案【详解】因为数列，，，成等差数列，所以，因为，，成等比数列，所以，所以，故选：D4.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.120 B.60 C.160 D.80【答案】A【解析】【分析】首先根据等差数列通项公式和前项和公式将题干条件中的等式转化成基本量和，然后联立方程组解出和，最后根据公式求解即可.【详解】为等差数列，，，，解得..故选：A.5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a4+a7=9，a2+a5+a8=18，则S9=（）A.27 B.36 C.63 D.72【答案】C【解析】【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，则有a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=18，解可得q的值，进而可得a3+a6+a9的值，相加可得答案.【详解】根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，若a1+a4+a7=9，则a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=18，则有q=2；故a3+a6+a9=q（a2+a5+a8）=2×18=36，故S9=（a1+a4+a7）+（a2+a5+a8）+（a3+a6+a9）=9+18+36=63；故选：C.6.已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（）A.5 B.5或6 C.10 D.9或10【答案】D【解析】【分析】直接利用数列的通项公式，二次函数性质的应用求出数列的和的最小值．【详解】解：根据二次函数的性质：，当时，，当时，，当时，，所以，故当或10时，Sn取得最小值．故选：D．7.在数列中，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：数列中，故选A.8.记为数列的前项和．若，则（）A.有最大项，有最大项 B.有最大项，有最小项C.有最小项，有最大项 D.有最小项，有最小项【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析的最大项，再分析的符号，据此分析可得的最大项，即可得答案．【详解】解：根据题意，数列，，对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，对于，时，最大；且当时，，当时，，当时，，故当或8时，最大，故有最大项，有最大项；故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题选项中，有多项符合题目要求.9.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+4a3＝S7，则以下结论正确的有（）A.a14＝0 B.S14最小 C.S11＝S16 D.S27＝0【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，由2a1+4a3＝S7，可得a14＝0，然后逐项分析即可得解.【详解】因为数列{an}为等差数列，设其等差为d，由于2a1+4a3＝S7，即6a1+8d＝7a1+21d，即a1+13d＝a14＝0，故A正确；当时，Sn没有最小值，故B错误；因为S16﹣S11＝a12+a13+a14+a15+a16＝5a14＝0，所以S11＝S16，故C正确；S27＝＝27（a1+13d）＝27a14＝0，故D正确.故选：ACD.10.设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值为常数的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】设公比为，依题意可得，再根据等比数列通项公式及前项和公式计算可得；【详解】解：因为在等比数列中满足，设公比为，所以，即，解得，所以，，，所以，，故选：ABC11.（多选）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则下列说法正确的是（）A.此人第二天走了96里路B.此人第三天走的路程占全程的C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D.此人第五天和第六天共走了30里路【答案】AC【解析】【分析】由给定信息确定此人每天走的路程依次排成一列构成等比数列，求出此数列首项及通项，再逐一分析各选项即可作答.【详解】设此人第天走了里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，其前n项和为Sn，因，即，解得，，由于，即此人第二天走了96里路，A正确；由于，，B错误；后五天走的路程为(里)，(里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C正确；由于，D错误.故选：AC12.已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（）A.是等差数列 B.C. D.是等比数列【答案】ABD【解析】【分析】由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出后，可判断B，由的值可判断C，求出后可判断D．【详解】因为，，所以，所以，所以是公差为3的等差数列，A正确；因为，所以，，B正确；时，由，得，但不满足此式，因此C错误；由得，所以是等比数列，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前项的和，则___________.【答案】【解析】【分析】利用当时，，验证首项，即可求通项.【详解】当时，当时，不符合上式，故故答案为：14.已知数列{an}中，a1＝1，，则数列{an}的通项公式an＝________.【答案】【解析】【分析】根据已知可得是等差数列，即可求出通项公式.【详解】∵，∴两边同除以，得＝＋1.又a1＝1，∴是以首项为，公差为1的等差数列，∴＝＋(n－1)×1＝n－，即.故答案为：.15.已知在等比数列中，，在等差数列中，，则数列的前9项和为___.【答案】27【解析】【分析】根据等差数中项和等比中项的性质得到，，然后用求和公式求和即可.【详解】根据等比中项的性质可得，所以，根据等差中项的性质可得，所以，数列的前9项和为.故答案为：27.16.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是______．【答案】100【解析】【分析】由于数列为“调和数列”，可得数列为等差数列，由于，可得，再利用基本不等式的性质即可得出．【详解】解：数列为“调和数列”，可得，为常数），数列是公差为的等差数列，，，．，，，即，当且仅当时取等号；．故答案为：．四、解答题：本题共7小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或.（2）.【解析】【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．详解：（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．18.已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式．【答案】（1）3；6（2）an＝.【解析】【分析】（1）分别令，，求出，即可；（2）利用，得到＝，再利用累乘法求即可.【小问1详解】由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，∴a3＝（a1＋a2）＝6.【小问2详解】∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1满足上式，∴an＝.19.已知等差数列{}的前n项和为，，.（1）求数列{}的通项公式;（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式列方程解得，，再写通项即可；（2）利用等差数列和等比数列求和公式求和即可.【小问1详解】设{}的公差为d，由已知得，解得，则；【小问2详解】∵，∴.20.已知数列的前项和是，且.(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；(2)设，求满足方程的的值.【答案】(1)证明见解析；；(2)100.【解析】【分析】(1)利用与之间的关系即可证明；(2)结合(1)中条件求出的通项公式，然后利用裂项相消的方法即可求解.【详解】(1)证明：由得，，又因为，所以，因为①，所以当时，②，由①②得，即，故是以为首项，为公比的等比数列，从而.(2)由(1)中可知，所以，从而，故，解得，.21.已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.【解析】【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（Ⅱ）解：设数列前项和为，由，有，，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和