《微波技术与天线》第2章

2.1导波原理2.2矩形波导2.3圆形波导2.4波导的激励与耦合第2章规则金属波导

规则金属波导—截面尺寸、形状、材料及边界条件不变的均匀填充介质的金属波导管本章主要内容：1.规则金属管内电磁波对由均匀填充介质的金属波导管建立如图坐标系,设z轴与波导的轴线相重合。作如下假设:

①波导管内填充的介质是均匀、线性、各向同性的;②波导管内无自由电荷和传导电流的存在;③波导管内的场是时谐场。

电磁场理论,对无源自由空间电场E和磁场H满足以下矢量亥姆霍茨方程:

（1）将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量,即

E=Et+azEz

H=Ht+azHz(2-1-2)az为z向单位矢量,t表示横向坐标,可以代表直角坐标中的(x,y);也可代表圆柱坐标中的(ρ,φ)。为方便起见,下面以直角坐标为例讨论,将式（2-1-2）代入式(2-1-1),整理后可得

(2-1-3)（2）设为二维拉普拉斯算子,则有(2-1-4)利用分离变量法,令(2-1-5)代入式(2-1-3),并整理得(2-1-6)

上式中左边是横向坐标(x,y)的函数,与z无关;而右边是z的函数,与(x,y)无关。只有二者均为一常数，上式才能成立,设该常数为γ2,则有(2-1-7)

上式中的第二式的形式与传输线方程(1-1-5)相同,其通解为

A+为待定常数,对无耗波导γ=jβ,而β为相移常数。（4）设Eoz(x,y)=A+Ez(x,y),则纵向电场可表达为

Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz

同理,纵向磁场也可表达为:

Hz(x,y,z)=Hoz(x,y)e-jβz

(2-1-8)(2-1-10a)(2-1-10b)(2-1-9)规则金属波导为无限长,没有反射波,故A－=0,即纵向电场的纵向分量应满足的解的形式为

（5）麦克斯韦方程,无源区电场和磁场应满足的方程为将它们用直角坐标展开,并利用式（2-1-10）可得:

(2-1-11)(2-1-12)而Eoz(x,y),Hoz(x,y)满足以下方程:

式中,k2c=k2-β2为传输系统的本征值结论:

①在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结合相应边界条件即可求得纵向分量Ez和Hz,而场的横向分量即可由纵向分量求得;②既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性;③kc是微分方程在特定边界条件下的特征值,它是一个与导波系统横截面形状、尺寸及传输模式有关的参量。由于当相移常数β=0时,意味着波导系统不再传播,亦称为截止,此时kc=k,故将kc称为截止波数。

(2-1-14)2.传输特性描述波导传输特性的主要参数有：相移常数、截止波数、相速、波导波长、群速、波阻抗及传输功率：（2）相速（phasevelocity）与波导波长(2-1-15)c为真空中光速,对导行波来说k＞kc,故υp＞c/,即在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播的速度要快。

电磁波在波导中传播,其等相位面移动速率称为相速,于是有

导行波的波长称为波导波长,用λg表示,它与波数的关系式为(2-1-16)

将相移常数β及相速υp随频率ω的变化关系称为色散关系,它描述了波导系统的频率特性。当存在色散特性时,相速υp已不能很好地描述波的传播速度,这时就要引入“群速”的概念,它表征了波能量的传播速度,当kc为常数时,导行波的群速为(2-1-17)（3）群速（groupvelocity）（4）波阻抗（waveimpedance）(2-1-18)(5)传输功率(transmissionpower)

由玻印亭定理,波导中某个波型的传输功率为某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗,即(2-1-19)Z为该波型的波阻抗

3.导行波的分类

1)即

kc=0

这时必有Ez=0和Hz=0,否则由式（2-1-13）知Ex、Ey、Hx、Hy将出现无穷大,这在物理上不可能。这样kc=0意味着该导行波既无纵向电场又无纵向磁场,只有横向电场和磁场,故称为横电磁波，简称TEM波。

对于TEM波,β=k,故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同。而且由于截止波数kc=0,理论上任意频率均能在此类传输线上传输。此时可用二维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析。

这时β2＞0,而Ez和Hz不能同时为零,否则Et和Ht必然全为零,系统将不存在任何场。一般情况下,只要Ez和Hz中有一个不为零即可满足边界条件,这时又可分为两种情形:(2-1-20)式中，S表示波导周界。（2）(a)TM（transversemagnetic）波将Ez≠0而Hz=0的波称为磁场纯横向波,简称TM波,由于只有纵向电场故又称为E波。此时满足的边界条件应为

而由式（2-1-18）波阻抗的定义得TM波的波阻抗为(2-1-21)(b)TE（transverseelectric）波将Ez=0而Hz≠0的波称为电场纯横向波,简称TE波,此时只有纵向磁场，故又称为H波。它应满足的边界条件为(2-1-22)式中，S表示波导周界；n为边界法向单位矢量。(2-1-23)无论是TM波还是TE波,其相速均比无界媒质空间中的速度要快,故称之为快波。

而由式（2-1-18）波阻抗的定义得TE波的波阻抗为3)

这时 而相速 ,即相速比无界媒质空间中的速度要慢,故又称之为慢波。光滑导体壁构成导波系统不存在出现在阻抗壁存在的导波系统

此时Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz≠0,且满足(1)TE波（transverseelectricwave）在直角坐标系(2-2-2)应用分离变量法,令Hoz(x,y)=X(x)Y(y)

代入式（2-2-2）,并除以X(x)Y(y),得(2-2-1)(2-2-3)Hoz(x,y)的通解为(2-2-5)

其中,A1A2B1B2为待定系数,由边界条件确定。由式（2-1-2）知,Hz应满足的边界条件为(2-2-6)

将式（2-2-5）代入式（2-2-6）可得

(2-2-7)于是矩形波导TE波纵向磁场的基本解为

代入式（2-1-13），则TE波其它场分量的表达式为(2-2-8)(2-2-9)式中,Hmn为模式振幅常数,故Hz(x,y,z)的通解为

(2-2-10)

(1)为矩形波导TE波的截止波数,显然它与波导尺寸、传输波型有关。（2）m和n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数,一组m、n,对应一种TE波,称作TEmn模;（3）m和n不能同时为零,否则场分量全部为零。因此，矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模;（4）TE10模是最低次模,其余称为高次模。讨论：2)TM波对TM波,Hz=0,Ez=Eoz(x,y)e-jβz,此时满足由式（2-1-20）,应满足的边界条件为(2-2-11)(2-2-12)（2-2-13）

其通解也可写为

用TE波相同的方法可求得TM波的全部场分量

（2-2-14）

（1），Emn为模式电场振幅数。TM11模是矩形波导TM波的最低次模,其它均为高次模。（2）矩形波导内存在许多模式的波,TE波是所有TEmn模式场的总和,而TM波是所有TMmn模式场的总和。讨论：(2-2-16)(2-2-15)2.矩形波导的传输特性1)截止波数与截止波长（1）当工作波长λ小于某个模的截止波长λc时,β2＞0,此模可在波导中传输,故称为传导模;（2）工作波长λ大于某个模的截止波长λc时,β2＜0,即此模在波导中不能传输,称为截止模。一个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率（或波长）。（3）对相同的m和n,TEmn和TMmn模具有相同的截止波长故又称为简并模,虽然它们场分布不同,但具有相同的传输特性。图给出了标准波导BJ-32各模式截止波长分布图。

波导中的相移常数为(2-2-17)其中,λ=2π/k，为工作波长。可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模。[例2-1]设某矩形波导的尺寸为a=8cm,b=4cm;试求工作频率在3GHz时该波导能传输的模式。

解：

(2)主模（principlemode）TE10在导行波中截止波长λc最长的导行模。矩形波导的主模为TE10模,Ex=Ez=Hy=0(2-2-18)(a)TE10模的场分布将m=1,n=0,kc=π/a,代入式（2-2-10）,并考虑时间因子ejωt,可得TE10模各场分量表达式由此可见,场强与y无关,即各分量沿y轴均匀分布,而沿x方向的变化规律为(2-2-19)而沿z方向的变化规律为由图可见,Hx和Ey最大值在同截面上出现,电磁波沿z方向按行波状态变化;Ey、Hx和Hz相位差为90°,电磁波沿横向为驻波分布。

场强与y无关,沿x、z方向的变化规律如图中a、b；波导横截面和纵剖面上的场分布如图c和d所示；截止波长和相移常数为(2-2-21)

(b)TE10模的传输特性①截止波长与相移常数:将m=1,n=0代入式（2-2-15）,得TE10模截止波数为②波导波长与波阻抗：由式（2-1-15）及（2-1-16）可得TE10模的相速υp和群速υg分别为③相速与群速④传输功率:

其中,

是Ey分量在波导宽边中心处的振幅值。由此可得波导传输TE10模时的功率容量为(2-2-28)(2-2-29)Ebr为击穿电场幅值因空气的击穿场强为30kV/cm,故空气矩形波导的功率容量为可见:波导尺寸越大,频率越高，则功率容量越大。当负载不匹配时,由于形成驻波,电场振幅变大,因此功率容量会变小,则不匹配时的功率容量

和匹配时的功率容量Pbr的关系为

(2-2-31)(2-2-30)

其中,ρ为驻波系数。设导行波沿z方向传输时的衰减常数为α,则沿线电场、磁场按e-αz规律变化,即(2-2-32)

⑤衰减特性:所以传输功率按以下规律变化:P=P0

e-2αz(2-2-33)两边对z求导:(2-2-34)沿线功率减少率等于传输系统单位长度上的损耗功率Pl,(2-2-35)衰减常数α(2-2-36)在计算损耗功率时,因不同的导行模有不同的电流分布,损耗也不同,根据上述分析,可得矩形波导TE10模的衰减常数公式:式中,RS=为导体表面电阻,它取决于导体的磁导率μ、电导率σ和工作频率f。(2-2-37)(dB/m)①衰减与波导的材料有关,因此要选导电率高的非铁磁材料,使RS尽量小。②增大波导高度b能使衰减变小,但当b＞a/2时单模工作频带变窄,故衰减与频带应综合考虑。③衰减还与工作频率有关,给定矩形波导尺寸时,随着频率的提高先是减小,出现极小点,然后稳步上升。结论1)波导带宽问题：保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的TE10模传播,其它高次模都应截止。为此应满足:（2-2-38）

3.矩形波导尺寸选择原则选择矩形波导尺寸应考虑以下几个方面因素:将TE10模、TE20模和TE01模的截止波长代入上式得：

即取 。

或写作

在传播所要求的功率时,波导不致于发生击穿。由式（2-2-29）可知，适当增加b可增加功率容量,故b应尽可能大一些。2)波导功率容量问题3)波导的衰减问题通过波导后的微波信号功率不要损失太大。增大b也可使衰减变小,故b应尽可能大一些。综合上述因素,矩形波导的尺寸一般选为通常将b=a/2的波导称为标准波导;为了提高功率容量,选b＞a/2这种波导称为高波导;为了减小体积,减轻重量,有时也选b＜a/2的波导,这种波导称为扁波导。（2-2-39）

1.圆波导中的场1)TE波此时Ez=0,Hz=Hoz(ρ,φ)e-jβz≠0,且满足圆波导TE模纵向磁场Hz：圆波导中同样存在着无穷多种TE模,不同的m和n代表不同的模式,记作TEmn,式中,m表示场沿圆周分布的整波数,n表示场沿半径分布的最大值个数。此时波阻抗为式中,1)TE波此时Ez=0,Hz=Hoz(ρ,φ)e-jβz≠0,且满足应用分离变量法,令(2-3-1)(2-3-2)(2-3-3)在圆柱坐标中，，上式写作：

代入式（2-3-2）,并除以R(ρ)Φ(φ),得(2-3-4)要使上式成立,上式两边项必须均为常数,设该常数为m2,则得(2-3-5a)(2-3-5b)式中,Jm(x),Nm(x)分别为第一类和第二类m阶贝塞尔函数式（2.3.5b）的通解为(2-3-6b)(2-3-6a)式（2-3-5a）的通解为：

2)TM波通过与TE波相同的分析,可求得TM波纵向电场Ez(ρ,φ,z)的通解为其中,υmn是m阶贝塞尔函数Jm(x)的第n个根可见，圆波导中存在着无穷多种TM模,波型指数m和n的意义与TE模相同.此时波阻抗为式中,相移常数圆波导TEmn模、TMmn模的截止波数分别为

2.圆波导的传输特性1)截止波长各模式的截止波长分别为所有的模式中,TE11模截止波长最长,其次为TM01模,三种典型模式的截止波长分别为

2)简并模(1)E-H简并（模式简并）由于贝塞尔函数具有J0′(x)=-J1(x)的性质,所以一阶贝塞尔函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等,即:μ0n=υ1n,故有从而形成了TE0n模和TM1n模的简并。这种简并称为E-H简并(2)极化简并圆波导具有轴对称性,对m≠0的任意非圆对称模式,横向电磁场可以有任意的极化方向而截止波数相同,任意极化方向的电磁波可以看成是偶对称极化波和奇对称极化波的线性组合。偶对称极化波和奇对称极化波具有相同的场分布,故称之为极化简并。波在传播过程中由于圆波导细微的不均匀而引起极化旋转,从而导致不能单模传输,因为有极化简并现象,圆波导可以构成极化分离器、极化衰减器等。3)传输功率

由式（2-1-19）可以导出TEmn模和TMmn模的传输功率分别为其中，

TE11模的截止波长最长,是圆波导中的最低次模,也是主模。圆波导中TE11模的场分布与矩形波导的TE10模的场分布很相似,因此工程上容易通过矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导,从而构成方圆波导变换器。但由于圆波导中极化简并模的存在,所以很难实现单模传输,因此圆波导不太适合于远距离传输场合。

3.几种常用模式1)主模（principlemode）TE11模场结构分布方圆波导变换器TM01模是圆波导的第一个高次模,由于它具有圆对称性故不存在极化简并模,因此常作为雷达天线与馈线的旋转关节中的工作模式,

其磁场只有Hφ分量,故波导内壁电流只有纵向分量,因此它可以有效地和轴向流动的电子流交换能量,由此将其应用于微波电子管中的谐振腔及直线电子加速器中的工作模式。2)圆对称TM01模

模TE01模是圆波导的高次模式,比它低的模式有TE11、TM01、TE21模,它与TM11模是简并模。它也是圆对称模，故无极化简并。磁场只有径向和轴向分量