大学物理-量子2

§3波函数的概率解释

P1926年波恩提出了概率波的概念。光的二向性条纹的明暗强度分布曲线~光子数的堆积曲线中央明纹强度大~光子数多各级次极大强度较弱~光子数较少暗纹处强度为零~没有光子到达~光波的强度大小~到达屏幕上光子数的多少~概率大~概率小~概率为0物理意义？~粒子的运动、行为条纹的强弱光子到达的概率1电子束电子的单缝衍射电子数1.电子束强度极弱，电子一个一个通过狭缝每个电子——2.随着电子总数的增多，电子堆积情况逐渐显示出条纹单个电子的去向为概率性的，但落在每一点的概率都是确定的........3.电子束的强度很大，许多电子同时入射屏幕上很快就出现衍射图象1）落点不确定，去向为概率事件——屏上的电子数分布与光的衍射光强分布一样•••••••••••••••••2）图象由散乱的点构成确定的概率分布确定的宏观后果2电子束电子的单缝衍射电子数设电子波Ψ

电子波强度|Ψ|2则电子出现在x处dx范围内的电子数dN将比例系数归到推广到空间：设空间处的波函数为，则电子出现在附近dV空间范围内的电子数•••••••••••••••••微观粒子的波性不能完全等同于经典的波而是一种概率波按照以上的讨论可知3|Ψ|2的物理意义：1、对N个电子而言出现在x点附近单位区间内的电子数dN占总电子数N的比。

2、对单个电子而言，出现在x点附近单位区间内的概率——概率密度——概率幅粒子出现在x1-x1+dx范围内的概率为出现在x1-x1+dx范围内的粒子数为这很象气体分子的速率分布！微观粒子遵循的规律是统计规律4例.图示为某一维不含时的波函数及由它给出的概率分布粒子出现在xo点附近的可能性最大出现在x>>x1的可能性几乎为零所以与经典力学不同：经典力学

“一定的状态”~量子力学

“一定的状态”~一定的概率分布——Ψ|Ψ|2Ψ,|Ψ|2虽然没有直接给出微观粒子的p,E,Ek通过在量子力学中轨道的概念失去意义如何来的？5下列各式的物理意义[]粒子出现在x附近单位间隔内的概率[]粒子出现在x——x+dx间隔内的概率[]出现在x——x+dx间隔内的粒子数[]出现在x1——x2间隔内的粒子数占总粒子数的比率[]粒子出现在x1——x2间隔内的概率[]出现在x1——x2间隔内的粒子数[4][2][3][1][5]6波函数的性质：1、归一性2、有限性|Ψ

|2~概率，所以不能无限大。否则物理上无意义。3、连续可微（主要是为了处理问题更方便）§4、不确定关系？经典粒子微观粒子宏观现象局限性描述微观粒子不可能分布在一个确定的点程度借助7§4不确定关系对于微观粒子我们仍可以精确知道它“从什么位置、以什么大小和方向的动量”通过小窗口的吗？8电子束电子德布洛意波长x方向坐标x方向动量的不确定范围电子通过孔时从缝出射后的动量和入射前一样吗？出射电子x方向动量的变化量是不确定的而有一个不确定的范围——动量的不确定量（范围）概率θ1不是电子的最大偏转角电子从单缝出射时，坐标和动量的测量值均有一个不确定的范围的不确定范围9虽然电子的坐标准确知道，但同时的结果是电子出射以后的动量将朝哪个方向偏转完全不可预测反之虽然电子的出射后的动量准确知道，但同时的结果是将完全不可预知电子是从宽孔的什么位置通过10量子力学证明这两个不确定量Δx、Δp之间有一定关系或——粒子坐标的不确定范围——粒子动量的不确定范围微观粒子不可能同时具有确定的坐标x和动量p与经典粒子不同11对不确定关系的要求：1、了解Δx、Δp产生的原因是微观粒子的波粒二向性而不是实验装置的精确度问题。2、利用该关系式对一些问题进行估算。方法：(1)不确定关系式(2)借用一些经典式。如例.原子的线度为10-10米。求原子中电子速度的不确定量。Δr=10-10m由不确定关系有12例、设粒子运动的波函数图线分别如下所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？(B)(C)（A）（D）13例.估算质量为m的一维谐振子的最小能量（微观振子）作为估算可认为Δp~p具有相同数量级

Δx~x具有相同数量级不确定关系可写成为求令代入14例：用电子显微镜来分辨大小为1nm的物体。估算所需要的电子动能的最小值（以eV为单位）电子位置的不确定量为取则电子的动能电子束15例.氦氖激光器所发出的红光波长为λ=632.8nm,谱线宽度Δλ=10-9nm。求该光子沿运动方向的位置不确定量（即波列长度）

光子动量光子动量的不确定度由不确定关系得到光子位置的不确定量为由于波长有一个变化范围导致动量的不确定范围16§5薛定谔方程已知：一维运动的自由粒子的波函数由于与t无关。这时代表一种不随时间变化的、稳定的几率分布定态推广：当波函数可以写成如下形式则为定态波函数（能量有确定值的状态）17波振幅

定态波函数波函数

设粒子的定态波函数为ψ(x)，则定态薛定谔方程为粒子质量粒子在外场中的势能粒子总能量微分方程P260(15-5-10)式

18自由粒子V（x）=0能量本征方程量子力学告诉我们薛定谔方程的一般形式——一般含时波函数所满足一维情况若其他的解可以写成这些特解的线性组合19经典力学的任务——在各种初始条件下求解量子力学的任务——在各种边界条件下求解薛定谔方程20第6节一维无限深势阱••Ve——由其余正离子的库仑引力造成粒子描述——粒子以恒定大小的动量来回往返运动德布洛义波的描述——1、由p大小恒定预期—波具有恒定的波长（正弦波）2、必须满足一定的边界条件。往返传播的波形成驻波。由于在反射点为刚性壁所以x=0与x=a处应为波节—λ不可任意以上是我们预期的结果。到底有何结果？须由薛定谔方程求解自由运动端点反弹端点反弹21由定态薛定谔方程：或记——典型的谐振方程由波函数的标准化条件——连续性有与两端为波节的驻波的边界条件一样！设解为22量子数通过求解薛定谔方程加上边界条件，很自然得出了粒子的能量。且为量子化的！对每一个量子数n，给出粒子的一个定态由归一化条件：23阱外[2]对于分立的能级仍可用能级图表示与玻尔频率规则一样当粒子从高能级跃迁到低能级也会发光反之从低能级跃迁到高能级要吸收外来光子的能量或其它粒子交出的能量[1]阱中粒子波动性呈现出的是稳定的驻波讨论：24物理意义：量子数为n的Ψn(x)态下粒子出现在x附近单位区间内的概率每个定态：粒子出现在阱中各点的概率是不均匀的•匣中运动的经典粒子出现在各点的概率一致[3]

概率••••••25如果我们说“势阱中粒子处在n=1的态”则该态由描述此态下粒子的未用到经典式子（4）动量的平均值(3)坐标不定—但出现在a/2附近的几率最大••••••这并不意味着总可以用经典动能式子求微观粒子的能量——巧合反过来这个巧合又为我们求一维无限深势阱中粒子的能量提供了方便[4]通过波函数知道粒子的什么“信息”26对应原理：在量子数足够大时，量子物理的结果与经典物理的结果趋于一致丹麦物理学家玻尔越来越均匀、密集......................[5]量子数极大时量子化程度消失27阱外[1]画出n=4的波函数及概率密度[2]该粒子的能量[3]