专题14复数、推理与证明参考模板范本

58/58专题14复数、推理与证明一、选择题:(2012年高考北京卷理科3)设a，b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2012年高考浙江卷理科2)已知i是虚数单位，则＝（）A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i【答案】D【解析】＝＝＝1＋2i．(2012年高考广东卷理科1)设i为虚数单位，则复数=（）A6+5iB6-5iC-6+5iD-6-5i【答案】C【解析】因为=SKIPIF1<0=6SKIPIF1<0，故选C.【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题.(2012年高考山东卷理科1)若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为（）A3+5iB3-5iC-3+5iD-3-5i(2012年高考辽宁卷理科2)复数SKIPIF1<0（）(A)SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，故选A【考点定位】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。(2012年高考福建卷理科1)若复数满足，则等于（）A．B．C．D．(2012年高考新课标全国卷理科3)下面是关于复数SKIPIF1<0的四个命题：其中的真命题为（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的共轭复数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0的虚部为SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2012年高考江西卷理科6)观察下列各式：则（）A．28B．76C．123D．199(2012年高考安徽卷理科1)复数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0（） SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0.(2012年高考天津卷理科1)是虚数单位，复数=（）（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】B【解析】===.【考点定位】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.(2012年高考湖北卷理科1)方程SKIPIF1<0+6x+13=0的一个根是()A-3+2iB3+2iC-2+3iD2+3i(2012年高考上海卷理科15)若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的实系数方程SKIPIF1<0的一个复数根，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据实系数方程的根的特点SKIPIF1<0也是该方程的另一个根，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案选择B.【考点定位】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.(2012年高考陕西卷理科3)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是虚数单位，则“SKIPIF1<0”是“复数SKIPIF1<0为纯虚数”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(2012年高考上海卷理科18)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，正数的个数是（）A．25B．50C(2012年高考四川卷理科2)复数SKIPIF1<0（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【考点定位】突出考查知识点SKIPIF1<0，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.(2012年高考全国卷理科12)正方形的边长为1，点在边上，点在边上，，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C(2012年高考全国卷理科1)复数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】SKIPIF1<0，选C.【考点定位】本试题主要考查了复数的四则运算法则。通过利用除法运算来求解.二、填空题:1.（2012年高考江苏卷3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（i为虚数单位），则SKIPIF1<0的值为．2.(2012年高考上海卷理科1)计算：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位）.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0.【考点定位】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.3.(2012年高考湖北卷理科13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。4.(2012年高考福建卷理科14)数列的通项公式，前项和为，则___________。5.(2012年高考湖南卷理科12)已知复数SKIPIF1<0(i为虚数单位)，则|z|=_____.【答案】10【解析】SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【考点定位】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的SKIPIF1<0形式，利用SKIPIF1<0求得.6.(2012年高考湖南卷理科16)设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前SKIPIF1<0和后SKIPIF1<0个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段SKIPIF1<0个数，并对每段作C变换，得到SKIPIF1<0；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段SKIPIF1<0个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.7.(2012年高考陕西卷理科11)观察下列不等式，，……照此规律，第五个不等式为．三、解答题:1．(2012年高考北京卷理科20)（本小题共13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零.记为所有这样的数表组成的集合.对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，，…，，，，…，中的最小值.（1）对如下数表，求的值；（2）设数表形如求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.2．（2012年高考江苏卷23）（本小题满分10分）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0为同时满足下列条件的集合A的个数：①SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的解析式（用n表示）．3.(2012年高考湖北卷理科22)(本小题满分14分)（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0<r<1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-14．(2012年高考上海卷理科23)（4+6+8=18分）对于数集SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义向量集SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0．例如SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数），求有穷数列SKIPIF1<0的通项公式.5.(2012年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0（=1\*ROMANI）证明：数列SKIPIF1<0是单调递减数列的充分必要条件是SKIPIF1<0（=2\*ROMANII）求SKIPIF1<0的取值范围，使数列SKIPIF1<0是单调递增数列。6.(2012年高考四川卷理科22)(本小题满分14分) 已知SKIPIF1<0为正实数，SKIPIF1<0为自然数，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴正半轴相交于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为该抛物线在点SKIPIF1<0处的切线在SKIPIF1<0轴上的截距。（Ⅰ）用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（Ⅱ）求对所有SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值；（Ⅲ）当SKIPIF1<0时，比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，并说明理由.、7.(2012年高考湖南卷理科19)（本小题满分12分）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式.证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意SKIPIF1<0，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.8.(2012年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）（Ⅰ）如图，证明命题“SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内的一条直线，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外的一条直线（SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0），SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）9.(2012年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）函数.定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标.（1）证明：；（2）求数列的通项公式.10.(2012年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分。）设数列的前项和满足，其中。（I）求证：是首项为1的等比数列；（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件。2011年高考数学试题分类汇编一、选择题:1.(2011年高考山东卷理科2)复数z=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（A）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数SKIPIF1<0的共轭复数记作SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为虚数单位，则SKIPIF1<0=（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0故选A5．(2011年高考广东卷理科1)设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+iB．1-iC．2+2iD．2-2i【解析】B.由题得SKIPIF1<0所以选B.6.(2011年高考辽宁卷理科1)a为正实数，i为虚数单位，SKIPIF1<0，则a=（）（A）2（B）SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)1答案：B解析：SKIPIF1<0,a>0,故a=SKIPIF1<0.7.(2011年高考全国新课标卷理科1)复数SKIPIF1<0的共轭复数是（）ASKIPIF1<0BSKIPIF1<0CSKIPIF1<0DSKIPIF1<0;解析：C，因为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以，共轭复数为SKIPIF1<0，选C点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。8.(2011年高考江西卷理科1)若SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以复数SKIPIF1<0SKIPIF1<0,选D.9.(2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：SKIPIF1<0=3125，SKIPIF1<0=15625，SKIPIF1<0=78125，…，则SKIPIF1<0的末四位数字为A．3125B．5625C．0625【答案】D【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B、C选项;而SKIPIF1<0,故A也不正确,所以选D.10．(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是12．(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则SKIPIF1<0=A.－i B.－1 C.i D.1答案：A 解析：因为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0所以选A.13．(2011年高考陕西卷理科7)设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0为（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】C【解析】：由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选C14.(2011年高考重庆卷理科1)复数SKIPIF1<0（A）SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0解析：选B.SKIPIF1<0。二、填空题:1.(2011年高考山东卷理科15)设函数SKIPIF1<0,观察:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据以上事实，由归纳推理可得：当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以归纳出分母为SKIPIF1<0的分母为SKIPIF1<0,故当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是整数，就称点SKIPIF1<0为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是无理数，则直线SKIPIF1<0不经过任何整点③直线SKIPIF1<0经过无穷多个整点，当且仅当SKIPIF1<0经过两个不同的整点④直线SKIPIF1<0经过无穷多个整点的充分必要条件是：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.【解析】①正确，令SKIPIF1<0满足①；②错误，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过整点（－1,0）；③正确，设SKIPIF1<0是过原点的直线，若此直线过两个整点SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0也在直线SKIPIF1<0上，通过这种方法可以得到直线SKIPIF1<0经过无穷多个整点，通过上下平移SKIPIF1<0得对于SKIPIF1<0也成立；④错误，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是有理数时，令SKIPIF1<0显然不过任何整点；⑤正确.如：直线SKIPIF1<0恰过一个整点【解题指导】：这类不定项多选题类型，难度非常大，必须每一个选项都有足够的把握确定其正误，解题时须耐心细致。3.(2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种.（结果用数值表示）答案：21，43解析：根据着色方案可知，n=6时，若有3个黑色正方形则有3种，有2个黑色正方形有4+3+2+1+1=11种，有1个黑色正方形有6种；有0个黑色正方形有1种，所以共有3+11+6+1=21种.n=6时，当至少有2个黑色正方形相邻时，画出图形可分为：①有2个黑色正方形相邻时，共23种，②有3个黑色正方形相邻时，共12种，③有4个黑色正方形相邻时，共5种，④有5个黑色正方形相邻时，共2种，⑤有6个黑色正方形相邻时，共1种.故共有23+12+5+2+1=43种.4．(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式照此规律，第SKIPIF1<0个等式为【答案】SKIPIF1<0【解析】：第SKIPIF1<0个等式是首项为SKIPIF1<0，公差1，项数为SKIPIF1<0的等差数列，即SKIPIF1<0SKIPIF1<03、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i满足SKIPIF1<0（i是虚数单位），则SKIPIF1<0的实部是_________【答案】1【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的实部是1.三、解答题:1．(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），复数SKIPIF1<0的虚部为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是实数，求SKIPIF1<0。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0………………（4分）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，………………（12分）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0………………（12分）（19）(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）（Ⅰ）设SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0，（Ⅱ）SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0.【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。【证明】：(Ⅰ)由于SKIPIF1<0，所以要证明：SKIPIF1<0只要证明：SKIPIF1<0只要证明：SKIPIF1<0只要证明：SKIPIF1<0只要证明：SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，上式显然成立，所以原命题成立。2.(2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0是等比数列；（Ⅲ）设SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0．【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（Ⅰ）解:由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0当n=1时,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0;当n=2时,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.当n=3时,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.（Ⅱ）证明:对任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,①SKIPIF1<0,②SKIPIF1<0,③②-③得SKIPIF1<0④,将④代入①,可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),又SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是等比数列.（III）证明：由（II）可得SKIPIF1<0，于是，对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0将以上各式相加，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，此式当k=1时也成立.由④式得SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.(2011年高考湖南卷理科16)对于SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0表示为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0为上述表示中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的个数（例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.答案：SKIPIF1<02;SKIPIF1<010934.(2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0求函数SKIPIF1<0的零点个数，并说明理由；SKIPIF1<0设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0证明：存在常数SKIPIF1<0使得对于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个零点，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内由零点，因此SKIPIF1<0至少有两个零点.解法1SKIPIF1<0记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一个零点，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有零点.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一个零点，记此零点为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，而SKIPIF1<0则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内无零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内至多只有一个零点，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一个零点.综上所述，SKIPIF1<0有且只有两个零点.解法2由SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一个零点，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有一个零点.综上所述，SKIPIF1<0有且只有两个零点.SKIPIF1<0记SKIPIF1<0的正零点为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.由此猜测：SKIPIF1<0.下面用数学归纳法证明.①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0显然成立，②假设当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，则当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0因此，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立故对任意的SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立5.(2011年高考广东卷理科20)设SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的通项公式；证明：对于一切正整数n,SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0 令SKIPIF1<0， 当SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 ①当SKIPIF1<0时， SKIPIF1<0 ②当SKIPIF1<0 SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0时，（欲证SKIPIF1<0） SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0， SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0 综上所述SKIPIF1<06．(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）【解析】解：（1）证明：切线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的方程分别为SKIPIF1<0 求得SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0 1）先证：SKIPIF1<0 （SKIPIF1<0）设SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0 （SKIPIF1<0）设SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0 注意到SKIPIF1<0 2）次证：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）已知SKIPIF1<0利用（1）有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）设SKIPIF1<0，断言必有SKIPIF1<0 若不然，SKIPIF1<0令Y是SKIPIF1<0上线段SKIPIF1<0上异于两端点的点的集合， 由已证的等价式1）SKIPIF1<0再由（1）得SKIPIF1<0，矛盾。 故必有SKIPIF1<0再由等价式1），SKIPIF1<0 综上，SKIPIF1<0（3）求得SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0 而SKIPIF1<0是Ｌ的切点为SKIPIF1<0的切线，且与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0， 由（１）SKIPIF1<0线段Q1Q2，有SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 在（0，2）上，令SKIPIF1<0 由于SKIPIF1<0 SKIPIF1<0在[0，2]上取得最大值SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 故SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0, 故SKIPIF1<07.(2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）(Ⅰ)已知函数SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最大值；(Ⅱ)设SKIPIF1<0均为正数，证明：（1）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想.解析：（Ⅰ）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在（0，1）内是增函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是减函数；故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最大值SKIPIF1<0（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，求和得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）①先证SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,于是由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.②再证SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是由（1）得SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0综合①②，（2）得证.8.(2011年高考全国卷理科20)设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（Ⅰ）求SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅱ）设SKIPIF1<0【解析】：（Ⅰ）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，前项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】：（Ⅰ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0（Ⅱ）法一：第SKIPIF1<0次抽取时概率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则抽得的20个号码互不相同的概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由（Ⅰ），当SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0故SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0即SKIPIF1<0。故SKIPIF1<0法二：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是上凸函数，于是SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0综上：SKIPIF1<010．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）设整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面直角坐标系SKIPIF1<0中的点，其中SKIPIF1<0（1）记SKIPIF1<0为满足SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0的个数，求SKIPIF1<0；（2）记SKIPIF1<0为满足SKIPIF1<0是整数的点SKIPIF1<0的个数，求SKIPIF1<0SKIPIF1<011．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分） 若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列，记SKIPIF1<0=SKIPIF1<0． （Ⅰ）写出一个满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0〉0的SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0； （Ⅱ）若SKIPIF1<0，n=2000，证明：E数列SKIPIF1<0是递增数列的充要条件是SKIPIF1<0=2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列SKIPIF1<0；如果不存在，说明理由。……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故SKIPIF1<0是递增数列. 综上，结论得证。 （Ⅲ）令SKIPIF1<0 因为SKIPIF1<0 …… SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为偶数,所以要使SKIPIF1<0为偶数,即4整除SKIPIF1<0.当2010年高考数学试题分类汇编——复数（2010浙江理数）（5）对任意复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为虚数单位，则下列结论正确的是（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0解析：可对选项逐个检查，A项，SKIPIF1<0，故A错，B项，SKIPIF1<0，故B错，C项，SKIPIF1<0，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题（2010全国卷2理数）（1）复数（A）（B）（C）（D）（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数SKIPIF1<0，则（A）SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选A。（2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得SKIPIF1<0，没有虚部，x=1,y=2.（2010四川理数）（1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（A）－1（B）1（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0解析：由复数性质知：i2＝－1故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1答案：A（2010天津理数）（1）i是虚数单位，复数SKIPIF1<0(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.SKIPIF1<0SKIPIF1<0【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。（2010广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（）A．4+2iB.2+iC.2+2iD.32.A．SKIPIF1<0（2010全国卷1理数）(1)复数SKIPIF1<0(A)i(B)SKIPIF1<0(C)12-13SKIPIF1<0(D)12+13SKIPIF1<0（2010山东理数）(2)已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=(A)-1(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以由复数相等的意义知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<01,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。1.（2010安徽理数）1、SKIPIF1<0是虚数单位，SKIPIF1<0A、SKIPIF1<0 B、SKIPIF1<0 C、SKIPIF1<0 D、SKIPIF1<01.B【解析】SKIPIF1<0，选B.【规律总结】SKIPIF1<0为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数SKIPIF1<0，然后利用复数的代数运算，结合SKIPIF1<0得结论.2.（2010福建理数）（2010湖北理数）1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数SKIPIF1<0的点是A．EB.FC.GD.H1．【答案】D【解析】观察图形可知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，即对应点H（2，－1），故D正确.2010年高考数学试题分类汇编——复数（2010重庆理数）（11）已知复数z=1+I，则SKIPIF1<0=____________.解析：SKIPIF1<0（2010北京理数）（9）在复平面内，复数SKIPIF1<0对应的点的坐标为。答案：（-1,1）（2010江苏卷）2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.[解析]考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。（2010湖北理数）1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数SKIPIF1<0的点是A．EB.FC.GD.H1．【答案】D【解析】观察图形可知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，即对应点H（2，－1），故D正确.2009年高考数学试题分类汇编——复数一、选择题2.（2009广东卷理）设SKIPIF1<0是复数，SKIPIF1<0表示满足SKIPIF1<0的最小正整数SKIPIF1<0，则对虚数单位SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A.8B.6【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则最小正整数SKIPIF1<0为4，选C.3.（2009浙江卷理）设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虚数单位），则SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0答案：D【解析】对于SKIPIF1<05.（2009北京卷理）在复平面内，复数SKIPIF1<0对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.(2009山东卷理)复数SKIPIF1<0等于（）.A．SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【解析】:SKIPIF1<0,故选C.答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.8.（2009全国卷Ⅰ理）已知SKIPIF1<0=2+i,则复数z=（B）（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i解：SKIPIF1<0故选B。9.（2009安徽卷理）i是虚数单位，若SKIPIF1<0，则乘积SKIPIF1<0的值是（