第3章 图像变换(II)

第三章图像变换（II）北京工业大学软件学院王素玉suyuwang@

内容提要代数变换3.1几何变换3.2离散傅里叶变换（DFT）3.3离散余弦变换（DCT）3.4K-L变换3.5小波变换3.6冗余字典与稀疏表示3.72023/1/11北京工业大学软件学院23.6小波变换小波变换：以某些特殊函数为基将数据过程或数据系列变换为级数系列以发现它的类似频谱的特征，从而实现数据处理。小波变换是在以复指数函数为基的傅里叶变换的基础上提出来的，旨在解决傅里叶变换缺乏时间定位能力的缺陷。2023/1/11北京工业大学软件学院3傅里叶变换的局限性傅里叶变换能够确定待分析的信号中存在哪些频率成分，但不能确定这些频率成分出现的时间，因而主要用于平稳信号的分析，对于时变信号的分析存在局限性。例：采用傅里叶变换分析x(n)的频率信息：式中。

为角频率.2023/1/11北京工业大学软件学院4x(n)nw2023/1/11北京工业大学软件学院5信号的时频分析x(n)时频分布的二维表示x(n)时频分布的三维表示2023/1/11北京工业大学软件学院6分辨率“分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面，它是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细胞）。时域信号具有最好的时间分辨率，而频率分辨率为零；傅里叶变换具有最好的频率分辨率，而时间分辨率为零；如何实现对时间和频率的同时分析？2023/1/11北京工业大学软件学院7傅里叶变换的基函数w-w正弦函数及其频谱加窗傅里叶变换及其频谱2023/1/11北京工业大学软件学院8由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，因此，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。2023/1/11北京工业大学软件学院9小波（wavelet）是什么在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数具有有限的持续时间和突变的频率和振幅在有限的时间范围内，它的平均值等于零2023/1/11北京工业大学软件学院10许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的；db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的；小波变换(wavelettransform)是什么以小波函数为基的信号变换方法，即将信号展开成不同尺度的小波函数的叠加形式。老课题：函数的表示方法新方法：Fourier->wavelettransform2023/1/11北京工业大学软件学院11傅里叶变换只有频率分辨率而没有时间分辨率可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候2023/1/11北京工业大学软件学院12AlfredHaar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haarwavelets)1909:AlfredHaar2023/1/11北京工业大学软件学院13开发了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的时间-频率关系图

1945:Gabor2023/1/11北京工业大学软件学院141980：Morlet20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家JeanMorlet提出小波变换(wavelettransform，WT)的概念。

20世纪80年代,开发了连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)2023/1/11北京工业大学软件学院151986：Y.Meyer法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数。用缩放(dilations)与平移(translations)均为2j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展。2023/1/11北京工业大学软件学院161988：Mallat算法法国科学家StephaneMallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。2023/1/11北京工业大学软件学院17小波理论与工程应用InridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。在信号处理中，自从StephaneMallat和InridDaubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其广泛的应用。2023/1/11北京工业大学软件学院18小波分析与小波变换小波变换变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换通过平移母小波(motherwavelet)获得信号的时间信息

通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表局部信号和小波之间的相互关系2023/1/11北京工业大学软件学院19小波分析中常用的三个基本概念连续小波变换离散小波变换小波重构2023/1/11北京工业大学软件学院20连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)小波分析用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一系列小波可用作表示一些函数的基函数凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好2023/1/1121CWT的变换过程示例：小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较计算系数C——该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高小波右移k得到的小波函数为ψ(t-k)

，然后重复步骤1和2，……直到信号结束扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)

重复步骤1~4连续小波变换的过程2023/1/1122连续小波变换该式含义：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之积在信号存在的整个期间里求和CWT变换的结果是许多小波系数C

，这些系数是缩放因子(scale)和位置(position)的函数2023/1/11北京工业大学软件学院23离散小波变换(discretewavelettransform，DWT)用小波的基函数(basisfunctions)表示一个函数的方法小波的基函数序列或称子小波(babywavelets)函数是由单个小波或称为母小波函数通过缩放和平移得到的缩放因子和平移参数都选择2j

(j>0的整数)的倍数，这种变换称为双尺度小波变换(dyadicwavelettransform)2023/1/11北京工业大学软件学院24DWT得到的小波系数、缩放因子和时间关系Morlet小波分解结果2023/1/11北京工业大学软件学院25执行DWT的有效方法Mallat算法：S表示原始的输入信号；通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号。双通道滤波过程A表示信号的近似值(approximations)，大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量D表示信号的细节值(detail)，小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量2023/1/11北京工业大学软件学院26小波分解树与小波包分解树由低通滤波器和高通滤波器组成的树原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以迭代，即可进行多级分解。小波分解树(waveletdecompositiontree)用下述方法分解形成的树：对信号的高频分量不再继续分解，而对低频分量连续进行分解，得到许多分辨率较低的低频分量2023/1/11北京工业大学软件学院27小波包分解树(waveletpacketdecompositiontree)用下述方法分解形成的树：不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。2023/1/11北京工业大学软件学院28小波分解树小波分解树2023/1/11北京工业大学软件学院29三级小波包分解树2023/1/1130注意：在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍例如，如果原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。于是,根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了采用降采样(downsampling)的方法，即在每个通道中每两个样本数据中取一个，得到的离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示。2023/1/1131降采样过程2023/1/1132图像的多分辨率分解首先沿x方向分别用低通和高通做分析，把图像分解成平滑逼近和细节逼近两部分；然后对这两部分再沿y方向分别用低通和高通做类似分析，得到四路结果；四路结果中，经两次低通所得的是第一级平滑逼近，用LL表示，经水平低通和垂直高通的用LH表示，经水平高通和垂直低通的用HL表示，两次均为高通的用HH表示。2023/1/1133二维小波分解过程示意图LLHL1LH1HH12023/1/1134HL1LH1HH1LLLHL2LH2HH2二级小波分解三级小波分解小波分解结果2023/1/11北京工业大学软件学院35小波重构重构概念把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(waveletreconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做逆离散小波变换(inversediscretewavelettransform，IDWT)两个过程在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样(downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采样(upsampling)和逆滤波两个过程，升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信号的分量加长。2023/1/11北京工业大学软件学院36小波重构小波重构方法升采样的方法2023/1/11北京工业大学软件学院37重构滤波器滤波器关系到能否重构出满意的原始信号。在信号的分解期间，降采样会引进畸变，这种畸变叫做混叠(aliasing)。这就需要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠。2023/1/11北京工业大学软件学院38低通分解滤波器(L)和高通分解滤波器(H)以及重构滤波器(L‘和H’)构成一个系统，这个系统叫做正交镜像滤波器(quadraturemirrorfilters，QMF)系统。正交镜像滤波器系统2023/1/11北京工业大学软件学院39参考资料小波变换演示网址：.pl/~maziarz/Wavelets/要安装下面的插件

MacromediaShockwaveplug-in该演示有声音解说2023/1/11北京工业大学软件学院40小波变换在图像处理中的应用图像压缩图像去噪图像增强图像融合……2023/1/11北京工业大学软件学院41图像压缩：低频部分保留了原图像的主要信息第一次：仅提取第一次分解的低频信息28.6%第二次：提取第二次分解的低频信息8.6%2023/1/11北京工业大学软件学院42图像去噪将二维图像进行N层小波分解，对分解后的每一层高频系数进行阈值量化，然后用量化后的高频系数和相应的低频系数重构图像。阈值的选取决定去噪的效果。2023/1/11北京工业大学软件学院43图像增强图像钝化（原图、DCT、小波变换）2023/1/11北京工业大学软件学院44图像锐化：增强高频信息2023/1/11北京工业大学软件学院45图像融合2023/1/11北京工业大学软件学院463.7冗余字典与稀疏表示

稀疏表示，它意欲用尽可能少的非0系数表示信号的主要信息，从而简化信号处理问题的求解过程。稀疏表示模型可如表达式(1)所示，其中y∈R^n为待处理信号，D∈R^(n×m)为字典，x∈R^m为稀疏系数，||x||_0≪m。||x||_0为x的稀疏度，它表示x中非0稀疏的个数。

y=Dxsubjecttomin||x||_0(1)

n×mm×1n×1几个专业名词解析:

原子：原子即为字典的列向量。完备字典与过完备字典：如果字典D中的原子恰能够张成n维的欧式空间，则字典D是完备的。如果m＞＞n，字典D是冗余的，同时保证还能张成n维的欧式空间，则大字典D是过完备的。我们一般用的字典都是过完备的，因为在过完备的字典下分解稀疏系数不唯一，这也恰恰为图像的自适应处理提供的可能，我们可以根据自己处理的要求选择最合适的最稀疏的系数。

其实求解过完备的稀疏表示模型等价于寻求欠定系统的最稀疏解问题。

D∈R^(n×m)且m＞n时，如何求解y=Dx即如下

我们已经知道在过完备字典的条件下稀疏系数是不唯一的，但是否我们可以求出最稀疏解呢？

Elad和Bruckstein在2004年对下述定理进行了证明：

定理1：设D为一个相干系数是μ的原子库，D={gi，i