第二章组合逻辑函数

第二章组合逻辑函数

本章首先介绍逻辑代数的基本公式、常用公式及常用规则，并在此基础上着重讨论逻辑函数的表示形式和化简方法。1/11/20231§2-1

逻辑代数基础

§2-2布尔代数§2-3逻辑函数与其逻辑表达式§2-4逻辑图§2-5卡诺图及逻辑化简§2-6应用实例§2-7小结1/11/20232§2-1

逻辑代数基础

逻辑代数又称为布尔代数,它是19世纪中叶由英国数学家乔治.布尔（George.Boole）最早提出来的，是描述客观事物逻辑关系的数学方法。因20世纪30年代被克劳德.香农（ClaudeE.Shannon）用于开关电路的分析与设计上，故又称为开关代数。

2.1.1逻辑函数的基本概念

2.1.2逻辑代数的基本运算与复合运算

1/11/20233

2-1-1逻辑函数的基本概念逻辑变量－－逻辑代数中的变量，一般由大写或小写字母表示。二值逻辑－－仅包括逻辑0和逻辑1两种取值。逻辑函数－－是一类描述逻辑变量之间关系的函数。输入变量（自变量）－－与输入信号对应的逻辑变量称为输入变量。输出变量（因变量）－－与输出信号对应的变量。逻辑表达式－－描述逻辑函数的一种代数形式。记为

F=F(A,B,C,…).1/11/202342-1-2逻辑代数的基本运算与复合运算

1.与运算与运算－－如果将开关闭合作为条件，将灯亮作为结果，那么该图表示，只有决定事件结果的全部条件同时具备时，结果才能发生，这一因果关系就称为与运算。串联开关电路

1/11/20235ABF=AB

000110110001与运算的真值表

真值表－－给出自变量各种可能取值组合下因变量的值.由与运算规则可推出：

A•0＝0A•1＝AA•A＝A与运算的逻辑表达式为

F＝A•B＝AB1/11/20236与门的逻辑符号

二极管与门

A

BF=ABLLLHHLHHLLLH与门电路的电平表

与门--实现与运算的单元电路1/11/202372.或运算（或逻辑、逻辑加）或运算－－决定事件结果的所有条件中只要有任何一个满足，结果就会发生，这种因果关系称为或运算。

并联开关电路

ABF=A+B000110110111或运算的真值表

1/11/20238或运算的逻辑表达式为

F＝A＋B由或运算规则可推出

A＋0＝AA＋1＝1

A＋A＝A1/11/20239或门－－实现或运算的单元电路

或门的逻辑符号二极管或门

ABF=A+BLLLHHLHHLHHH或门电路的电平表

1/11/2023103.非运算（非逻辑、逻辑反）非运算－－当条件具备时结果不会发生；当条件不具备时结果一定会发生，这种逻辑关系称为非运算。

非逻辑实例

AF=A

01

10非运算真值表

非运算的逻辑表达式是

1/11/202311非门－－实现非运算的单元电路非运算的逻辑符号

AF=ALHHL非门电路的电平表

A＋A＝1A•A＝0A＝A1/11/2023124.复合逻辑运算

复合逻辑运算－－将“与”、“或”、“非”三种基本运算进行组合，可以构“与非”、“或非”、“与或非”、“同或”、“异或”等常用的复合逻辑运算。与非、或非、与或非三种运算的表达式分别为

1/11/202313与非门或非门与或非门1/11/202314异或运算

异或运算的逻辑表达式为

F＝AB＝AB＝异或运算表示：当输入变量A、B相异时，输出为1；相同时输出为0

异或门的逻辑符号

ABF=AB+AB00011011

0110异或运算的真值表

1/11/202315同或运算同或运算的逻辑表达式

F=A⊙B＝

AB＋AB同或运算表示:当输入变量A、B相异时，输出为0；相同时输出为1。

ABF=AB+AB00011011

1001同或运算的真值表

同或门的逻辑符号

1/11/202316异或计算公式⊙⊙⊙1011010101101000a⊙babba1/11/202317例2－1－1利用异或运算实现自然二进制码与格雷码之间的转换。

g3＝b3g2＝b3b2g1＝b2b1g0＝b1b0反之

b3＝g3b2＝g3g2b1＝g3g2g1b0＝g3g2g1g01/11/2023182-2-1

布尔代数的基本公式2-2-2

布尔代数的三个规则2-2-3

公式法化简逻辑函数§2-2布尔代数1/11/2023192-2-1布尔代数的基本公式包含律12对合律11反演律10a.a=aa+a=a重叠律9吸收律28a(a+b)=aa+ab=a吸收律17互补律60.a=01+a=10-1律251.a=a0+a=a0-1律14a(b+c)=ab+aca+bc=(a+b)(a+c)分配律3a(bc)=(ab)ca+(b+c)=(a+b)+c结合律2ab=baa+b=b+a交换律11/11/202320用真值表来证明包含律的正确性。AB+AC+BC=AB+AC1/11/2023211.代入规则2.反演规则3.对偶规则2-2-2布尔代数的三个规则1/11/2023221.代入规则例：用代入规则推广摩根定律。逻辑等式中任一变量x以函数z代替，所得新等式仍然成立。1/11/2023232.反演规则设x为原变量，称为反变量，设z为原函数，称为反函数。设f是一逻辑表达式，若把f中所有的·变成＋，＋变成·；1变成0，0变成1；原变量变成反变量，反变量变成原变量，则构成的新表达式为原函数f的反函数。1/11/202324

运用反演规则可以方便地求出一个函数的反函数，但须注意如下两点：1．运算次序增守“先括号、然后与、最后或”这一原则。2．不属于单变量上的非号保留不变。第二章组合逻辑函数1/11/202325用反演规则求反函数1/11/2023263.对偶规则设f是一逻辑表达式，若把f中所有的·变成＋，＋变成·；1变成0，0变成1，则构成的新表达式为f的对偶式fD。若逻辑等式成立，则对偶式也一定成立。注意：1.运算优先次序不能改变;2.式中非号保持不变.1/11/202327用对偶规则求对偶式1/11/2023282-1-3公式法化简逻辑函数用计算公式和三个规则化简逻辑函数。常用：①、并项 ②、吸收 ③、消元 ④、配项 ⑤、展开公式1/11/202329公式法化简逻辑函数举例（1）1/11/202330公式法化简逻辑函数举例（2）⊙⊙1/11/202331公式法化简逻辑函数举例（3）1/11/202332公式法化简的缺点：

不直观，要求经验、技巧较高，难以判断是否最简。1/11/202333常用逻辑函数的表示方法有真值表、表达式、逻辑图、和卡诺图等。

§2-2逻辑函数和逻辑表达式组合电路……x1x2xnz1z2zm输入变量输出变量（自变量）（因变量）1/11/2023342-2-1导出逻辑表达式与真值表2-2-2积之和表达式和最小项表达式

2-2-3和之积表达式和最大项表达式2-2-4真值表和最小项、最大项的对应关系2-2-5最小项与最大项的关系2-2-6最小项表达式和最大项表达式的关系第二章组合逻辑函数1/11/2023352-2-1导出逻辑表达式与真值表

相同逻辑的真值表是唯一的，但是，可以用不同的逻辑表达式描述。

例1：三人表决电路例2：防盗报警电路例3：一位二进制全加器例4：多路开关1/11/202336例1：三人表决电路多数表决第二章组合逻辑函数1/11/202337例2：防盗报警电路保险箱的启动次序为：打开：闭合控制开关→打开橱门→开启保险箱关闭：关闭保险箱←关闭橱门→断开控制开关W:控制开关:W=1,开关闭合；

W=0,开关断开。X:放置保险箱的橱门:X=0,闭合；

X=1,打开。Y:保险箱上的敏感元件:Y=1,保险箱开；

Y=0,保险箱关。正常状态：W=0,X=0,Y=0

保险箱打开的正常操作顺序:W=01;X=01;Y=01

关闭:Y=10;X=10;W=1

0

操作正确Z=0

否则Z=11/11/202338打开：WXY:000

100110111关闭：000100110111正常状态：W=0,X=0,Y=0

保险箱打开的正常操作顺序:W=01;X=01;Y=01

关闭:Y=10;X=10;W=10

操作正确Z=0否则Z=11/11/202339例3：一位二进制全加器1111101011011011000101110100101010000000ΣicoiyixiciiΣFAcoixiyicii1/11/202340例4：多路开关a1a0y00d001d110d211d31/11/2023412-2-2积之和表达式和最小项表达式积之和表达式：逻辑表达式为几个与项的和称为与-或式，又称为积之和表达式。最小项：在一个n个自变量的逻辑函数中，包含n个变量的积项称为最小项，共有k=2n个最小项，为m0～mk-1。最小项表达式：当积之和表达式中所有与项为最小项时称为最小项表达式。1/11/202342表2-2-2真值表第二章组合逻辑函数1/11/202343例2-2-4已知函数z的真值表如表所示,试写出其最小项表达式。z(v,x,y)=∑m(1,2,4,7)注意：函数z(v,x,y)的变量名表的顺序必须与真值表中各自变量的排列顺序一致，从而使最小项的标号与真值表的行号一致。

1/11/2023442-2-3和之积表达式和最大项表达式1/11/202345和之积表达式：逻辑表达式为几个或项的积称为或-与式，又称为和之积表达式。最大项：在一个n个自变量的逻辑函数中，包含n个变量的或项称为最大项。最大项表达式：当和之积表达式中所有或项为最大项时称为最大项表达式。第二章组合逻辑函数1/11/2023462-2-4真值表和最小项、最大项的关系逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式是唯一的。1/11/2023472-2-5最小项与最大项的性质所有最小项之和恒为1。任意两个不同最小项之积恒为0。所有最大项之积恒为0。任意两个不同最大项之和恒为1。标号相同的最大项和最小项互为反函数。1/11/2023482-2-6

最小项表达式与最大项表达式的关系

由上述最小项、最大项性质的分析，可以得到最小项与最大项具有如下关系：（1）标号相同的最大项、最小项互为反函数

例如:

1/11/202349（2)如果已知函数的最小（大）项表达式，则由未出现在该最小（大）项表达式中的所有标号构成该函数的最大（小）项表达式。（3）如果已知函数的最小（大）项表达式，则由相同标号构成的最大（小）项表达式为该函数的反函数；