第四章 不确定情况下的选择理论

第四章资产组合理论与资本资产定价模型

第一节不确定下的选择理论风险度量偏好与期望效用函数方差协方差矩阵方法风险和收益选择

由于消费的对象具有不确定的结果（股票与债券）类似的效用函数或无差异曲线类似的预算集或资本市场线。

A．在不确定性下选择的5条公理

公理1.可比性（完全性）设X、Y则个人必须具有以下三个判断之一：xy（x优于y）,xy，

x~y,x与y无差异

公理2传递性（一致性）如果xy，及yz，则xz公理3强独立性，如果x~y，则如果一博奕，以概率得到x，以概率1-得到z，则记为G(x,z;)（或一张彩票：）公理4

可测性（连续性）如果or则存在唯一的，使得公理5排序性如果；那么当和时，则如果B.DevelopingUtilityfunctions

效用函数的发展利用五条公理建立效用函数有效性（期望效用函数用以表示在不确定的情况下的偏好关系）

效用函数的性质：

保序性期望效用性

一般，财富的期望效用可表示为：

效用函数的具体构造

问题：面对一博弈：以概率赢1000元，以概率1-

损失1000元,假设损失1000元的效用为-10，那么我们可以得到怎样的一个概率,使该博弈与确定性的0之间无差异?即0~G(1000,-1000:)或U(0)=U(1000)+(1-)U(-1000)设为了0与该博弈之间无差异，赢1000元概率必定为0.6。假设0的效用为0，将U(-1000)=-10，=0.6到上式，解得：

Table4.1Payoffs.Probabilities,andUtilities

LossGainProbabilityofGainUtilityofGainUtilityofLoss-10001000.606.7-10.0-10002000.558.2-10.0-10003000.5010.0-10.0-10004000.4512.2-10.0-10005000.4015.0-10.0-10006000.3518.6-10.0-10007000.3023.3-10.0-20002000.758.2-24.6-30003000.8010.0-40.0-40004000.8512.2-69.2-50005000.9015.0-135.0C．EstablishingaDefinitionofRiskAversion

风险厌恶（RiskAversion）的定义

G（100元，0：10%）10元

喜欢风险者（risklover）G（100元，0：10%）~10元

风险中性（riskneutral）G（100元，0：10%）10元

风险回避者（riskaverter）博奕的精算价值（actuarialvalueofthegamble）：1000.1＋0

0.9＝10定义：如果U[E(W)]>E[U(W)]，风险回避者

如果U[E(W)]=E[U(W)]，风险中性如果U[E(W)]<E[U(W)]，喜爱风险

如果效用函数是严格向下凸，则是风险喜好者。U[E(W)]<E[U(W)]如果效用函数是线性的，则是风险中性者。U[E(W)]=E[U(W)]如果效用函数是严格向上凸的，则是风险厌恶者。U[E(W)]>E[U(W)]为了避免一个博奕，此人愿意放弃的财富的最大数值，被称为风险酬金（riskpremium）或者称为风险溢价．例：对数效用函数效用函数：U（W）=Ln(W)，博弈G(5,30:0.8)博奕的精算价值（actuarialvalueofthegamble）就是其期望值，换言之，期望的财富是：E(W)=.8($5)+.2($30)=$10直接从效用函数中读出期望财富的效用值：

U[E(W)]=ln10=2.3结论：由（4.1）可知，该博弈活动的效用等于由博弈活动本身提供的财富效用的期望，即财富效用的期望值：E[U(W)]=.8U($5)+.2U($30)=.8(1.61)+.2(3.40)=1.97显然：U[E(W)]>E[U(W)],风险回避者。等额财富数额如果令：E[U(10)]=U(7.17)=1.97，7.17称为G的确定等量财富数额（certaintyequivalentwealth）。另一方面，如果他愿意参加博奕，得期望收入为：E(W)=.8($5)+.2($30)=$10。因此，对于给定的对数效用函数，为了避免一个博奕，愿意支付：E(W)-W*=10-7.17元；将此称为Makowitzriskpremium（风险酬金）。思考如果通过保险避免博奕，在什么情况下愿意购买保险？步骤：确定等量财富数额（certaintyequivalentwealth）W*，由

E[U(W)]=U(W*)解出风险酬金(riskpremium):=E(W)-W*博奕的成本:C=W0-W*,W0为初始财富

例2：一风险厌恶者有效用函数：U(W)=lnW，初始财富W0=10元，现提供一个博奕：10%的机会赢10元，90%赢100元。从而,博弈活动的精算价值为：E（W）=0.10（20）+0.9（110）=101①求W*：由E[U(W)]=0.1U(20)+0.9U(110)=0.1ln(20)+0.9ln(110)=ln(w*)解得：w*=92.76②风险酬金：=E(W)-W*=101-92.76=8.24元>0③博奕成本：C=10-92.76=-82.76元注意对于一风险厌恶者的风险酬金总是正的，而博奕成本可能是正、负、零。考虑一个博奕

它以概率p有一正的回报h1,以概率1-p有一负回报h2

公平博奕：一个被赋予精算价值为美元的博奕称为公平的，如果它的期望收益为0:

问题：我们应当在博弈活动中加入多大数额的风险溢酬才能令他认为该博弈活动与博弈活动的精算价值是无差异的？风险酬金是W和的函数，满足如下方程：两边用Taylor‘s展开：右边=高阶项左边=

高阶项

+高阶项(4.6a)Riskaversion:Pratt(1964)andArrow(1971)

风险厌恶：普拉特－阿罗（Pratt-Arrow）风险酬金（riskpremium）（4.6b)普拉特－阿罗（Pratt-Arrow）绝对风险厌恶ARA

(absoluteriskaversion）

Pratt-Arrow相对风险厌恶RRA（relativeriskaversion）风险容忍函数

随财富而变的绝对风险厌恶状态定义风险厌恶以A为例递增绝对风险厌恶随财富增加，持有风险资产减少不变绝对风险厌恶随财富增加，持有风险资产不变递减绝对风险厌恶随财富增加，持有风险资产增加随财富而变的相对风险厌恶状态定义风险厌恶以R为例递增相对风险厌恶随财富增加持有风险资产比例减少不变相对风险厌恶随财富增加持有风险资产比例不变递减相对风险厌恶随财富增加持有风险资产比例增加对于两个个体i和j，如果对任意W，有ARAi(W)》ARAj(W)，则为了防止同样的风险损失，个体i将愿意支付更大的保险金。在这种情况下，称个体i比个体j更具风险回避。如果个体i,j具有相同的初始财富，且个体i比个体j更具风险回避，则为了他们把所有资金都投资在风险资产上，个体i所需的风险酬金比个体j多。例：二次效用函数：边际效用:

例：

这个函数与经验结果是一致，财富的边际效用为正，它随着财富的增加而减少；ARA随着财富的增加而减少，RRA为常数。D在小风险及大风险下比较风险厌恶

Pratt-Arrow风险厌恶的定义：假定风险小，且统计中性的。Markowitz风险厌恶的定义，即简单地对E[U(W)]

和U[E(W)]进行比较，则没有受到以上假设的限定。例：设U(W)=lnW，财富水平20000元，暴露到两种不同的组合：（1）0.5：0.5的机会得或失10元（2）80%机会损失1,000，20%机会损失10,000元风险溢价：第1种风险是小的，且统计中性的Pratt-Arrow度量：第一种风险的方差为：

Markowite：博奕的期望效用：

确定等量财富水平

=E(W)-W*,E(W)=20,000因此，我们将付风险溢价0.0025002在第一种风险下，这两种风险溢价之间差异可忽略不计类似计算：第2种风险：Pratt-Arrow定义：风险溢价：324Merkowitz风险溢价：=E(W)-W*=17,200-16,711=489此时，两种风险溢价差距非常大，1489-324=165上面例子说明：当小的统计中性风险时，Pratt-Arrow近似较好；风险厌恶大的，博奕数量大，风险不对称情况下Markowize风险溢价。E．StochasticDominance随机占优

至今为止，我们已经讨论了投资者偏好的公理。然后应用它们发展了基数效用函数，最后利用效用函数测量风险溢价，导出风险厌恶的测度。明显的，对于任何投资者，无论是否是风险厌恶者，都将寻求自己的财富的期望效用最大化。期望效用的规则能用于指导不确定条件下的经济选择。StochasticDominance称一个资产（或资产组合）是随机占优另一资产的，如果一个人在每种自然状态下能获得更大的财富。从数学上说，资产X，其累计概率分布Fx(w)，资产Y，其累计概率分布Gy(w)，对于所有非降的效用函数集，如果

Fx(w)Gy(w),对所有w

Fx(w)<Gy(w),对某些wi(且至少有一wi）则称资产X一阶随机占优于Y，换言之，资产Y的累积概率分布（关于财富W）总是位于资产X的累积概率分布的左边（见图4.8）。期望效用定义：其中，U(W)=效用函数，w=财富水平，

f(w)=分布密度函数。图4.9中：给定财富密度函数fi(w)，增效用函数使X的效用水平高于Y的效用水平，即U(x)>U(y)。对每一fi(w)，都有其结果。因此，可得资产x得到的财富的期望效用高于由资产Y得到财富的期望效用（对于增效用函数，有一正的边际效用），当然，对于非减函数有相反结论。（4.12）二阶随机占优

设投资者有效用函数U，且U’>0，U’’<0,如果

则称X二阶随机占优于Y。二阶随机占优意味着：对于所有风险厌恶者而言，为了使资产X占优干资产Y，在任何既定的财富水平之