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文档简介

第五节综合与提高对于一个阶数比较高的行列式，利用定义求值或利用行列式按行(列)展开法则求值都不是一种可行的方法。诚如前面所指出的，计算一个n阶行列式就要作n!次乘法。当n增大时，n!的增长是非常快的，例如，18!6.41015。假定计算机作一次乘运算的时间是百万分之一秒，则通过反复使用行列式按行(列)展开法则并用这种计算机求一个18阶行列式的值需要的时间(以每天工作八小时计算)竟多达200年！这就说明为一般地解决行列式的求值问题，必须利用行列式性质发展有效的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续。本节例析几种常用的行列式值的求法，最后介绍行列式的简单应用。行列式值的求法下面通过例子说明几种常用的求解行列式的方法。1、利用行列式性质把行列式化成等值的三角形行列式进行计算.

例1计算行列式解解这个行列式的特点是各列n个元素之和都为x+(n1)a。今把后n1行同时加到第1行，提出公因子x+(n1)a，然后各行减去第1行的a倍：例2计算行列式2、利用行列式性质降阶计算

这种方法的基本思想是利用行列式的性质6将行列式的一行(或一列)的n1个元素法变成零，然后按该行（或该列）展开，从而将一个n阶行列式化成一个n1阶行列式进行求解。例3计算行列式解我们保留，将第3行的其余元素变为0，然后按第3行展开：3、建立递推关系进行计算在行列式计算中，建立递推关系再行求解，也是一种有用的技巧。当然，发现递推关系需要经验，也可能要费一番功夫。例4计算行列式

解可以看出按第1行展开，有对两个（2n1）阶行列式各按最后一列展开，得这是一个递推公式，而，故

例5证明范德蒙(Vandermonde)行列式解显然可以看出

但在尝试建立与的递推关系时却无从下手。我们采用另一种做法：从最后一行开始，每行减去上一行的倍，可得：这就得到了递推关系，反复使用，得4、行列式在几何上的应用a.求过平面上两点的直线方程设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)为平面上两点，显然，过这两点的直线方程为：将该方程变形为：，即设P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)、P3(x3,y3,z3)为空间上不在同一直线上的三点，则P1、P2、P3确定一个平面。a.求过不在同一直线上三点的平面方程引理设a={ax，ay，az},b={bx，by，bz}，c={cx，cy，cz}为三向量，则a，b，c共面的充分必要条件是：设P(x,y,z)为平面上任一点，以P1为起点分别作

以P2、P3、P为终点的向量a、b、c，则a、b、c共面且a={x2x1，y2y1，z2z1}，b={x3x1，y3y1，z3z1}，c={xx1，yy1，zz1}。由引理知：p5可以验证满足上式的点P(x,y,z)都在平面

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