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第二节可分离变量的微分方程解分离变量方程可分离变量方程微分方程分离变量是否可分离变量

y2xy

3x25xy0

(x2y2)dxxydy=0

y1xy2xy2

y10xy

如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx

(或写成y(x)(y))的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程:

是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10xdx————————可分离变量的微分方程的解法两端积分

方程G(y)F(x)CyF(x)或xY(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解

求显式解

求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数yF(x)或xY(y)如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx

(或写成y(x)(y))的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程分离变量

将方程写成g(y)dy

f(x)dx的形式例1.

求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0

)例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为例3.

求下述微分方程的通解:解:

令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:练习:解法1

分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C

为任意常数)所求通解:例4.

子的含量

M

成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)

随时间t

的变化规律.解:

根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知

t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原例5.成正比,求解:

根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时作业：P-

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